\documentclass[11pt,a4paper,answers,fancyhdr]{exam} % remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions
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%Corrigé Alain Detant
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%** surlignage en jaune ***
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\newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2 \right) }

\newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
\newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
\newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}

\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\vspace{0.5cm}
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
{{\LARGE \underline{\textbf{Exercice\,\thenumexos}}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
\vspace{0.5cm}
}
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes

\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
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\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
     \rhead{#3}
     \chead{\shadowbox{Corrigé du #1 du #2}}
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                % \rfoot{#3}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
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%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
\entetecor{baccalauréat S Polynésie}{10 juin 2016}{TS}{}

\titlespacing*{\subsubsection}
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{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 1 - pour tous les candidats}\hfill 7 points}}

\medskip

\textbf{Partie A}

Voici deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d'alcool dans le sang (taux d'alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d'alcool. L'instant $t = 0$ correspond au moment où les
deux individus ingèrent l'alcool.

$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

\emph{Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.5)(6.5,1.75)
\psaxes[linewidth=.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(6.5,1.75)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2 x mul 2.71828 x exp div}
\uput[u](1.5,1){$\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{3 x mul 2.71828 x exp div}\uput[u](1.5,0.65){\blue $\mathcal{C}_2$}
\uput[u](6.25,0){$t$}\uput[r](0,1.65){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction $C$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $C'$ sa fonction dérivée. À
un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d'apparition d'alcool dans le sang est donnée
par $C'(t)$.

À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?

\begin{solution}
\surj{La vitesse est visiblement maximale pour $t=0$} car c'est la tangente aux courbes en $O(0~;~0)$ qui semble avoir le coefficient directeur le plus élevé parmi toutes les tangentes.
\end{solution}


\emph{On dit souvent qu'une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l'alcool.}
\item Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus
corpulente. Justifier le choix effectué.

\begin{solution}
La courbe $\mathcal{C}_1$ montre que le taux d'alcoolémie de $P_1$ admet un maximum plus élevé que pour $P_2$.

On en déduit que \surj{la personne la moins corpulente est $P_1$}
\end{solution}

\item Une personne à jeûn absorbe de l'alcool. On admet que la concentration $C$ d'alcool
dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[f(t) = A t\text{e}^{-t}\]

où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d'alcool
absorbée.
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
		
		\begin{solution}
		
		\underline{\blue première méthode} (longue mais utilisable dans la partie B):
		
		$f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$.
		
		$f=uv \Longrightarrow f'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}
		u(t)=At\\v(t)=\text{e}^{-t}
		\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
				u'(t)=A\\v'(t)=-\text{e}^{-t}
				\end{cases}$		
		
		$\forall t \in [0~;~+\infty[~,~f'(t)=A(1-t)\text{e}^{-t}$ et \surj{$f'(0)=A$} 		
		
		\vspace{1cm}
		\underline{\blue deuxième méthode} (peut-être un peu plus astucieuse):
		
		\Lim{h}{0}{\dfrac{f'(h)-f(0)}{h}}~=~\Lim{h}{0}{A\text{e}^{-h}}~=~$A$ (limite finie)
		
		On en déduit que \surj{$f$ est dérivable en 0 et $f'(0)=A$}
		\end{solution}
		
		\item L'affirmation suivante est-elle vraie ?
		
\og À quantité d'alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente. \fg

\begin{solution}
\surj{L'affirmation est FAUSSE }

si $A_1>A_2$ alors $A_1t\text{e}^{-t}>A_2t\text{e}^{-t}$ car $t\text{e}^{-t}>0$ sur $[0~;~+\infty[$

On en déduit que la courbe associée à $A_1$ est au dessus de celle associée à $A_2$ donc la personne associée à $A_1$ est de plus faible corpulence que la personne associée à $A_2$ 
\end{solution}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Un cas particulier}

\medskip

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de
rhum. La concentration $C$ d'alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé
en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = 2 t\text{e}^{-t}.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

\begin{solution}
On a vu dans la partie précédente que $\forall t \in [0~;~+\infty[~,~f'(t)=A(1-t)\text{e}^{-t}$ or $A\text{e}^{-t}>0$

donc $f'(t)$ est du signe de $1-t$, on peut donc déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$


