\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
%\tapuscrit{Jean-Paul GOUALARD}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction Métropole juin2016}}\end{center}

\subsection{}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\bigskip

Schématisons la situation par un arbre :


\begin{center}
\item %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $0,2$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{ $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $0,95$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $0,05$}
}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item D'après la formule de probabilités totales, on a :

$p(S)=p_A(S)\times p(A)+p_B(S)\times p(B)=0,8\times0,4+0,95\times 0,6=0,32+0,57=\boxed{\textcolor{red}{0,89}}$.

\item $p_{S}(A)=\dfrac{p\left((S\cap A\right)}{p\left(S\right)}=\dfrac{0,4\times 0,8}{0,89}=\dfrac{0,32}{0,89}=\dfrac{32}{89}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,36}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\bigskip

\begin{enumerate}


\item On a : $n=400$ et $f=0,92$.


$n\geqslant 30$, $nf=368\geqslant5$ et $n(1-f)=32\geqslant 5$.

Les conditions sont réunies pour utiliser un intervalle de confiance.

Au seuil de confiance de 95\:\%, un intervalle de confiance est :

$I_{95}=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ~;~  f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,92-\dfrac{1}{\sqrt{400}} ~;~  0,92+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right]=\left[0,92-\dfrac{1}{20}~;~0,92+\dfrac{1}{20}\right]=\boxed{\textcolor{red}{[0,87~;~ 0,97]}}$

\item L'amplitude de cet intervalle de confiance est $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{\sqrt{n}}}}$.

On doit donc avoir $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,02$ qui donne $\sqrt{n}\geqslant 100$, donc 
$\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant \numprint{10000}}}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

\bigskip


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $P(T\leqslant a)$ est l'aire de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=a$.

\item $P(T\leqslant t)=\int_0^t f(x)\text{ d}x=\left[-\mathrm{e}^{-\lambda x}\right]_0^t=\boxed{\textcolor{red}{1-\mathrm{e}^{-\lambda t}}}$.

\item $\lim_{t\rightarrow +\infty}(-\lambda t)=-\infty$ car $\lambda>0$ donc $\lim_{t\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-\lambda t}=\lim_{X\rightarrow+\infty}\mathrm{e}^{-X}=0$ d'où $\lim_{x\rightarrow +\infty}P(T\leqslant t)=\boxed{\textcolor{red}{1}}$.
\end{enumerate}

\item On suppose que $P(T\leqslant 7)=0,5$ donc $1-\mathrm{e}^{7\lambda}=0,5$, d'où $\mathrm{e}^{-7\lambda}=0,5$ qui donne $-7\lambda=\ln 0,5$ donc 

$\lambda=\dfrac{\ln 0,5}{-7}\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,099}}$ à $10^{-3}$ près.

\item On suppose que $\lambda=0,099$.

\begin{enumerate}
\item $P(T\leqslant 5)=1-P(T<5)=1-\left(1-\mathrm{e}^{-5\lambda}\right)=\mathrm{e}^{-5\lambda}=\mathrm{e}^{-5\times 0,099)}\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,61}}$.

\item On sait que la loi exponentielle est une loi du durée de vie sans vieillissement, donc 

$P_{(T\leqslant 2)}(T\leqslant 7)=P(T\leqslant 5)\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,61}}$.

\item L'espérance d'une loi exponentielle est $\boxed{\textcolor{red}{\frac{1}{\lambda}\approx 10}}$ à une unité près.

Cela signifie que, sur un grand nombre de ces composants électroniques, la durée de vie  est en moyenne de 10 ans.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\subsection{}

Dans un repère $\left(O~~;~~\overrightarrow{i}~~;~~\overrightarrow{j}~~;~~\overrightarrow{k}\right)$, on donne les points :

A(1~~;~~2~~;~~3), B(3~~;~~0~~;~~1), C(-1~;~0~;~1), D(2~;~1~;~-1), E(-1~;~-2~;~3) et F(-2~;~-3~;~4).

\textbf{Affirmation 1 : fausse}

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}$.

Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

\bigskip

\textbf{Affirmation 2 : vraie}

Puisque les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, ils définissent le plan ABC.



Soit $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$.

Alors : $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=-2+2=0$ et $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=-2+2=0$ donc $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c'est un vecteur normal au plan (ABC)

\bigskip

\textbf{Affirmation 3 : vraie}

Le vecteur $\overrightarrow{EF}$ a pour coordonnées : $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{n}$ ne sont pas colinéaires donc (AB) est sécante au plan (ABC).

Une équation cartésienne du plan (ABC) est : $y-y_A-\left(z-z_A\right)=0$ donc $y-2-(z-3)=0$ d'où $y-z=-1$.

