\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ores ton du contrôle sur les équations du second degré et la forme canonique}}\end{center}

\noindent Pour aller au corrigé du sujet A, cliquer sur \hyperlink{sujetA}{\textbf{\textcolor{blue}{sujet A}}}\\
Pour aller au corrigé du sujet B, cliquer sur \hyperlink{sujetB}{\textbf{\textcolor{blue}{sujet B}}}

\newpage
\hypertarget{sujetA}{\textbf{\textcolor{red}{}}}


\textbf{RAPPEL : le nom s'écrit en CAPITALES D'IMPRIMERIE !}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f(x)=9x^2+6x+3$.
\begin{enumerate}[a)]
\item %Trouver la forme canonique de $f(x)$.
$9x^2+6x+3$ est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $\begin{cases}a=9\\b=6\\c=3\end{cases}$.\\
La forme canonique de $f(x)$ est \\
$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\begin{cases}\alpha=-\dfrac{b}{2a}\\\beta=f(\alpha)\end{cases}$.\\
Alors : $\alpha=-\dfrac{6}{2\times 9}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{3}}}$ (penser à simplifier !)\\
On en déduit : \\
$\beta=f(\alpha)=f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=9\times \dfrac{1}{9}+6\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)+3=1-2+3\\
=\boxed{\textcolor{red}{2}}$.\\
La forme canonique de $f(x)$ est donc \\
\[\boxed{\textcolor{red}{f(x)=9\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+2}}.\]

\item %En déduire, que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)\geqslant 2$
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2\geqslant 0$ donc $9\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2\geqslant 0$ et, par conséquent, $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=9\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+2\geqslant 2}}$\\
\end{enumerate}

\subsection{}
%Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $(3x+1)(x-5)=0$\\
Un produit de facteurs est nul, si et seulement si, un des facteurs est nul.\\
Nous avons deux cas :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $3x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}$

\item Deuxième cas : $x-5=0\Leftrightarrow x=5$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{1}3{~;~5}\right)}}$.

\medskip

\item $x^2+10x+25=0\Leftrightarrow x^2+2\times x\times 5+5^2=0\Leftrightarrow (x+5)^2=0$ (identité remarquable).\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-5\}}}$


\medskip

\item $2x^2+3x+5=0$ est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $\begin{cases}a=2\\b=3\\c=5\end{cases}$.\\
Le discriminant vaut : \\
$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times 2\times 5=9-40=-31<0$.\\`
Puisque le discriminant est négatif, l'équation n'a pas de solution.\\
\[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}.\]

\medskip

\item $2x^2-12x+23=0$  est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $\begin{cases}a=2\\b=-12\\c=23\end{cases}$.\\
Le discriminant vaut : $\Delta=b^2-4ac\\
=(-12)^2-4\times 2\times 23=144-184=-40<0$\\

Puisque le discriminant est strictement négatf, l'équation n'a pas de solution.\\
\[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}.\]

\medskip

\item $3x^2+x-5=0$   est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $\begin{cases}a=3\\b=1\\c=-5\end{cases}$.\\
Le discriminant vaut : \\
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 3\times (-5)=1+50=61>0$.\\
Puisque le discriminant est strictement positif, l'équation a deux solutions.\\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{61}}{6}$\\
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{61}}{6}$\\
L'ensemble des solutions est : \\
\[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{61}}{6}~;~\dfrac{-1+\sqrt{61}}{6}\right).}}\]
\end{enumerate}






\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Ci-dessous est représentée la courbe représentative de la fonction $f : x\mapsto ax^2+bx+c$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-7)(3,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-7)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-7)(3,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1.4}{2.4}{3*(x-2)*(x+1)}
\uput[r](1,-6){$\mathscr{C}_f$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-1,0)(2,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Lire graphiquement les solutions de $f(x)=0$
$\mathscr{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en -1 et 2, donc l'équation $f(x)=0$ a pour solutions -1 et 2.

\item %En déduire la factorisation de $f(x)$ sous la forme $f(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.
On en déduit que $f(x)=a(x-(-1))(x-2)$ donc \[f(x)=a(x+1)(x-2).\]

\item %Lire la valeur de $f(0)$ ; en déduire la valeur de $a$.
Graphiquement : $f(0)=-6$.\\
Or, $f(0)=a(0+1)(0-2)=-2a$ ; on en déduit $a=3$.\\
Par conqéquent : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=3(x+1)(x-2)}}$.