%$$\tabvar{%
%\tx{t}&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
%\tx{f'(t)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
%\tx{f(t)}&\txb{0}&\fm&\txh{\dfrac{2}{\text{e}}}&\fd&\txb{}\cr
%}$$
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$1$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(t)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$}
\rput(0.5,1){$f(t)$} \uput[u](1.1,0){0} \uput[d](4,2){$\frac{2}{\text{e}}$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{solution}

\item À quel instant la concentration d'alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle
est alors sa valeur? Arrondir à $10^{-2}$ près.

\begin{solution}

\surj{La concentration d'alcool dans le sang de Paul est maximale 1h après l'absorption}. 

Elle est alors d'environ \surj{0,74 $g.l^{-1}$}
\end{solution}

\newpage
\item Rappeler la limite de $\dfrac{\text{e}^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

\begin{solution}
\Lim{t}{+\infty}{\dfrac{\text{e}^{t}}{t}}~=~$+\infty$

\surj{\Lim{t}{+\infty}{f(t)}}~=~\Lim{t}{+\infty}{2 \times \dfrac{t}{\text{e}^{t}}  }~=~\Lim{t}{+\infty}{2 \times \dfrac{1}{\left( \dfrac{\text{e}^{t}}{t}\right) }  }~\surj{=~0} par quotient


\surj{On en déduit que l'alcool finit par s'éliminer totalement}.
\end{solution}

\item Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle
que la législation autorise une concentration maximale d'alcool dans le sang de $0,2$~g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que 
		
$f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.

\begin{solution}
$f$ est continue et strictement croissante sur $[0~,~1]$ à valeurs dans $\left[0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$ 

or $0,2 \in \left[0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$  donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, 

\surj{l'équation $f(t)=0,2$ admet une unique solution $t_1$ sur $[0~,~1]$}

de même, $f$ est continue et strictement décroissante sur $[1~,~+\infty[$ à valeurs dans $\left]0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$ 

or $0,2 \in \left]0~;~\dfrac{2}{\text{e}} \right]$  donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires,

 \surj{l'équation $f(t)=0,2$ admet une unique solution $t_2$ sur $[1~,~+\infty[$}  
\end{solution}

		\item Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant
en toute légalité ?
		
Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.

\begin{solution}
Par balayage, on obtient $t_1\approx 0,112 $ et $t_2\approx 3,577$

donc \surj{Paul doit attendre au minimum 3 heures et 35 minutes avant de reprendre le volant}.

\end{solution}

	\end{enumerate}
\item La concentration minimale d'alcool détectable dans le sang est estimée à 
	
$5 \times 10^{-3}$~g.L$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un instant $T$ à partir duquel la concentration d'alcool dans le
sang n'est plus détectable.

\begin{solution}
On sait que \Lim{t}{+\infty}{f(t)}~=~0 donc par définition de la limite, pour tout $\epsilon >0$ il existe $T \in R$ tel que pour tout $t >T~,~f(t)\in ]-\epsilon~;~\epsilon[$

ici on pose $\epsilon =5 \times 10^{-3}$

Donc \surj{il existe un instant $T$ à partir duquel l'alcool n'est plus détectable dans le sang }
\end{solution}

\newpage
		\item On donne l'algorithme suivant où $f$ est la fonction définie par 
		
$f(t) = 2 t\text{e}^{-t}$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Initialisation} :	& $t$ prend la valeur $3,5$\\
							&$p$ prend la valeur $0,25$\\
							&$C$ prend la valeur $0,21$\\
\textbf{Traitement} :		& Tant que $C > 5 \times 10^{-3}$ faire :\\
							&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
								$t$ prend la valeur $t + p$\\
								$C$ prend la valeur $f(t)$
							\end{tabular}\\
							&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}:			&Afficher $t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.
		
Arrondir les valeurs à $10^{-2}$ près.

\begin{solution}

	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
	&Initialisation &Étape 1& Étape 2\\ \hline
$p$	&0,25		&	\surj{0,25}		& \surj{0,25}\\ \hline
$t$	&3,5		&	\surj{3,75}		&\surj{4}\\ \hline
$C$	&0,21		&	\surj{0,18}		&\surj{0,15}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{solution}

Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?


\begin{solution}
\surj{La valeur affichée par l'algorithme est le temps nécessaire, en heure, pour que l'alcool} \surj{ne soit plus détectable dans le sang}.