Une représentation paramétrique de la droite (EF) est :

$(EF) : \begin{cases}x=-1-t\\y=-2-t\\z=3+t\end{cases}, t\in\mathbb{R}$

(EF) et (ABC) sont sécants s'il existe un point appartenant à la fois à la droite (EF) et au plan (ABC), donc s'il existe une valeur de $t$ unique telle que : $(-2-t)-(3+t)=-1$ donc $t=-2$.

Le point d'intersection I de (EF) et de (ABC) est I$0\left(1~;~0~;~1\right)$.

Le milieu de [BC] est M$\left(1~~;~~0~~;~~1\right)$ donc la droite (EF) et le plan (ABC) sont bien sécants et leur point d'intersection est bien le milieu de [BC].

\bigskip

\textbf{Affirmation 4 : fausse}

$y_D-z_D=2\neq -1$ donc D n'appartient pas au plan (ABC) ~;~ les droites (AB) et (CD) ne sont donc pas coplanaires et peuvent donc pas être sécantes.


\newpage


\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x-\ln\left(x^2+1\right)$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\bigskip


\begin{enumerate}
\item $f(x)=x\iff\ln\left(x^2+1\right)=0\iff x^2+1=1\iff x=0$ : l'équation a pour solution le nombre 0.

\item $f$ est dérivable somme somme et composée de fonctions dérivables.

$f=u-\ln(v)$ donc $f'=u'-\frac{v}{v'}$ avec $\begin{cases}u(x)=x\\u'(x)=1\end{cases}$ et $\begin{cases}v(x)=x^3+1\\v'(x)=2x\end{cases}$.

On en déduit que $f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\leqslant 0}}$ avec $f'(x)=0$ pour $x=1$.

$f$ est donc bien croissante sur $\mathbb{R}$ et $f'(1)=0$.

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x^2+1\right)=+\infty$ donc $\lim_{t\rightarrow +\infty}\ln\left(x^2+1\right)=\lim_{X\rightarrow -\infty}\ln X=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\boxed{\textcolor{red}{-\infty}}$.

\item Soit $x$ un réel de [0 ~;~ 1] ~;~ $f$ est croissante sont $f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1)$~;~

Or $f(0)=0$ et $f(1)=1-\ln(2)<1$ donc $0\leqslant f(x)\leqslant 1$~;~

Pour tout $x$ appartenant à [0 ~;~ 1], $f(x)$ appartient à [0 ~;~ 1].

\item 
\begin{enumerate}
\item Cet algorithme donne le plus petit entier pour lequel $N-\ln\left(N^2+1\right)\geqslant A$.

\item À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{n=110}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\bigskip

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n-\ln\left(u_n^2+1\right)=f\left(u_n\right)$.


\begin{enumerate}
\item Montrons par récurrence que $u_n$ appartient à [0 ~;~ 1] pour tout $n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $u_0=1\in[0.1]$

\item Hérédité : on suppose que $u_n\in[0~~;~~1]$ pour un entier $n$ quelconque.

D'après A.4), on en déduit que $u_{n+1}\in[0~;~1]$ ~;~ la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=-\ln\left(u_n^2+1\right)\leqslant 0$ car $u_{n+1}^2+1\geqslant 1$.

La suite est donc \textbf{décroissante}.

\item D'après 1., la suite est minorée et on vient de voir qu'elle est décroissante, donc elle est convergente vers un réel $\ell\geqslant 0$.

\item On admet que  $f(\ell)=\ell$.

On en déduit que $\ell=0$ d'après A 1.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice III (pour les élèves suivant l'enseignent de spécialité}}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Si $(x~;~y)$ est un couple d’entier relatifs alors :

$15x-12y=3\times (5x-4y)$ est un multiple de 3 et est donc \textbf{\textcolor{red}{divisible par 3}}.



\item Soient $(x~;~y)$ les coordonnées d’un point de la droite $\Delta_1$.

Alors :

$y=54x-23\Leftrightarrow 12y=15x-8\Leftrightarrow 15x-12y=8$.

Or 8 n’est pas divisible par 3.

\textbf{\textcolor{red}{Aucun}} des points de la droite $\Delta_1$ n’a ses deux coordonnées entières.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Généralisation}

\item 

\begin{enumerate}
\item Le couple $\left[x_0~;~y_0\right]$ vérifie $y_0=\dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q}$.

Donc $ny_0=mx_0-\dfrac{pn}{q}$.

Soit $ny_0-mx_0=-\dfrac{pn}{q}$.

Puisque $n$, $y_0$, $m$ et $x_0$ dont des entiers naturels alors $ny_0-mx_0$ aussi et par conséquent $\dfrac{np}{q}$ l’est également.

Cela signifie que \fbox{\textcolor{red}{$q$ divise $np$}}.

