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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du bac blanc Terminale S (février 2013)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissance}
  
L'objet de cette question est de démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}  = + \infty$. (on ne peut donc pas utiliser les formules de croissances comparées, puisqu'il s'agit de démontrer cette limite.

%On suppose connus les résultats suivants : 
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et est égale à sa fonction dérivée 
%\item[$\bullet~~$] $\text{e}^0 = 1$ 
%\item[$\bullet~~$] Pour tout réel $x$, on a $\text{e}^x > x$ 
%\item[$\bullet~~$] Soit deux fonctions $v$ et $w$ définies sur l'intervalle $[A~;~+ \infty[$, où $A$ est un réel positif.
% 
%Si pour tout $x$ de $[A~;~+ \infty[$,\: $v(x) \leqslant w(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} v(x) = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} w(x) = + \infty$. 
%\end{itemize}
 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[\varphi(x) = \text{e}^x - \dfrac{x^2}{2}.\]
		 
%Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: \varphi(x) \geqslant 1$. 
Étudions les variation de $\varphi$ :\\
$\varphi$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables.\\
$\varphi'(x)=\mathrm{e}^{x}-x>0$ d'après le rappel.\\
On en déduit que la fonction est croissante sur $[0~;~+\infty[$ ; $\varphi(0)=1$.\\
On en déduit que, pour tout $x\in[0~;~+\infty[$, \[\boxed{\textcolor{red}{\varphi(x)\geqslant 1.}}\]

\item %En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}  = + \infty$.\\
On en déduit que, pour tout $x\geqslant 0$, $\varphi(x)>0$, c'est--à-dire $\mathrm{e}^{x}>\dfrac{x^{2}}{2}$. Pour $x>0$, on en déduit, en divisant par $x$, que $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}>\dfrac{x}{2}$.\\
Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x}{2}\right)=+\infty$, d'après le rappel, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=+\infty}}$.

	\end{enumerate}  

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{- \frac{1}{2}x}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
On pose $X=\dfrac{x}{2}$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left( \dfrac{1}{2}x\text{e}^{- \frac{1}{2}x}\right)=\lim_{X\rightarrow +\infty}X\mathrm{e}^{-X}=\lim_{X\rightarrow }\left(\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}\right)$.\\
On a montré que $\lim_{X\rightarrow }\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)$ donc \\
$\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}\right)=0$.\\
Par conséquent, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0}}$.

		\item %Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
$f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ comme produit et composée de fonctions dérivables.\\
$f=u\mathrm{e}^{-u}$ avec $u(x)=\dfrac{1}{2}x$.\\
$f'=\left(u\mathrm{e}^{-u}\right)'=u'\times \mathrm{e}^{-u}+u\times \left(-u'\mathrm{e}^{-u}\right)$ avec $u'(x)=\dfrac{1}{2}$.\\
Par conséquent : \\
$f'(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}+\dfrac{1}{2}x\times \left(-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac12x}\right)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac12x}\left(1-\dfrac{1}{2}x\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}(2-x)\mathrm{e}^{-\frac12x}}}$.\\
Pour tout $x\leqslant 0$, $\mathrm{e}^{-\frac12x}>0$ et $\dfrac{1}{4}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2-x$, donc positif pour $0\leqslant x\leqslant 2$, nul poutr $x=2$ et négatif pour $x>2$.\\
$f(0)=0$ ; $f(2)=\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.\\
On en déduit le tableau de variation de $f$ :\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&2&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{\dfrac{1}{\mathrm{e}}}&\d&0\\
\end{variations}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
 
On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1~mg de principe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle $g(t)$ la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant $t$ exprimé en heures $(t \geqslant 0)$.
 