\vspace{0.5cm}
Si on poursuit l'algorithme jusqu'à son terme, on obtient $8,25$ à l'affichage donc il faut 8~h et 15~minutes pour que l'alcool ne soit plus détectable dans le sang
\end{solution}


	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 2 - pour tous les candidats}\hfill 3 points}}


\medskip

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par 

\[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\]

On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par
\[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5.\]

\begin{enumerate}
\item Voici un extrait de feuille de tableur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C\\ \hline
1	&$n$&$u$&$v$\\ \hline
2	&0	&2	&7\\ \hline
3	&1	&4	&14\\ \hline
4	&2	&9	&28\\ \hline
5	&3	&24	&56\\ \hline
6	&4	&63	&\\ \hline
7	&	&	&\\ \hline
8	&	&	&\\ \hline
9	&	&	&\\ \hline
10	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour
afficher les termes des suites $u$ et $v$ ?

\begin{solution}
\surj{en C2 on entre \og =B2+2*A2$\times$A2+3*A2+5 \fg}~~et~~
\surj{en B3 on entre \og =2*B2+2*A2$\times$A2-A2 \fg}
\end{solution}

\item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.

\begin{solution}
Il semblerait que $\forall n \in \N~,~v_n=7\times 2^n$

on aurait alors $u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5$ car $v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5$

\vspace{0,5cm}
\textbf{Montrons par récurrence que $\forall n \in \N~,~u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5$}

\vspace{0.5cm}
Initialisation : 
pour $n=0~,~u_0=2$ ~~~et~~~ $7\times 2^0-2\times 0^2-3\times 0-5=7-5=2$

donc la propriété est vérifiée au rang $n=0$

\vspace{0.5cm}
Hérédité : Supposons qu'il existe un entier $k\in \N$ tel que $u_k=7\times 2^k-2k^2-3k-5$

alors $u_{k+1}=2\left(7\times 2^k-2k^2-3k-5 \right) +2k^2-k=7\times 2^{k+1}-2k^2-7k-10$

or $7\times 2^{k+1}-2(k+1)^2-3(k+1)-5=7\times 2^{k+1}-2k^2-4k-2-3k-3-5=7\times 2^{k+1}-2k^2-7k-10$

donc si $u_k=7\times 2^k-2k^2-3k-5$, cela entraîne que $u_{k+1}=7\times 2^{k+1}-2(k+1)^2-3(k+1)-5$

\vspace{0.5cm}
La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0 or elle est vérifiée au rang 0

\vspace{0.5cm}

Finalement \surj{$\forall n \in \N~,~u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5$} et donc \surj{$\forall n \in \N~,~v_n$}$=u_n+ 2n^2 + 3n + 5$\surj{$=7\times 2^n$}

\end{solution}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 3 - pour tous les candidats}\hfill 5 points}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un astronome responsable d'un club d'astronomie a observé le ciel un soir d'août 2015 pour
voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d'attente entre deux apparitions
d'étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d'attente, exprimé en minutes, par une variable
aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. En exploitant les données
obtenues, il a établi que $\lambda = 0,2$.

Il prévoit d'emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d'août 2016
pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu'il sera dans des conditions d'observation
analogues à celles d'août 2015.

L'astronome veut s'assurer que le groupe ne s'ennuiera pas et décide de faire quelques calculs
de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu'il attende moins
de $3$~minutes pour voir l'étoile filante suivante est environ $0,451$.

\begin{solution}
On cherche $P(X<3)$. 