\item %En déduire la forme développée de $f(x)$.
En développant : \\
$f(x)=3(x+1)(x-2)=3\left(x^2-2x+x-2\right)\\
=3\left(x^2-x-2\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=3x^2-3x-6}}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Soit $f$ la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f (x)=4x^2-12x+5\text{ (\textbf{\textcolor{red}{forme 1}})}\]


\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$,\\

$(2 x-5)(2 x-1)=4x^2-2x-10x+5=4x^2-12x+5$\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(2 x-5)(2 x-1)}}$ \text{ (\textbf{\textcolor{red}{forme 2}})}.

\item %Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ ,
$4x^2-12x+5=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=4\\b=-12\\c=5\end{cases}$.\\
La forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$ et \\
$\beta=f(\alpha)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)=4\times \dfrac{9}{4}-12\times \left(\dfrac{3}{2}\right)+5=9-18+5\\
=-4$ donc 
\[\textcolor{red}{f (x)=4\left(x-\dfrac 32\right)^2-4}\text{ (\textbf{\textcolor{red}{forme 3}})}.\]

\item Il faut réfléchir pour utiliser la forme la mieux adaptée.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$.
En utilisant la forme 1, on a $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=5}}$

\item %Résoudre l'équation $f(x)=0$.
Pour résoudre l'équation $f(x)=0$, on utilise la forme 2.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
On trouve : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right\}}}$.

\item %Déterminer les antécédents éventuels de 5 par f.
$f(x)=5\Leftrightarrow 4x^2-12x=0$ (en utilisant la forme 1).\\
D'où : $4x(x-3)=0$. (En mettant $4x$ en facteur)\\
Les antécédents de 5 sont 0 et 3.

\item %Montrer que, our tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)\geqslant -4$.\\
%Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ ce minimum est-il atteint ?
Pour tout $x$, $\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\geqslant 0$ donc \\
$4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\geqslant 0$ donc $4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\geqslant 0-4\geqslant -4$ (d'après la forme 3.)\\
Ce minimum est atteint pour $x=\dfrac{3}{2}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}




\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
%Un architecte travaille sur le plan d'une maison.\\
%Le plan de l'étage est schématisé par la figure ci-dessous.\\
%$ABCD$ et $BGFE$ sont deux carrés.\\
%Le rectangle $EFHC$, d'une largeur de $1,15~\si{\metre}$. représente le balcon sur lequel donne la chambre principale. 
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,7)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\psframe(0,0)(6.87,6.87)
\psframe(6.87,1.15)(12,6.87)
\uput[u](0,6.87){A}\uput[u](6.87,6.87){B}\uput[d](6.87,0){C}\uput[d](0,0){D}
\uput[l](6.87,1.15){E}\uput[ul](12,1.15){F}\uput[u](12,6.87){G}\uput[d](12,0){H}
\psline{<->}(12.2,1.15)(12.2,6.87)
\psline{<->}(6.97,0)(6.97,1.15)
\uput[r](12.2,4.35){$x$}
\uput[r](6.89,.6){$1,15$}
\psline[linestyle=dashed](6.87,0)(12.2,0)
\psline[linestyle=dashed](12,0)(12,1.15)
\end{pspicture}
\end{center}
%On appelle $x$ la longueur (en mètre) du côté du plus petit des deux carrés.\\
%L'étage doit avoir une surface de plancher de $80~\si{\square\metre}$. Le balcon n'est pas pris en compte.\\
%Déterminer la valeur de $x$. 
Le carré $ABCD$ a pour côté $x+1,15$ et le carré $BEFG$ a pour côté $x$.\\
Leurs aires sont $(x+1,15)^2$ et $x^2$.\\
On doit avoir $(x+1,15)^2+x^2=80$.\\
En développant, on obtient :\\
$x^2+2,3x+1,3225+x^2=80\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{2x^2+2,3x-\numprint{78,6775}=0}}$.\\
$\Delta=2,3^2-4\times 2\times (-78,6775)=634,71>0$.\\
L'équation a deux solutions :\\
$x_1=\dfrac{-23-\sqrt{634,71}}{4}<0$ et $x_2=\dfrac{-2,3+\sqrt{634,71}}{4}\approx 5,72$.\\
$x$ est une longueur donc un nombre positif.\\
\[\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{-2,3+\sqrt{634,71}}{4}\approx 5,72}}.\]