On constate expérimentalement que la vitesse de libération $g'(t)$ du  médicament dans le sang vérifie l'égalité, pour tout $t\geqslant 0$, :
\[g'(t)=-\dfrac{1}{2}\left[g(t)-\mathrm{e}^{-\frac t2}\right].\]
		
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que toutes les fonctions $g_{k}:t\mapsto\dfrac{t}{2}\mathrm{e}^{-\frac t2}+k\mathrm{e}^{-\frac t2},~k\in\mathbb{R}$, vérifient l'égalité précédente, pour tout $t\geqslant 0$.
Soit la fonction $g_{k}:t\mapsto\dfrac{t}{2}\mathrm{e}^{-\frac t2}+k\mathrm{e}^{-\frac t2},~k\in\mathbb{R}$.\\
$g_{k}(t)=\dfrac{1}{2}t\mathrm{e}^{-\frac t2}+k\mathrm{e}^{-\frac t2}$.\\
$g_{k}$ est dérivable comme somme, produit et composée de fonctions dérivables.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g_{k}'(t)=\dfrac{1}{2}\left[1\times \mathrm{e}^{-\frac t2}+t\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-\frac t2}\right]-\dfrac{k}{2}\mathrm{e}^{-\frac t2}\\
=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac t2}\left[1-\dfrac{t}{2}-k\right]$.

\item $-\dfrac{1}{2}\left[g_{k}(t)-\mathrm{e}^{-\frac t2}\right]=-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{t}{2}\mathrm{e}^{-\frac t2}+k\mathrm{e}^{-\frac t2}-\mathrm{e}^{-\frac t2}\right]=\\
\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac t2}\left[1-\dfrac{t}{2}+k\right]$.\\
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{g_{k}'(t)=-\dfrac{1}{2}\left[g(t)-\mathrm{e}^{-\frac t2}\right]}}$ pour tout $t\in\mathbb{R}$.

\end{enumerate}
\item %On suppose qu'à l'instant $t=0$, la quantité de principe actif présente dans le sang est nulle.\\

Montrer alors que la fonction $g_{k}$ solution est la fonction $f$ de la partie A.
La fonction correspondant à la libération du médicament est donc une fonction $g_{k}$.\\
Comme à $t=0$, la quantité de principe actif  est nulle, on doit avoir $g_{k}(0)=0$ ; or $g_{k}(0)=k$ donc $k=0$.\\
La fonction est donc $\boxed{\textcolor{red}{g_{0}:t\mapsto\dfrac{1}{2}t\mathrm{e}^{-\frac t2}}}$, c'est-à-dire la fonction $f$ étudiée précédemment.

\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{l l} 
Entrée		& 	Affecter la valeur $3$ à la variable $n$.\\ 
Traitement	& Tant que $f(n) > 0,1$\\ 
			&\hspace{0.5cm}$n$ prend la valeur $n+1$.\\ 
			&Fin Tant que\\ 
Sortie		&Afficher la valeur de $n$.
\end{tabular} 
\end{center} 
où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la question 2. a. de la \textbf{partie A}, expliquer pourquoi il est certain que cet algorithme donne une valeur en sortie. 
On a vu que $\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=0$, donc il existe un réel $\alpha_{0}$ tel que $t>\alpha_{0}\Rightarrow f(t)<0,1$.\\
On en déduit que l'algorithme s'arrête et donne donc une valeur en sortie le premier entier $n$ tel que $f(n)<0,1$.

		\item %Quelle est la valeur $n_{0}$ de la variable $n$ obtenue \`a la sortie de l'algorithme ? 
On fait un tableau de valeurs à la calculatrice pour trouver cette valeur ; on trouve $\boxed{\textcolor{red}{n=8}}$.

		\item %L'absorption du médicament par l'animal a lieu un matin à $8$~h. À quelle question cet algorithme permet-il de répondre ?
L'algorithme permet de savoir à quelle heure la quantité de principe actif est inférieure à 0,1 (donc on peut considérer qu'il n'y en a plus). On trouve que c'est au bout de 8 heures, donc à 16 heures.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole septembre 2011}}
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
% 
%On désigne par A le point d'affixe i et par $f$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$, distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
%
%\[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe $2 - \text{i}$ par l'application $f$. 
On a $z_{\text{B}'} = \dfrac{2 - \text{i} - \text{i}}{2 + \text{i} + \text{i}} = \dfrac{2 - 2\text{i}}{2 + 2\text{i}} = \dfrac{1 - \text{i}}{1 + \text{i}} = \dfrac{(1 - \text{i})(1 - \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})} \\
=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1 - 1 - 2\text{i}}{1 + 1} = - \text{i}}}$.