La fonction densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,2$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par:

 $$f(t)=0,2\text{e}^{-0,2t}$$

$P(X<3)=\displaystyle \int_{0}^{3} 0,2\text{e}^{-0,2t} dt = \left[\vphantom{\sqrt{\dfrac{}{}}}-\text{e}^{-0,2t}\right]_{0}^{3}=1-\text{e}^{-0,6}\approx 0,451$ 

\surj{Donc la probabilité qu'il attende moins
de $3$~minutes est bien  environ $0,451$}
\end{solution}

\item Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour
voir la suivante avec une probabilité supérieure à $0,95$ ? Arrondir ce temps à la minute
près.

\begin{solution}
On cherche le plus petit réel $T$ tel que $P(X<T)>0,95$

$P(X<T)>0,95 \equi 1-\text{e}^{-0,2T} >0,95 \equi \text{e}^{-0,2T} < 0,05 \equi \text{e}^{0,2T} > 20 \equi 0,2T > \ln (20) \equi T > 5\ln (20)$

or $5\ln (20) \approx 14,98$. Donc \surj{le temps minimum à attendre est de 15 minutes}. 
\end{solution}

\item L'astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d'observations
d'étoiles filantes lors de cette sortie.

\begin{solution}
On sait que l'espérance de la variable aléatoire $T$ est $E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,2} = 5$~(min).

Donc en deux heures on peut espérer voir en moyenne $\dfrac{120}{5} = 24$~étoiles filantes.

\surj{On peut  espérer en moyenne voir 24 étoiles filantes pendant ces deux heures}.
%On sait que la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement autrement dit, on peut considérer ici que les apparitions sont indépendantes les unes des autres.
%
%La question précédente nous amène que en 15 minutes, la probabilité de voir une étoile filante est d'environ 0,95.
%
%En 2 heures, il y a 8 périodes de 15 minutes. On peut donc considérer que l'on répète $n=8$ fois de manières indépendantes une expérience n'ayant que deux issues: apparition ou non d'un étoile filante dont la probabilité de succès est $p=0,95$
%  
%Soit $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d'étoiles filantes apparues, alors $Y \binomiale{8}{0,95}$
%
%l'espérance de cette loi binomiale est $np=7,6$
%
%\surj{On peut donc espérer en moyenne 7,6 étoiles filantes pendant ces deux heures}. 
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient
les informations suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 64\,\% des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;
\item[$\bullet~~$] 27\,\% des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope
personnel ;
\item[$\bullet~~$] 65\,\% des nouveaux adhérents n'ont pas de télescope personnel.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit un adhérent au hasard.
Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est $0,494$.

\begin{solution}
On considère les événements:

\begin{itemize}
\item $N$: \og l'adhérent interrogé est un nouvel adhérent \fg

\item $T$: \og l'adhérent interrogé possède un télescope \fg
 
\end{itemize}

 on peut alors illustrer la situation par un arbre pondéré:
 
 les données de l'exercice sont en vert et celles déduites sont en rouge
 
  \vspace{0.5cm}
 \begin{minipage}{5cm}
 \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
 \pstree[treemode=R]{\Tdot}
 {
 \pstree
 {\Tdot~[tnpos=a]{$N$}\taput{\small ${\green 0,64}$}}
 {
 \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small ${\red 0,35}$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small ${\green 0,65}$}
 }
 \pstree
 {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{N}$}\tbput{\small ${\red 0,36}$}}
 {
 \Tdot~[tnpos=r]{$T$ {\green ---> 0,27} }\taput{\small ${\red 0,75}$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small ${\red 0,25}$}
 }
 }
 \end{minipage}\hspace{1cm}
 \begin{minipage}{10cm}
 On cherche $P(T)$
 \vspace{0.5cm}
 
 $N$ et $\overline{N}$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales on a: 
 
 \surj{$P(T)$}$=P\left(N \cap T \right) +P\left(N \cap \overline{T} \right)$
 
 $\hphantom{P(T)=}=P(N)\times P_{_N}(T)+0,27$
 
 $\hphantom{P(T)=}=0,64\times 0,35+0,27$
 
 $\hphantom{P(T)=}$\surj{$=0,494$}
 
  
 \end{minipage}
 
 \vspace{0.5cm}
 
\end{solution}

\item On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel.
Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent? Arrondir à $10^{-3}$ près.

\begin{solution}
On cherche $P_{_{T}}(N)$

\surj{$P_{_{T}}(N)$}$=\dfrac{P(T \cap N}{P(T)}=\dfrac{0,224}{0,494}$\surj{$\approx 0,453$}
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour des raisons pratiques, l'astronome responsable du club souhaiterait installer un site
d'observation sur les hauteurs d'une petite ville de \np{2500}~habitants. Mais la pollution lumineuse
due à l'éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre
la mairie de couper l'éclairage nocturne pendant les nuits d'observation, l'astronome réalise
un sondage aléatoire auprès de $100$~habitants et obtient $54$ avis favorables à la coupure de
l'éclairage nocturne.