\item $p$ et $q$ sont premiers entre eux et $q$ divise $np$ par conséquent, d’après le \textbf{\textcolor{red}{théorème de Gauss}}, $q$ divise $n$.

\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item $n$ et $m$ sont premiers entre eux.

D’après le \textbf{\textcolor{red}{théorème de Bezout}}, il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que : $an+bm=1$/

Puisque $n=qr$, on obtient $aqr+bm=1$.

Il suffit donc de prendre $u=a$ et $v=-b$ pour obtenir $\boxed{\textcolor{red}{qru-mv=1}}$.

\item On veut trouver un couple d’entiers relatifs $\left(x_0~;~y_0\right)$ tels que :

$y_0=\dfrac{mx_0}{n}-\dfrac{p}{q}\Leftrightarrow ny_0=mx_0-\dfrac{np}{q}\Leftrightarrow ny_0-mx_0=-pr$.

Or il existe un couple d’entiers relatifs $(u~;~v)$ tel que :

$qru-mv=1\Leftrightarrow -pr(qru-mv)=-pr\Leftrightarrow -prnu+prmv=-pr$.

Prenons alors $y_0=-pru$ et $x_0=-prv$.
\end{enumerate}



\item Si $y=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{7}{4}$, alors $m=3$, $n=8$, $p=7$ et $q=4$.

$\text{pgcd}(3~;~8)=1$ et $\text{pgcd}(7~;~4)=1$.


4 divise 8 donc cette droite possède bien un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

\item 
\begin{enumerate}
\item Si $Q$ ne divise pas $N$, alors on ne rentre pas dans la boucle Tant que et l’algorithme d’arrête.

Si $Q$ divise $N$, alors d’après la question 3.b., pour tous les entiers relatifs $m$, $n$, $p$, $q$ tels que $\text{pgcd}(m~;~n)=\text{pgcd}(p~;~q)=1$ et $q$ divise $n$, il existe un couple d’entiers relatifs $\left(x_0~;~y_0\right)$ tels que $y_0=\dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q}$.

On va donc trouver un entier relatif $x_0$ tel que $\dfrac{m}{n}x0-\dfrac{p}{q}$ soit entier.

Cet entier est soit positif, soit négatif.

La boucle Tant que s’arrête si l’une des deux conditions n’est pas vérifiée ce qui, d’après ce qui vient d’être dit, arrivera au moins une fois.

\item  Cet algorithme permet de trouver un point de $\Delta$ dont les coordonnées sont entières.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On a clairement $\tan \alpha=\dfrac{EA}{ET}=\dfrac{25}{x}$ et $\tan \beta=\dfrac{EB}{ET}=\dfrac{30,6}{x}$.

\item $\tan$ est dérivable sur l'intervalle considéré comment quotient de fonctions dérivables.

$\tan'(x)=\dfrac{\cos x\times\cos x-\sin x\times(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos ^2 x}>0$.

La fonction $\tan$ est bien \textbf{croissante} sur $\left]0 ~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$.

\item $\tan \gamma=\tan(\beta-\alpha)=\dfrac{\tan\beta-\tan\alpha}{1/tan\beta\tan\alpha}=\dfrac{\frac{30,6}{x}-\frac{25}{x}}{1+\frac{30,6}{x}\times\frac{30,6}{x}}=\dfrac{\frac{5,6}{x}}{1+\frac{765}{x^2}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5,6x}{x^2+765}}}$.

\item L'angle $\widehat{ATB}$ est maximal quand $\gamma$ est maximal ~;~ comme la fonction $\tan$ est croissante, il faut que $\tan\gamma$ soit maximal, donc que $\dfrac{5,6x}{x^2+765}$ soit maximal, donc que $\dfrac{x}{x^2+765}$ soit maximal, donc que $\dfrac{x^2+765}{x^2}$ soit minimum (décroissance de la fonction inverse), donc il faut que $x+\dfrac{765}{x}$ soit minimum car $x+\dfrac{765}{x}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^2+765}{x}}}$.

On pose $f(x)=x+\dfrac{765}{x}$.

$f$ est dérivable sur $]0~;~50]$ et $f'(x)=1-\dfrac{765}{x^2}=\dfrac{x^2-765}{x^2}$.

$f'(x)$ s'annule en $\sqrt{765}$ et est négative sur $]0~;~\sqrt{765}]$.

$f$ est donc décroissante sur $\left]0~;~\sqrt{765}\right[$ puis croissante sur $\left[\sqrt{975}~;~50\right]$.

Le minimum est donc atteint pour $\boxed{\textcolor{red}{x=\sqrt{765}}}$.

On a alors $\tan\gamma\approx 0,101234$ d'où $\gamma\approx 0,10$ radian (environ 5,78 degrés)


\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  