%Placer les points B et B$'$ sur une figure que l'on fera sur la copie. 
\item %Démontrer que l'application $f$ n'admet pas de point invariant. On rappelle qu'un point invariant est un point confondu avec son image.
Avec $z \neq \text{i},\:z = z' \iff x + \text{i}y = \dfrac{x + \text{i}y - \text{i}}{x - \text{i}y + \text{i}} \\
\iff (x + \text{i}y) (x - \text{i}y + \text{i}) = x + \text{i}y - \text{i}\\
 \iff x^2  + y^2 - y - xy \text{i} +  \text{i} x + xy\text{i} = x + \text{i}y - \text{i} \\
 \iff x^2  + y^2 - y  + \text{i} x  = x + \text{i}y - \text{i} \\
 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x^2 + y^2 - y&=&x\\
 x&=&y - 1
\end{array}\right.\\
\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
(y - 1)^2 + y^2 - y&=&y - 1\\
 x&=&y - 1
\end{array}\right. \\
\iff \left\{\begin{array}{l c l}
2y^2 - 3y + 1 &=& y - 1 \\
x&=&y - 1
\end{array}\right.\\
 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2y^2 - 4y + 2 &=& 0\\
x&=&y - 1
\end{array}\right. \\
\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
y^2 - 2y + 1 &=& 0\\
x&=&y - 1
\end{array}\right. \\
\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
(y-  1)^2 &=& 0\\
 x&=&y - 1
\end{array}\right. \\
\iff \left\{\begin{array}{l c l}
y &=& 1\\
x &=&0
\end{array}\right.$

Cette solution n'est pas valide ($z = \text{i}$), puisque par définition $z \neq \text{i}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : la transformation n'a pas de point invariant.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, pour tout nombre complexe $z,\:\: \overline{z - \text{i}} = \overline{z} + \text{i}$.
On a $\overline{z} + \text{i} = \overline{z} + \overline{- \text{i}} = \overline{z + (- \text{i})} = \overline{z - \text{i}}$. (le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués.) 
		\item %Démontrer que $\text{O}M' = 1$ et interpréter géométriquement ce résultat.
D'après l'égalité précédente : \\
$z' =   \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}} =  \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z - \text{i}}} \Rightarrow \left|z'\right| = \left|\dfrac{z - \text{i}}{\overline{z - \text{i}}}\right| = \dfrac{\left|z - \text{i} \right|}{\left|\overline{z - \text{i}} \right|} = 1 $ puisque le module d'un complexe est égal à celui de son conjugué.

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : $\left|z'\right| =\boxed{\textcolor{red}{ \text{O}M' = 1}}$.

Tous les points images appartiennent au cercle trigonométrique, centré en O et de rayon 1.
		\item %Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A, 

%\[\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M'}\right) = 2 \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + 2k\pi \:\: \text{où}\: k\: \text{est un entier relatif.}\]
De m\^eme l'égalité $z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z - \text{i}}}$ donne pour les arguments :

$\arg(z') = \arg\left(\dfrac{z - \text{i}}{\overline{z - \text{i}}} \right)\\
 \iff \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{O}M'}\right) = \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) - \left[- \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right)  \right] = \boxed{\textcolor{red}{2\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right)}}$. 
		\item %En déduire une méthode de construction de l'image $M'$ d'un point quelconque $M $ distinct de A.
On a vu que le point $M'$ appartient au cercle trigonométrique ; il suffit de trouver un des arguments.