L' astronome fait l'hypothèse que $50$\,\% de la population du village est favorable à la coupure
de l'éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l'amène-t-il à changer d'avis ?


\begin{solution}
On ne connaît pas la proportion $p$ d'habitants du village qui sont favorables à la coupure mais on fait une hypothèse sur sa valeur. Pour valider cette hypothèse on utilise donc l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%

La taille de l'échantillon est $n=100\geqslant 30$ et la probabilité supposée $p$ vérifie $np=50 \geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$ on peut donc appliquer l'intervalle de fluctuation

$I_n=\left[ p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}  \right]$ soit ici $I_n = [0,402~;~0,598]$

or la fréquence observée est $f=\dfrac{54}{100}=0,54 \in I_n$

\surj{Le résultat conforte donc l'astronome}.
\end{solution}


\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}\hfill 5 points}}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la
réponse choisie.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée
n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1 }:

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, les points A, B et C d'affixes
respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{2} + 3\text{i},\: z_{\text{B}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{C}} = - 4\text{i}$ ne sont pas alignés.

\begin{solution} \surj{VRAI}

Soit $Z=\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}=\dfrac{\sqrt{2}+7\text{i}}{1+5\text{i}}=\dfrac{1}{16}\left(\sqrt{2}+7\text{i} \right)\left(1-5\text{i} \right)=\dfrac{1}{16}\left(\vphantom{\dfrac{numérateur}{dénominateur}} (\sqrt{2}+35)+(7-5\sqrt{2})\text{i}\right) $

$Z \notin \R$ donc $arg(Z) \neq 0 (\pi)$ ~~~ or ~~~ $arg(Z)=arg\left(\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C} \right)=\left(\vect{CB}~;~\vect{CA} \right) (2\pi)$

On en déduit que $\left(\vect{CB}~;~\vect{CA} \right) \neq 0 (\pi)$ donc $A~,~B~\text{et}~C$ ne sont pas alignés.

\end{solution}

\newpage
\item  \textbf{Proposition 2 } : 

Il n'existe pas d'entier naturel $n$ non nul tel que $\left[\text{i}(1 + \text{i})\right]^{2n}$ soit un réel strictement positif.

\begin{solution} \surj{FAUX}

$\text{i}(1 + \text{i})=-1+\text{i}=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{i} \right)=\sqrt{2} \text{e}^{^{3\text{i}\frac{\pi}{4}}}$

on a alors $\left[\text{i}(1 + \text{i})\right]^{2n}=2^n \text{e}^{^{3\text{i}n\frac{\pi}{2}}}=2^n\left(\text{e}^{^{3\text{i}\frac{\pi}{2}}} \right)^n=2^n\left( -\text{i}\right) ^n$

Si $n$ est un multiple de 4 alors $n=4k$ avec $k \in \N^*$ 

et on a  $\left[\text{i}(1 + \text{i})\right]^{2n}=2^n\left( -\text{i}\right) ^{4k}=2^n\left( \left( -\text{i}\right) ^{4}\right) ^k=2^n \in \R^{+*}$ car $\left( -\text{i}\right) ^{4}=1$

\end{solution}

\item  ABCDEFGH est un cube de côté 1. Le point L est tel que $\vect{\text{EL}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{EF}}$.

\vspace{0.8cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\psframe(0.4,0.4)(3.5,3.5)%BCGF
%\psframe(1.4,1.5)(4.5,4.6)%ADHE
\psline(3.5,0.4)(4.5,1.5)(4.5,4.6)(3.5,3.5)%CDHG
\psline(4.5,4.6)(1.4,4.6)(0.4,3.5)%HEF
\psline[linestyle=dotted](0.4,0.4)(1.4,1.5)(4.5,1.5)%BAD
\psline[linestyle=dotted](1.4,1.5)(1.4,4.6)%AE
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.1,4.3)
\uput[ur](1.4,1.5){A} \uput[dl](0.4,0.4){B} \uput[dr](3.5,0.4){C} 
\uput[r](4.5,1.5){D} \uput[u](1.4,4.6){E} \uput[l](0.4,3.5){F} 
\uput[r](3.5,3.5){G} \uput[u](4.5,4.6){H} \uput[ul](1.1,4.3){L} 

