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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction}}\end{center}

\subsection{I\textcolor{blue}{ntervalles de fluctuation}}


\subsubsection{}


\begin{enumerate}
\item $f_1= \dfrac{46}{100}=0,46$ et $f_2=\dfrac{\numprint{1275}}{\numprint{2500}}=\boxed{\textcolor{red}{0,51}}$.\\
Le centre B semble avoir mieux réussi le concours.

\item $p=0,55$ ; on a $0,2 \leqslant p\leqslant 0,8$ et $n=100 \geqslant 25$.\\
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95\:\% est :\\
$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,55-\dfrac{1}{\sqrt{100}}~;~0,55+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right]=\boxed{\textcolor{red}{[0,45~;~0,65]}}$.\\
$f_1\in I$. Ce centre est donc \textbf{\textcolor{red}{représentatif}} du résultat national au risque d’erreur de 5\:\%.

\item $p=0,55$ : on a $0,2 \leqslant p\leqslant 0,8$ et $n=\numprint{2500} \geqslant 25$. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95\:\% est :\\
$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,55-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{2500}}}~;~0,55+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{2500}}}\right]=\boxed{\textcolor{red}{[0,53~;~0,57]}}$.

\item $f_2\notin I$. Ce centre n’est donc \textbf{\textcolor{red}{pas représentatif}} du résultat national au risque d’erreur de 5\:\%.

\end{enumerate}



\subsubsection{}



\begin{enumerate}
\item $ p=0,791$ ; on a $0,2 \leqslant p\leqslant 0,8$ et $n=870 \geqslant 25$.\\
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% est \\
$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,791-\dfrac{1}{\sqrt{870}}~;~0,791+\dfrac{1}{\sqrt{870}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,757~;~0,825]}}$.

\item $f = \dfrac{339}{870} \approx \boxed{\textcolor{red}{0,39}}$.\\
La fréquence des personnes d’origine mexicaine dans les personnes convoquées n’appartient pas à cet intervalle
dans les personnes convoquées n’appartient pas à cet intervalle.

\item On peut en conclure qu’au risque d’erreur de 5\:\%, l’échantillon des jurés n’est \textbf{\textcolor{red}{pas représentatif}} de la population. Il a donc raison d’attaquer ce jugement au risque d’erreur de 5\:\%.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : De plus, comme $f$ est strictement inférieur à la borne inférieure de $I$, en particulier que les américains d’origine mexicaine étaient sous-représentés dans les personnes convoquées pour être jurés.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{intervalles de confiance}}
\subsubsection{}
Dans une grande ville où la propreté des trottoirs est souvent critiquée, la municipalité a organisé un sondage, par tirage aléatoire, auprès de 400 foyers. Elle apprend ainsi que 78 foyers de cet échantillon sont propriétaires de chiens (ou plusieurs).\\
Peut-elle savoir plus sur le pourcentage des propriétaires de chiens de cette ville ?

La taille de l'échantillon est $n=400$ ; la fréquence de foyers, propriétaires de chiens au sein de cet échantillon, est $f=\dfrac{78}{400}=\dfrac{39}{200}=0,195$.\\
$n>25$.\\
L'intervalle de confiance est $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,195-\dfrac{1}{\sqrt{400}}~;~0,195+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right]=\left[0,145~;~0,245\right]$.\\
On peut en déduire, avec un risque d'erreur de 5\:\%, que la proportion de foyers possédant au moins un chien est comprise entre 0,145 et 0,245.

\subsubsection{}
En vue d’une élection, un institut de sondage veut estimer la proportion d’électeurs favorables au candidat A.\\
Pour ce faire, l’institut procède à un sondage aléatoire de taille \numprint{2500} et obtient \numprint{1300} intentions de vote pour le candidat A.

\begin{enumerate}
\item %Peut-on affirmer, en supposant que les électeurs maintiennent leur choix le jour du vote, que le candidat A sera élu ? Pourquoi ?
$n=2500>25$ donc un peut calculer l'intervalle de confiance.\\
La fréquence de gens voulant voter pour le candidat A est $f=\dfrac{\numprint{1300}}{\numprint{2500}}=0,52$.\\
L'intervalle de confiance au seuil de 95\:\% est donc $I=\left[0,52-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{2500}}}~;~0,52+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{2500}}}\right]=\left[0,5~;~0,54\right]$.\\
La proportion de gens votant pour lui est supérieure ou égale à 0,5 avec un risque d'erreur de 5\:\% ; il peut penser être élu.

\item %Et si la taille du sondage avait été \numprint{1000}, pour une fréquence obtenue de 0,52, étudier si les conclusions auraient été les mêmes.
Avec $n=1000$, 'intervalle de confiance est $I=\left[0,52-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}~;~0,52+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}\right]\approx \left[0,488~;~0,552\right]$.\\
Il ne peut pas savoir s'il a des chances d'être élu.

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  