D'après la question précédente, on peut doubler l'argument de $z - \text{i}$ sur le cercle centré en A de rayon 1 et en reportant cet argument sur le cercle trigonométrique. Voir la figure.

\medskip
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$} \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$} 
\pscircle(0,0){1}\pscircle(0,1){1}
\psline(-1,1)(3,1)
\psline(0,1)(0.906308,1.422618)(1.6314,1.7607)
%\psarc[linecolor=blue](0.906308,1.422618){0.4328}{-270)}{-50}
%\psarc[linecolor=red](0.63,1.76){1}{-100}{-80}
\uput[ul](0,1){A}\uput[dl](0,0){O}\uput[r](1.6314,1.7607){M}
\psline(0,1)(0.63,1.76)(0.63,0.76)(0,0)\uput[dr](0.53,0.76){$M'$}
\psplot[linecolor=blue]{-1}{1.7}{0.57735 x mul 1 add}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](2,-1)(0,-1)
\uput[r](2,-1){B}
\uput[r](0,-1){B'}
\uput[ul](1.5,1.8){\blue$(d)$}

\end{pspicture}
\end{center} 
	\end{enumerate}
\item %Soit $(d)$ la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur $\overrightarrow{w}$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Dessiner la droite $(d)$.
Voir la figure : droite contenant A et faisant un angle de $\dfrac{\pi}{6}$ avec l'axe des abscisses. 
		\item %Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $(d)$ privée du point A.
		On a vu que si $M$ est un point de la droite $(d)$ distinct de A, un argument de son image $M'$ est égale à $2 \times \dfrac{\pi}{6} =  \dfrac{\pi}{3}$.
		
On a aussi démontré que O$M' = 1$.

L'image de la droite $(d)$ est donc réduite au seul point du cercle trigonométrique d'argument  $\dfrac{\pi}{3}$ : c'est le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud novembre 2012}}
%Au cours d'une séance, un joueur de tennis s'entraîne à faire des services.
% 
%Pour tout entier naturel non nul, on note $R_{n}$ l'évènement \og le joueur réussit le $n$-ième service \fg{} et $\overline{R_{n}}$ l'évènement contraire.
% 
%Soit $x_{n}$ la probabilité de $R_{n}$ et $y_{n}$ celle de $\overline{R_{n}}$.
% 
%La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0,7$.
% 
%On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées
%
%\begin{itemize}
%\item si le joueur réussit le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,8$ ; 
%\item si le joueur ne réussit pas le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,7$.
%\end{itemize}
 
\begin{enumerate}
\item %On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.
 
%Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la loi de probabilité de $X$. (On pourra utiliser un arbre de probabilité)
On a l'arbre de probabilités suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$R_{1}$}\taput{$0,7$}}
		{
\TR{$R_{2}$}\taput{$0,8$}
\TR{$\overline{R_{2}}$}\tbput{$0,2$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{R_{1}}$}\tbput{$0,3$}}
		{
\TR{$R_{2}$}\taput{$0,7$}
\TR{$\overline{R_{2}}$}\tbput{$0,3$}
 		}
}
\end{center}

On a \\
$p(X = 2) = 0,7 \times 0,8 = \boxed{\textcolor{red}{0,56}}$ ;\\
$p(X = 0) = 0,3 \times 0,3 = \boxed{\textcolor{red}{0,09}}$ ;\\
$p(X = 1) = 0,7 \times 0,2 + 0,3 \times 0,7 = 0,14 + 0,21 \\
= \boxed{\textcolor{red}{0,35}}$ ou \\
$(p(X=1)=1-[p(X=0)+p(X=2)])$.\\
La loi de probabilité de $X$ est donc :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_{i}$&0&1&2\\
\hline
$p\left(X=x_{i}\right)$&0,09&0,35&0,56\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item %Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$.
		E$(X) = 2 \times 0,56 + 1 \times 0,35 + 0 \times 0,09 = 1,12 + 0,35 \\
		= 1,47$.\\
		$\boxed{\textcolor{red}{\text{E}(X)=1,47}}$
	\end{enumerate}
\item %On s'intéresse maintenant au cas général. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_{n}}\left(R_{n+1}\right)$ et $P_{\overline{R_{n}}}\left(R_{n+1}\right)$.
D'après l'énoncé  $P_{R_{n}}\left(R_{n+1}\right) = 0,8$ et $P_{\overline{R_{n}}}\left(R_{n+1}\right) = 0,7$.
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,7$.
On construit un arbre analogue :
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$R_{n}$}\taput{$x_{n}$}}
		{
\TR{$R_{n+1}$}\taput{$0,8$}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{$0,2$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{R_{n}}$}\tbput{$1 - x_{n}$}}
		{
\TR{$R_{n+1}$}\taput{$0,7$}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{$0,3$}
 		}
}
\end{center}