\newpage
\setcounter{subsection}{0}

\textbf{RAPPEL : le nom s'écrit en CAPITALES D'IMPRIMERIE !}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité Première : correction du contrôle équations du second degré (Sujet B)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
Soit $f(x)=8x^2+8x+5$.
\begin{enumerate}[a)]
\item %Trouver la forme canonique de $f(x)$.
$8x^2+8x+5$ est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $\begin{cases}a=8\\b=8\\c=5\end{cases}$.\\
La forme canonique de $f(x)$ est \\
$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\begin{cases}\alpha=-\dfrac{b}{2a}\\\beta=f(\alpha)\end{cases}$.\\
Alors : $\alpha=-\dfrac{8}{2\times 8}=-\dfrac{1}{2}$\\
On en déduit : \\
$\beta=f(\alpha)=f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=8\times \dfrac{1}{4}+8\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)+5=2-4+5\\
=3$.\\
La forme canonique de $f(x)$ est donc \[\boxed{\textcolor{red}{f(x)=8\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+3.}}\]


\item %En déduire, que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)\geqslant 2$
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\geqslant 0$ donc $8\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\geqslant 0$.\\
Par conséquent : $f(x)=8\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+3\geqslant 3$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(7 points)}}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $(5x+1)(x-7)=0$\\
Un produit de facteurs est nul, si et seulement si, un des facteurs est nul.\\
Nous avons deux cas :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $5x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{5}$

\item $x-7=0\Leftrightarrow x=7$
\end{enumerate}

L'équation a deux solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{1}{5}~;~7\right\}}}$.
\medskip

\item $x^2+12x+36=0\Leftrightarrow x^2+2\times 6\times x+6^2=0\Leftrightarrow (x+6)^2=0$. (Identité remarquable)\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-6\}}}$

\medskip

\item $2x^2+3x+6=0$ est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $\begin{cases}a=2\\b=3\\c=6\end{cases}$.\\
Le discriminant vaut : \\
$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times 2\times 6=9-48=-39<0$.\\
Le discriminant est strictement négatif ; l'équation n'a pas de solution.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\medskip

\item $3x^2+17x+10=0$  est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $\begin{cases}a=3\\b=17\\c=10\end{cases}$.\\
Le discriminant vaut : \\
$\Delta=b^2-4ac=17^2-4\times 3\times 10=289-120=169>0$.\\
Le discriminant est strictement positif : l'équation a deux solutions :\\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-17-\sqrt{169}}{2\times 3}=\dfrac{-17-13}{6}=-5$\\
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-17+\sqrt{169}}{2\times 3}=\dfrac{-17+13}{6}=-\dfrac{2}{3}$\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-5~;~-\dfrac{2}{3}\right\}}}$

\medskip

\item $5x^2+x-2=0$    est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $\begin{cases}a=5\\b=1\\c=-2\end{cases}$.\\
Le discriminant vaut : \\
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 5\times (-2)=1+40=41>0$.\\
Le discriminant est strictement positif : l'équation a deux solutions :\\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{41}}{2\times 5}=\dfrac{-1-\sqrt{41}}{10}$\\
$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{41}}{2\times 5}=\dfrac{-1+\sqrt{41}}{10}$\\
L'ensemble des solutions est \[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{41}}{10}~;~\dfrac{-1+\sqrt{41}}{10}\right\}.}}\]

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Ci-dessous est représentée la courbe représentative de la fonction $f : x\mapsto ax^2+bx+c$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-7)(2,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-7)(2,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-7)(2,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2.4}{1.4}{3*(x-1)*(x+2)}
\uput[l](-1,-6){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Lire graphiquement les solutions de $f(x)=0$
Graphiquement, les solutions de $f(x)=0$ sont -2 et 1

\item %En déduire la factorisation de $f(x)$ sous la forme $f(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.
Alors : $f(x)=a(x-(-2))(x-1)=\boxed{\textcolor{red}{a(x+2)(x-1)}}$

\item %Lire la valeur de $f(0)$ ; en déduire la valeur de $a$.
Graphiquement : $f(0)=-6$.\\
On en déduit $f(0)=-6=a\times 2\times (-1)=-2a$ donc $\boxed{\textcolor{red}{a=3}}$.\\
`par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=3(x+2)(x-1)}}$

\item %En déduire la forme développée de $f(x)$.
$f(x)=3(x+2)(x-1)=3\left(x^2-x+2x-2\right)\\
=3\left(x^2+x-2\right)=\boxed{\textcolor{red}{3x^2+3x-6}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Soit $f$ la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f (x)=4x^2-20x+9\text{ (\textbf{forme 1})}\]
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$,
%\[f(x)=(2 x-9)(2 x-1)\text{ (\textbf{forme 2})}.\]
$(2 x-9)(2 x-1)=4x^2-2x-18x+9\\
=4x^2-20x+9=f(x)$ donc :
\[\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(2 x-9)(2 x-1)}}~\text{\textbf{(forme 2)}}\]

