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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices (méthode CMR)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $N$ est la taille estimée de la population.

\item Première session : $M = 82$ individus capturés.

\item Seconde session : $n = 67$ individus capturés,

\item $m = 2$ individus recapturés
\end{enumerate}

Taille estimée de la population :
$\dfrac{N}{M}=\dfrac{n}{m}$ donc $N=M\times \dfrac{n}{m} =82\times \dfrac{67}{2} =\boxed{\textcolor{red}{ \numprint{2747}}}$

Pour savoir si la valeur de 49\:\% observée est précise à $\pm10\:\%$, on utilise l'intervalle de confiance :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Avec $\epsilon=\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{147}}}$, on trouve : \\
$\boxed{\textcolor{red}{\epsilon\approx 0,0824\approx 8,24\:\%}}$. On obtient un résultat plus précis que $\pm10\:\%$.

%\item Avec $\epsilon=1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}=1,96\sqrt{\dfrac{0,49\times 0,51}{147}}\\
%\approx\boxed{\textcolor{red}{ 0,08}}$, donc environ 8\:\%. 
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Ici, les otaries sont marquées en coupant une mèche de fourrure. Cette méthode a plusieurs avantages :

\begin{itemize}
\item  Dans un temps assez court, elle est indélébile et, dans un temps long, elle disparaît (avec la repousse des poils) ce qui ne perturbe pas la vie de l’animal sur le long terme ; 

\item  elle permet une recapture visuelle c’est-à-dire par simple observation des animaux (et donc sans avoir à la recapturer physiquement)

\end{itemize}

\item Pour la capture 1, on peut estimer l’abondance à $\dfrac{\numprint{1291}\times \numprint{1080}}{391} \approx \numprint{3566}$ individus, pour la   capture 2, à $\dfrac{\numprint{1291}\times\numprint{1224}}{378} \approx \numprint{4180}$ individus, pour la capture 3, à $\dfrac{\numprint{1291}\times\numprint{1107}}{363}\approx \numprint{3937}$ individus   et pour la capture 4, à $\dfrac{\numprint{1291}\times\numprint{1233}}{357}\approx 4459$individus.

\item L’abondance moyenne (estimée) est environ $\dfrac{3566 + 4180 + 3937 + 4459}{4} \approx 4036$.

\item On voit que les estimations diffèrent selon les captures en raison de la fluctuation d’échantillonnage (le résultat obtenu varie en fonction de l’échantillon). Réaliser plusieurs recaptures permet de faire une moyenne sur plusieurs estimations ce qui permet de lisser les écarts dus à la fluctuation d’échantillonnage.

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Population en 2003}}.\\
34 individus ont été capturés lors de la 1\iere{} session. On recapture 52 individus à la fin de la session de 2003, dont 26 ont été marqués lors de la 1\iere{} capture.\\
L'effectif de la population est donc :\\
$34\times \dfrac{52}{26}=\boxed{\textcolor{red}{68}}$.

\item\textbf{ \textcolor{red}{Population en 2004}} :\\
28 individus ont été capturés lors de la 1\iere{} session. On recapture 60 individus à la fin de la session de 2003, dont 24 ont été marqués lors de la 1\iere{} capture.\\
L'effectif de la population est donc :\\
$28\times \dfrac{60}{24}=\boxed{\textcolor{red}{70}}$.

\item 
Sur la période étudiée, on observe que la taille de la population augmente de 68 à 70.\\
Cependant, cette augmentation est négligeable : $\dfrac{70-68}{68}\approx 0,0294\approx \boxed{\textcolor{red}{2,9\:\%}}$.\\
L'augmentation est d'environ 2,9\:\% de l'effectif total.\\

De plus, ce suivi n'a été réalisé que sur 2 ans. Il faudrait voir si cette tendance se maintient à long terme.


\item La formule de l'intervalle de confiance (IC) pour un niveau de confiance de 95\:\% est \\
$I=[f-\epsilon~;~f+\epsilon]$, avec $f=0,5$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Avec $\epsilon=\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{200}}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,07}}$, on trouve $IC\approx [0,43~;~0,57]$.\\
On peut donc estimer avec un niveau de confiance de 95\:\% que la proportion de rats empoisonnés est de $50\:\%\pm 7\:\%$.

\item Avec $\epsilon=1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}=1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}}\\
\approx \boxed{\textcolor{red}{0,069=6,9\:\%}}$.\\
On peut donc estimer avec un niveau de confiance de 95\:\% que la proportion de rats empoisonnés est de $50 \pm 6,9\:\%$, soit :\\
$IC = [43,1\:\% ; 56,9\:\%]$. 

\end{enumerate}

\item On veut une incertitude de $\pm 3\:\%$ au seuil de confiance de 95\:\%.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Avec $\epsilon=\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$, on doit avoir : $\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,03$ donc \\
$\dfrac{1}{n}=0,03^2=\numprint{0,0009}$ d'où \\
$n=\dfrac{1}{\numprint{0,0009}}\approx \numprint{1112}$.\\
Il faudrait échantillonner au moins \textcolor{red}{\numprint{1112} }individus pour avoir une incertitude de 3\:\%.

\item $\epsilon=1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}$, on doit avoir $1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}=0,03$ donc $1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{n}}=0,03$.\\
D'où : $1,96^2\times \dfrac{0,5^2}{n}=0,03^2$ qui donne \\
$n=1,96^2\times \dfrac{0,5^2}{0,03^2}\approx 1067,1$.\\
Il faudrait échantillonner au moins \textcolor{red}{\numprint{1068}} individus pour avoir une incertitude de 3\:\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}