On a donc $x_{n+1} = x_{n} \times 0,8 + \left(1  - x_{n}\right) \times 0,7 \\
= 0,8x_{n} - 0,7x_{n} + 0,7 = \boxed{\textcolor{red}{0,7 + 0,1x_{n}}}$.		
	\end{enumerate} 
\item %Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul par $u_{n} = 9x_{n} - 7$.
 
%\emph{Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Quel que soit $n \in \mathbb{N},\: n \neq 0,  \: u_{n+1} = 9x_{n+1} - 7 \\
= 9\left(0,7 + 0,1x_{n} \right) - 7 = 6,3 + 0,9x_{n} - 7 \\
= 0,9x_{n} - 0,7 = 0,1 \left(9x_{n} - 7 \right) = \boxed{\textcolor{red}{0,1 u_{n}}}$.

$u_{n+1} = 0,1 u_{n}$ quel que soit le naturel $n$ non nul donc la suite  $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,1$, de premier terme $u_{1} = 9x_{1} - 7 = 9 \times 0,7 - 7 \\= - 0,7$.
		\item %En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$.
On sait que pour tout naturel $n,\\
u_{n} = u_{1}\times r^{n - 1} = \boxed{\textcolor{red}{- 0,7 \times 0,1^{n - 1}}}$.
		
Comme $-1<0,1<1$,  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,1^{n - 1} = 0$, donc $\displaystyle\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty}u_{n} = 0}}$.

Par suite, comme $x_{n} = \dfrac{u_{n} + 7}{9}$, \\
$\boxed{\textcolor{red}{\displaystyle\lim_{n \to + \infty} x_{n} = \dfrac{7}{9} \approx \numprint{0,777778}}}$.

Sur un très grand nombre de services le pourcentage de services réussis se rapproche de 77,8 \,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{1+2u_{n}}$.
\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe , on a tracé la courbe d'équation \\
$y=\dfrac{x}{1+2x}$.
\begin{enumerate}
\item %Représenter graphiquement sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite.
Voir \hyperlink{graphique}{graphique}.

\item %Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
On conjecture que la suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers 0.\\

On cherche à déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Méthode 1}}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \\
$f(x)=\dfrac{x}{1+2x}$.\\
%Dresser le tableau des variations complet de $f$.
$f'(x)=\dfrac{1}{(2x+1)^{2}}>0$ donc $f$ est strictement croissante sur $[0~;~=\infty[$.

\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $0< u_{n+1}\leqslant u_{n}$.
Démontrons par récurrence que, pour tout $n$, $0<u_{n+1}<u_{n}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_{1}=\dfrac{u_{0}}{1+2u_{0}}=\dfrac{\frac12}{1+2\times \frac12}=\dfrac{1}{4}$ donc \\$0<u_{1}<u_{0}$. La propriété est vraie au rang $n=0$.