\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0.4,0.4)(1.4,5.971)%(BP)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](4.5,1.5)(1.4,5.971)%(BP)
\uput[ul](1.4,5.971){\red P}

\uput[ur](2.4,4.6){\red M}

\psline[linecolor=green,linewidth=2pt](0.4,0.4)(1.1,4.3)(2.4,4.6)(4.5,1.5)(0.4,0.4)%BLMD
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Proposition 3 }

La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.


\begin{solution} \surj{FAUX}

Il s'agit du trapèze $BLMD$ 

$(BL) \in (BAE)$ et $(BL)$ n'est pas parallèle à $(AE)$ donc elles sont sécantes en $P$.

$P \in (EAD)$ et $P \in (BL) \subset (BDL)$ donc $P \in (BDL)$

$(DP) \subset (EAD)$ et $(DP)$ n'est pas parallèle à $(EH)$ donc elles sont sécantes en $M$

 

\end{solution}

\textbf{Proposition 4 }

Le triangle DBL est rectangle en B.

\begin{solution} \surj{FAUX}


On se place dans le repère orthonormé $\left(B~;~\vect{BC}~,~\vect{BA}~,~\vect{BF}~\right)$ 

alors $B(0~;~0~;~0)~~~,~~~D(1~;~1~;~0)~~~\text{et}~~~L\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1 \right)$

on a donc $\vect{BD}\begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix}~~~,~~~\vect{BL}\begin{pmatrix}
0\\\dfrac{2}{3}\\1
\end{pmatrix}$ et $\vect{BD} \cdot \vect{BL}=\dfrac{2}{3}\neq 0$ donc $BDL$ n'est pas rectangle en $B$


\end{solution}


\item   On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [2~;~5] et dont on connaît le tableau de
variations donné ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5)
\psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,1.9){$x$} \uput[u](2.15,1.9){$2$} \uput[u](4,1.9){$3$} \uput[u](6,1.9){$4$} \uput[u](7.85,1.9){$5$} 
\rput(1,1.3){Variations}\rput(1,0.7){de $f$}
\uput[d](2.15,2){3} \uput[u](4,0){0}\rput(6,1){1} \uput[d](7.85,2){2}
\psline{->}(2.4,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(6.5,1.1)(7.5,1.5)\psline(4.3,0.3)(5.5,0.8)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Proposition 5 } :

L'intégrale $c$ est comprise entre $1,5$ et $6$.

\begin{solution} \surj{FAUX}

%Sur l'intervalle $[2~;~3]$ on a $0 \leqslant f(x) \leqslant 3$ donc on peut simplement écrire $0 \leqslant \displaystyle\int_2^3 f(x)\:\text{d} x \leqslant 3$
%
%de même sur l'intervalle $[3~;~5]$ on a $0 \leqslant f(x) \leqslant 2$ donc on peut simplement écrire $0 \leqslant \displaystyle\int_3^5 f(x)\:\text{d} x \leqslant 4$ 
%
%Finalement on peut juste affirmer $0 \leqslant \displaystyle\int_2^5 f(x)\:\text{d}x \leqslant 7$
Un contre-exemple : on prend la fonction affine par morceaux décroissante sur [2~;~3] et croissante sur [3~;~5] définie par :

$f(2) = 3~;~f(2,001) = 0.001~;~f(3) = 0 \:;$

$f(3,999) = 0,001~;~f(4) = 1~;~f(4,999 = 1,001$ et $f(5) = 2$, on montre que l’intégrale est légèrement supérieure à 1. L’affirmation est donc fausse.