\item %Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ ,
%\[f (x)=4\left(x-\dfrac 52\right)^2+9\text{ (\textbf{forme 3})}.\]
Cherchons la forme canonique :\\
$f(x)=4x^2-20x+9=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=4\\b=-20\\c=9\end{cases}$.\\
La forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\begin{cases}\alpha=-\dfrac{b}{2a}\\\beta=f(\alpha)\end{cases}$.\\
$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{20}{8}=\dfrac{5}{2}$.\\
$\beta=f(\alpha)=f\left(\dfrac{5}{2}\right)=4\times \left(\dfrac{5}{2}\right)^2-20\times \dfrac{5}{2}+9\\
=25-50+9=-16$.\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=4\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-16}}$ \textbf{(forme 3)}.

%\item En utilisant la forme de $f(x)$ la plus adaptée, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$. 
On utilise la forme 1 : $f(x)=4x^2-20x+9$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=9}}$

\item %Résoudre l'équation $f(x)=0$.
Pour résoudre l'équation $f(x)=0$, on utilise la forme 2 :\\
$f(x)=0\Leftrightarrow (2 x-9)(2 x-1)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul, si et seulement si, un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $2x-9=0\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{2}$

\item Deuxième cas : $2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{9}{2}\right\}}}$

\item %Déterminer les antécédents éventuels de -16 par f.
Pour déterminer les antécédents éventuels de -16 par $f$, on utilise la forme 3 :\\
$f(x)=-16\Leftrightarrow 4\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-16=-16\\
\Leftrightarrow 4\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$.\\
L' antécédents de -16 par $f$ est $\dfrac{5}{2}$.

\item %Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)\geqslant 9$.\\
%Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ ce minimum est-il atteint ?
On utilise la forme 3.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2\geqslant 0$ donc $4\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2\geqslant 0$ donc, \\
$\boxed{\textcolor{red}{f(x)=4\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-16\geqslant -16}}$.\\
Ce minimum est atteint pour $x=\dfrac{5}{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Un architecte travaille sur le plan d'une maison.\\
%Le plan de l'étage est schématisé par la figure ci-dessous.\\
%$ABCD$ et $BGFE$ sont deux carrés.\\
%Le rectangle $EFHC$, d'une largeur de $1,15~\si{\metre}$. représente le balcon sur lequel donne la chambre principale. 
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,7)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\psframe(0,0)(6.87,6.87)
\psframe(6.87,1.15)(12,6.87)
\uput[u](0,6.87){A}\uput[u](6.87,6.87){B}\uput[d](6.87,0){C}\uput[d](0,0){D}
\uput[l](6.87,1.15){E}\uput[ul](12,1.15){F}\uput[u](12,6.87){G}
\psline{<->}(12.2,1.15)(12.2,6.87)
\psline{<->}(6.97,0)(6.97,1.15)
\uput[r](12.2,4.35){$x$}
\uput[r](6.89,.6){$1,15$}
\psline[linestyle=dashed](6.87,0)(12.2,0)
\psline[linestyle=dashed](12,0)(12,1.15)
\end{pspicture}
\end{center}
%On appelle $x$ la longueur (en mètre) du côté du plus petit des deux carrés.\\
%L'étage doit avoir une surface de plancher de $80~\si{\square\metre}$. Le balcon n'est pas pris en compte.\\
%Déterminer la valeur de $x$. 
Le carré $ABCD$ a pour côté $x+1,15$ et le carré $BEFG$ a pour côté $x$.\\
Leurs aires sont $(x+1,15)^2$ et $x^2$.\\
On doit avoir $(x+1,15)^2+x^2=80$.\\
En développant, on obtient :\\
$x^2+2,3x+1,3225+x^2=80\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{2x^2+2,3x-\numprint{78,6775}=0}}$.\\
$\Delta=2,3^2-4\times 2\times (-78,6775)=634,71>0$.\\
L'équation a deux solutions :\\
$x_1=\dfrac{-23-\sqrt{634,71}}{4}<0$.\\
$x_2=\dfrac{-2,3+\sqrt{634,71}}{4}\approx 5,72$.\\
$x$ est une longueur donc un nombre positif.\\
\[\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{-2,3+\sqrt{634,71}}{4}\approx 5,72}}.\]

\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  