\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité Première : correction du contrôle commun}}\end{center}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}

%Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point. 
%
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Question 1}}\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{x+ 1}{\mathrm{e}^{x}}$.\\
%La fonction dérivée $f'$ de $f$ est donnée sur $\mathbb{R}$ par : 
%
%
%\begin{tabular}{*4{p{4cm}}}
%
%a) $f'(x)=-\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x^2}}$& b) $f'(x)=-\dfrac{1}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}$&c) $f'(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$&d)  $f'(x)=-\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$
%\end{tabular}
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x+1\\v(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$\\
Alors : $f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$.\\
$f'(x)=\dfrac{1\times \mathrm{e}^{x}-(x+1)\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}=\dfrac{\left(1-(x+1)\right)\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}=-\dfrac{x\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}}}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{(Réponse d))}}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Question 2}}\\
%Pour tous réels $a$ et $b$, le nombre $\dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{-b}}$ est égal à :\\ 
%\begin{tabular}{*4{p{4cm}}}
%a) $\mathrm{e}^{a-b}$& b) $\mathrm{e}^{\frac{a}{-b}}$&c) $\dfrac{\mathrm{e}^{b}}{\mathrm{e}^{-a}}$&d) $\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{-b}$
%\end{tabular}
$\dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{-b}}=\mathrm{e}^{a-(-b)}=\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{b-(-a)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}^{b}}{\mathrm{e}^{-a}}}}$\\
\textbf{\textcolor{red}{Réponse c)}}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Question 3}}
%Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que $u_3=\dfrac{9}{2}$ et $u_6 = 3$.\\ 
%Alors le premier terme $u_0$ et la raison $r$ de la suite sont : \\
%\begin{tabular}{*4{p{4cm}}}
%a) $u_0=6$ et $r=-\dfrac{1}{2}$&b) $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $r=6$&c) $u_0=6$ et $r=\dfrac{1}{2}$&c) $u_0=\dfrac{3}{2}$ et $r=\dfrac{1}{2}$
%\end{tabular}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_6=u_3+3r$ donc $r=\dfrac{u_6-u_3}{3}=\dfrac{3-\frac32}{3}=\dfrac{-\frac32}{3}=-\dfrac{1}{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{r=-\dfrac{1}{2}}}$

\item $u_0=u_3-3r=\dfrac{9}{2}-3\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{2}=6$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_0=6}}$
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Réponse a)}}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Question 4}}\\
On tire deux boules successivement sans remise dans une urne contenant 3 boules rouges et 5 boules jaunes.\\
Cette expérience est décrite par l'arbre ci-dessous.
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=7mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$R$}\taput{$3\slash 8$}}
	  { 
		  \TR{$R$}\taput{2\slash 7}
		  \TR{$J$}\tbput{5\slash 7}	   
	  }
	\pstree{\TR{$J$}\tbput{5\slash 8}}
	  {
		  \TR{$R$}\taput{3\slash 7}
		  \TR{$J$}\tbput{4\slash 7}		  
	  }
}
\end{center}
%La probabilité de tirer une boule jaune au deuxième tirage est :\\
%\begin{tabular}{*4{p{4cm}}}
%a) $\dfrac{3}{8}\times \dfrac{5}{7}+\dfrac{5}{8}$&b) $\dfrac{20}{32}$&c) $\dfrac{5}{8}$&d) $\dfrac{40}{56}$
%\end{tabular}
On utilise la formule des probabilités totales :\\
La probabilité de tirer une boule jaune au deuxième tirage est :\\
$p(R \cap J)=p(J \cap J)= \dfrac{5}{7}\times \dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{7}\times \dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{56}+\dfrac{5}{14}=\dfrac{13}{28}=\dfrac{35}{56}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{8}}}$\\
\textbf{\textcolor{red}{réponse c)}}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Question 5}}
%La valeur exacte de la somme $S=1+\left(\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots +\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}$ est :\\
%\begin{tabular}{*4{p{4cm}}}
%a) \numprint{1,750030518}&b) $2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}$ &c)  $2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{14}$&d) \numprint{1,999969482}
%\end{tabular}
Soit $S=1+\left(\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots +\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}$.\\
On reconnait la somme $S_n=1+q+\cdots+q^n$ avec $q=\dfrac{1}{2}$ et $n=15$.\\
Alors : $S=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{16}}{1-\frac12}=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^16}{\frac12}=2\left(1-\left(\frac12\right)^{16}\right)=2-2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}=2-2\times \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}^{15}\right)=\boxed{\textcolor{red}{2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}}}$\\
\textbf{\textcolor{red}{Réponse (b)}}\\
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} la réponse d), $\numprint{1,999969482}$ n'est qu'une valeur approchée, pas la valeur exacte !

