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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents



\begin{center}
\textcolor{red}{\section*{Exercices de calculs de produis scalaires}}
\end{center}

%http://xymaths.free.fr/Lycee/1STI/Cours-1STI2D/Cours-Produit-scalaire-1STI-Exercices.php?pdf


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\noindent $ABC$ est un triangle équilatéral de côté 4 cm. \\
$I$ est le milieu de $[BC]$. \begin{center}
\psset{xunit=1.cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(3.2,-0.1){$B$}
  \rput(1.5,2.9){$C$}
  \rput(1.5,-0.3){$I$}
\end{pspicture}
\end{center}

\noindent Calculer les produits scalaires: 

\begin{enumerate}[a)]
\item  $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 

\item $AB\cdot\overrightarrow{AI}$

\item $\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{BI}$ 

\end{enumerate}



\subsection{}
$ABCD$ est un carré de côté 2 cm de centre $O$.
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(3,3.4)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(3,3)
  \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,0)
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(3.2,-0.1){$B$}
  \rput(3.2,3.1){$C$}
  \rput(-0.2,3.1){$D$}
  \rput(1.5,1.1){$O$}
\end{pspicture}

\end{center}

Calculer les produits scalaires: 


\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$ 

\item $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 

\item $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}$ 

\item $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{DC}$ 

\end{enumerate}


\subsection{}
Dans le triangle $ABC$ ci-dessous, 
$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. 

On donne de plus $AC=2$, $AB=4$, et 
$\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$. 

\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(5,0)(1.,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.,0)(1.,2.7)
  \psarc(0,0){0.5}{0}{65}\rput(0.6,0.5){$\frac{\pi}{3}$}
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(5.2,-0.1){$B$}
  \rput(1.,2.9){$C$}
  \rput(1.,-0.2){$H$}
  \rput(0.3,1.4){$2$}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}[a)]
\item Calculer $AH$. 

\item Déterminer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$. 

\item Que remarque-t-on ?
\end{enumerate}



\subsection{}
$ABD$ est un triangle rectangle isocèle en $B$. \\
L'angle $\widehat{BCD}$ mesure $30\text{\degre}$ et $AB=3$. 
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(1.5,0)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(8,0)(3,3)
  \psline(3,0)(3,3)
  \rput(-0.1,-0.3){$A$}
  \rput(3.,-0.3){$B$}
  \rput(3,3.2){$D$}
  \rput(8,-0.3){$C$}
  \psline(2.8,0)(2.8,0.2)(3,0.2)
\end{pspicture}

\begin{enumerate}

\item Calculer les longueurs $AD$, $CD$ et $BC$. 

\item Déterminer les produits scalaires suivants: 
  
  
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ 

\item $\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}$

\item $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{center}

\subsection{}
$ABC$ est un triangle isocèle de sommet $A$ tel que $AB=2,5$ cm et $BC=3$ cm.\\
$I$ est le milieu de $[BC]$. 
\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,2.6)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
  \rput(-0.2,-0.1){$B$}
  \rput(3.2,-0.1){$C$}
  \rput(1.5,2.9){$A$}
  \rput(1.5,-0.2){$I$}
  \psline(1.3,0)(1.3,0.2)(1.5,0.2)
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}[a)]
\item Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}$ de deux manières différentes, 

\item En déduire la valeur de l'angle $\widehat{ABC}$ à $0,1$ degré près. 

\end{enumerate}




\end{multicols}
\end{document}