\end{solution}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 4 - Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}\hfill 5 points}}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la
réponse choisie.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée
n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1}

Pour tout entier naturel $n$, le chiffre des unités de $n^2 + n$ n'est jamais égal à 4.

\begin{solution} \surj{VRAI}

$n^2+n=n(n+1)$

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{ |*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	dernier chiffre de $n$	&dernier chiffre de $n+1$	&dernier chiffre de $n(n+1)$\\ \hline
0	&1	&0\\ \hline
1	&2	&2\\ \hline
2	&3	&6\\ \hline
3	&4	&2\\ \hline
4	&5	&0\\ \hline
5	&6	&0\\ \hline
6	&7	&2\\ \hline
7	&8	&6\\ \hline
8	&9	&2\\ \hline
9	&0	&0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{solution}

\newpage
\item On considère la suite $u$ définie, pour $n \geqslant  1$, par

\[u_n = \dfrac{1}{n} \text{pgcd}(20~;~n).\]

\textbf{Proposition 2}

La suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

\begin{solution} \surj{VRAI}

$\forall n \in \N^*~,~1 \leqslant \text{pgcd}(20~;~n) \leqslant 20$ donc $\forall n \in \N^*~,~\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{20}{n}$

or \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n}}~=~\Lim{n}{+\infty}{\dfrac{20}{n}}~=~0

donc d'après le théorème des gendarmes, \Lim{n}{+\infty}{u_n}~=~0 donc $\left(u_n \right)$  converge vers 0. 
\end{solution}

\item \textbf{Proposition 3}

Pour toutes matrices $A$ et $B$ carrées de dimension 2, on a $A \times  B = B \times A$.

\begin{solution} \surj{FAUX}
 Exemple: si $A=\begin{pmatrix}
1&2\\1&2
\end{pmatrix}~~ \text{et}~~B=\begin{pmatrix}
0&1\\1&0
\end{pmatrix}$ 
alors $A\times B=\begin{pmatrix}
2&1\\2&1
\end{pmatrix}~~ \text{et}~~B\times A=\begin{pmatrix}
1&2\\1&2
\end{pmatrix}$

\end{solution}

\item Un mobile peut occuper deux positions $A$ et $B$. À chaque étape, il peut soit rester dans
la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}
\item $A_n$ l'évènement \og le mobile se trouve dans la position $A$ à l'étape $n$ \fg{} et $a_n$ sa probabilité.
\item $B_n$ l'évènement \og le mobile se trouve dans la position $B$ à l'étape $n$\fg{} et $b_n$ sa probabilité.
\item $X_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
 \end{itemize}
 
On admet que, pour tout entier nature $n,\: X_{n+1} = M \times X_n$ avec $M = \begin{pmatrix}0,55&0,3\\ 0,45&0,7\end{pmatrix}$.
 
\textbf{Proposition 4}

La probabilité $P_{A_n} \left(B_{n+1}\right)$  vaut 0,45.

\begin{solution} \surj{VRAI}
$\forall n\in \N,\: X_{n+1} = M \times X_n$ donc $\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,55&0,3\\ 0,45&0,7\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$ 

donc $P \left(B_{n+1}\right)=b_{n+1}=0,45\times a_n+0,7\times b_n=0,45\times P \left(A_{n}\right)+0,7\times P \left(B_{n}\right)$

or d'après les probabilités totales, $P \left(B_{n+1}\right)=P_{A_n} \left(B_{n+1}\right) \times P \left(A_{n}\right)+P_{B_n} \left(B_{n+1}\right) \times P \left(B_{n}\right)$

On a donc $P_{A_n} \left(B_{n+1}\right)=0,45$  

\end{solution}

\textbf{Proposition 5}

Il existe un état initial $X_0 = \begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}$ tel que la probabilité d'être en $B$ à l'étape 1 est trois fois plus grande que celle d'être en $A$ à l'étape 1, autrement dit tel que $b_1 = 3a_1$.

\begin{solution} \surj{FAUX}
$\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix}=X_1=M\times X_0 =\begin{pmatrix}0,55\times a_0+0,3\times b_0\\0,45\times a_0+0,7\times b_0\end{pmatrix}$

$b_1=3a_1 \equi 0,45\times a_0+0,7\times b_0=3(0,55\times a_0+0,3\times b_0) \equi 0,45\times a_0+0,7\times b_0=1,65\times a_0+0,9\times b_0$

donc $b_1=3a_1  \equi 1,2a_0=-0,2b_0$

Ce résultat est absurde puisque $a_0$ et $b_0$ sont des probabilités donc des nombres positifs.

 
\end{solution}

\end{enumerate}
\end{document}