\bigskip

Les réponses étaient donc \fbox{\textcolor{red}{d-c-a-c-b}}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(8 points)}}
Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.\\
On considère :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item un salarié malade est toujours absent.

\item la première semaine de travail, le salarié n’est pas absent.

\item si la semaine $n$, le salarié n’est pas malade, alors la probabilité qu’il soit malade la semaine $n+1$ est 0,25.

\item si la semaine $n$, le salarié est malade, alors la probabilité qu’il soit malade la semaine $n+1$ est 0,3.
\end{enumerate}
On choisit au hasard un salarié dans l’entreprise. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note l’événement $R_n$ : \og{}le
salarié est malade à la n-ième semaine \fg{}.
\begin{enumerate}[1)]

\item %Expliquer pourquoi $r_1=0$ et donner la valeur de $r_2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $r_1=0$ puisque la première semaine, le salarié n'est pas malade.

\item $r_2=0,25$ d'après l'énoncé.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le salarié soit malade à la $n$-ième semaine. On
a alors $r_n =P\left(Rn\right)$.\\
Complétons l’arbre pondéré ci-dessous. (Aucune justification n’est attendue).
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$R_{n}$}\ncput*{$r_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$R_{n+1}$}\ncput*{0,3}
		  \TR{$\overline{R_{n+1}}$}\ncput*{0,7}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{R_{n}}$}\ncput*{$1-r_n$}}
	  {
		  \TR{$R_{n+1}$}\ncput*{0,25}
		  \TR{$\overline{R_{n+1}}$}\ncput*{0,75}}}

\end{center}

\item %Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $r_{n+1}=0,05r_n+0,25$.
On applique la formule des probabilités totales :\\
$r_{n+1}=P\left({n+1}\right)=P\left(R_{n+1} \cap R_n\right)+P\left(R_{n+1} \cap \overline{R_n}\right)\\
=0,3r_n+0,25\left(1-r_n\right)=0,3r+0,25-0,25r_n=\boxed{\textcolor{red}{0,25+0,05r_n}}$

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la suite $\left(n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=r_n-\dfrac{5}{19}$.\\
%Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Précisez sa raison et son premier terme.
Pour tout $n$, on a :\\
$v_ {n+1}=r_n-\dfrac{5}{19}=0,25+0,05r_n-\dfrac{5}{19}\\
=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{20}r_n-\dfrac{5}{19}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{19}+\dfrac{1}{20}r_n\\
=\dfrac{95-100}{380}+\dfrac{1}{20}r_n=-\dfrac{1}{76}+\dfrac{1}20{r_n}\\
=\dfrac{1}{20}\left(r_n-\dfrac{5}{19}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{20}v_n}}$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_ {n+1}=\dfrac{1}{20}v_n$.\\
$\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}}, de raison $q=\dfrac{1}{20}$ et de premier terme $v_1=r_1-\dfrac{5}{19}=-\dfrac{5}{19}$.\\
La première semaine, le salarié n'est pas absent, donc pas malade : $r_1=0$.