\item Supposons que $0<u_{n}<u_{n+1}$ pour un entier $n$  quelconque.\\
Comme $f$ est croissante, on a \\
$f(0)<f\left(u_{n+1}\right)<f\left(u_{n}\right)$ donc \\
$0<u_{n+2}<u_{n+1}$. la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite.
La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc décroissante et minorée, donc convergente vers un réel $\ell$.\\
$u_{n+1}$ tend vers $\ell$ ; $\dfrac{u_{n}}{1+2u_{n}}$ vers $\dfrac{2\ell}{1+2\ell}$ ; par unicité de la limite, on a $\ell=\dfrac{\ell}{1+2\ell}$.\\
On en déduit : $\ell\left[1-\dfrac{1}{1+2\ell}\right]=0$ d'où \\
$\ell\times \dfrac{1}{1+2\ell}=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\ell=0}}$.
\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Méthode 2}}\\
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}+1$.
\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est arithmétique. On précisera son premier terme et sa raison.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}}+1=\dfrac{1+2u_{n}}{u_{n}}+1\\
=\dfrac{1}{u_{n}}+2+1=\left(\dfrac{1}{u_{n}}+1\right)+2=v_{n}+2$.\\
$\left(v_{n}\right)$ est donc une suite arithmétique, de raison $r=2$ et de premier terme $v_{0}=\dfrac{1}{u_{0}}+1=3$.\\


\item %Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.
On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{v_{n}=2n+3}}$.\\
$u_{n}=\dfrac{1}{v_{n}-1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2n+2}}}$.

\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
On en déduit que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\begin{center}
\hypertarget{graphique} Graphique représentant les premiers termes de la suite\\
\bigskip
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=18 , yunit=25}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.2)(0.75,0.26)
\def\xmin{-0.3} \def\xmax{0.65} \def\ymin{-0.2} \def\ymax{0.26}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.4,-0.2)(0.75,0.26)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=5](0,0)(-0.3,-0.2)(0.65,0.35)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.5,0)(0.5,0.25)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.5,0.25)(0,0.25)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.25)(0.25,0.25)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.25,0.25)(0.25,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.25,0.25)(0.25,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.25,0)(0.25,0.16666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.25,0)(0.25,0.16666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.25,0.16666)(0,0.16666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.25,0.16666)(0,0.16666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.16666)(0.16666,0.16666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,0.16666)(0.16666,0.16666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.16666,0.16666)(0.16666,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.16666,0.16666)(0.16666,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.16666,0)(0.16666,0.125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.16666,0)(0.16666,0.125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.16666,0.125)(0,0.125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.16666,0.125)(0,0.125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.125)(0.125,0.125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,0.125)(0.125,0.125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.125,0.125)(0.125,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.125,0.125)(0.125,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.125,0)(0.125,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.125,0)(0.125,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.125,0.1)(0,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.125,0.1)(0,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.1)(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,0.1)(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1,0.1)(0.1,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.1,0.1)(0.1,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1,0)(0.1,0.08333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.1,0)(0.1,0.08333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1,0.08333)(0,0.08333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.1,0.08333)(0,0.08333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.08333)(0.08333,0.08333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0,0.08333)(0.08333,0.08333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.08333,0.08333)(0.08333,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dashed]{-}(0.08333,0.08333)(0.08333,0)
\def\F{x 1 2 x mul add div}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt,linestyle=solid]{-0.35}{0.65}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,plotpoints=1000]{-0.35}{0.65}{\F}
\uput[l](0.2,0.2){$y=x$}
\uput[u](0.4,0.2){$\mathscr{C}$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=12pt, Dx=0.1,Dy=0.1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[u](0.5,0){ $u_0$}
\uput[180](0,0.25){ $u_1$}
\uput[u](0.25,0){ $u_1$}
\uput[180](0,0.16666){ $u_2$}
\uput[d](0.16666,0){ $u_2$}
\uput[180](0,0.125){ $u_3$}
\uput[u](0.125,0){ $u_3$}
\uput[180](0,0.1){ $u_4$}
\uput[d](0.1,0){ $u_4$}
\uput[180](0,0.08333){ $u_5$}
\uput[u](0.08333,0){ $u_5$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{IV (spécialité})}
\begin{enumerate}
\item  $N_{2}$ est premier. $N_{3}$ n'est pas premier car divisible par 3. $N_{4}$ n'est pas premier car $\nombre{1111} = 11\times101$.
\item  On sait que pour tout réel $x \neq 1,~ 1 + x + x^2 +\cdots + x^{p-2} + x^{p-1} = \dfrac{
1 - x^{(p-1)+1}}{1 - x} = \dfrac{x^p - 1}{x - 1}$.\\
En particulier, en prenant $x = 10$, on obtient $N_{p} =
\dfrac{10^p - 1}{10 - 1} = \dfrac{10^p - 1}{9}
$.\\
D'où $10^p - 1 = 9 \times N_{p}$ avec $N_{p} \in  \mathbb{N}*$. Donc $10^p - 1$ est divisible par 9. (Ou : $N_{p}$ \'etant naturel  $10^p - 1$ est divisible par 9).