\item %Donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l’expression de $r_n$ en fonction de $n$.
Puisque $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q==\dfrac{1}{20}$, on a : \\
$v_n=v_1\times q^{n-1}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{5}{19}\times \left(\dfrac{1}{20}\right)^{n-1}}}$.\\
$v_n=r_n-\dfrac{5}{19}\iff r_n=\dfrac{5}{19}+v_n=\dfrac{5}{19}-\dfrac{5}{19}\times \left(\dfrac{1}{20}\right)^{n-1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{19}\left[1-\left(\dfrac{1}{20}\right)^{n-1}\right]}}$

\item %À l’aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite $\left(r_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
À l’aide de la calculatrice, on voit que les valeurs se rapprochent de plus en plus de 0,263, en fait de $\dfrac{5}{19}$.\\
À long terme, la probabilité qu'un salarié soit malade une semaine est $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{19}\approx 0,263}}$.
\end{enumerate}





\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(7 points)}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) =\left(x^2-3x+1\right)\mathrm{e}^{x}.\]
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$.
\begin{enumerate}[1)]
\item  %Calculer $f'(x)$.
$f=uv$ avec $\begin{cases}u(x)=x^2-3x+1\\v(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$.\\
Alors : $f'=(uv)'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u'(x)=2x-3\\v'(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$.\\
On en déduit : $f'(x)=(2x-3)\mathrm{e}^{x}+\left(x^2-3x+1\right)\mathrm{e}^{x}\\
=\left(2x-3+x^2-3x+1\right)\mathrm{e}^{x}=\boxed{\textcolor{red}{\left(x^2-x-2\right)\mathrm{e}^{x}}}$

\item %Déterminer l’équation réduite de la tangente $T$ à $\mathscr{C}_f$ en $x=0$.
L'équation réduite de la tangente ) $\mathscr{C}_f$ en $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\
Avec $a=0$, on obtient $y=f'(0)x+f(0)$.\\
$f'(0)=-2$ et $f(0)=1$.\\
L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 0 est donc : $\boxed{\textcolor{red}{y=-2x+1}}$.

\item %Résoudre l’équation $f'(x)=0$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc \\
$f'(x)=0\iff x^2-x-2=0$.\\
$\Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-2)=9>0$.\\
Il y a deux solutions :\\
$x_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt{9}}{2}=-1$ et $x_2=\dfrac{1+3}{2}=2$ ; \begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-1~;~2\right\}}}$.
\end{center}
On pouvait aussi voir que -1 est une racine évidente.

\item %En déduire le tableau de signe de $f'(x)$ ainsi que les variations de la fonction $f$.
Pour tout $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x^2-x-2$.\\
Ce trinôme du second degré est du signe du coefficient de $x^2$, 1, positif, à l'extérieur d l'intervalle formé par les racines et négatif entre les racines.\\
On en déduit le tableau de signe de $f'$ et le tableau de variation de $f$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&2&&\mI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{\dfrac{5}{\mathrm{e}}}&\d&-\mathrm{e}^{2}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item On admet que $f$ est positive sur l’intervalle $]-\infty~;~-1]$.\\
%Expliquer pourquoi, pour tout réel $x$, $f(x)\geqslant -\mathrm{e}^{2}$.
D'après le tableau de variation, $f(x)\geqslant -\mathrm{e}^{2}$ sur $[-1~;~+\infty[$ avec un minimum, $-\mathrm{e}^{2}$, atteint en $x=2$.\\
Comme $f$ est positive sur $]-\infty~;~1]$, $\boxed{\textcolor{red}{f(x)\geqslant -\mathrm{e}^{2}}}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.


\end{enumerate}


\end{multicols}

\newpage

Courbe (non demandée et la tangente en 0) :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-8,-8)(4,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-8,-8)(4,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-8,-8)(4,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-8}{2.77}{(x^2-3*x+1)*EXP(x)}
\psplotTangent[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{3}{(x^2-3*x+1)*EXP(x)}
\uput[u](-4,0.53){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}

\end{center}


\label{fin}
\end{document}  \left\vert  \right\vert

\label{fin}
\end{document}  