\item  Notons [1] l'égalité suivante : $x^n - 1 = (x - 1)\left(1 + x + \cdots + x^{n-2} + x^{n-1}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Avec $N_{p} = N_{2q} =
\dfrac{10^{2q} - 1}{9} = \dfrac{100^q - 1}{9}$.\\
Or d'après [1] avec $x = 100$ et $n = q$, on a :
$100^q -1 = (100-1)\left(1+100+\cdots+100^{q-2}+100^{q-1}\right)$ \\
$= 99\times\left(1+100+ \cdots +100^{q-2}+100^{q-1}\right)$.\\
Par conséquent $N_{p} = 11 \times  \left(1+100+\cdots+100^{q-2}+100^{q-1}\right)$ est divisible par 11.\\
		\emph{Autre m\'ethode : } $N_{2q} = (1 + 10) + \left( 10^2 + 10^3\right) + \cdots +   \left(10^{2q-1} + 10^{2q} \right) = (1 + 10) + 10^2 (1 + 10) + \cdots + 10^{2q-1}(1 + 10) = 11 \times \left(1 + 10^2 + \cdots + 10^{2q-1} \right)$ qui montre que $N_{2q}$ est divisible par 11. 
		\item $N_{p} = N_{3q} = 
\dfrac{10^{3q} - 1}{9}
= \dfrac{1\:000^q - 1}{9}$.\\
Or d'après [1] avec $x = 1\:000$ et $n = q$, on a :\\
$1\:000^q - 1 = (1\:000 - 1)\left(1 + x + \cdots+ x^{q-2} + x^{q-1}\right) =
		 9 \times  111 \times  \left(1 + x + \cdots + x^{q-2} + x^{q-1}\right)$.\\
Par conséquent $N_{p} = 111 \times  \left(1 + x + \cdots + x^{q-2} + x^{q-1}\right)$ est divisible par $111$.\\
\emph{Autre m\'ethode : } On peut faire des paquets de trois termes qui sont multiples de $111$		
		\item $N_{p} = N_{kq} =
\dfrac{10^{kq} - 1}{9} = \dfrac{(10k)^q - 1}{9}$.\\
Or en appliquant [1] avec $x = 10k$ et $n = q$, on a :\\
$(10k)^q - 1 = (10k - 1)\left(1 + x + \cdots + x^{q-2} + x^{q-1}\right)$.\\
Ainsi $N_{p} =\dfrac{(10k - 1)\left(1 + x + \cdots + x^{q-2} + x^{q-1}\right)}{9} = \dfrac{10k - 1}{9}\left(1 + x + \cdots + x^{q-2} + x^{q-1}\right) =  N_{k} \times  \left(1 + x + \cdots + x^{q-2} + x^{q-1}\right)$.\\
Or $\left(1 + x + \cdots + x^{q-2} + x^{q-1}\right)$ est un entier naturel non nul. Finalement $N_{p}$ est divisible
par $N_{k}$.
 	\end{enumerate}
\item  Si $p$ n'est pas premier, alors $N_{p}$ n'est pas premier (car $N_{p}$ est divisible par $N_{k}$ avec $1 < N_{k} < N_{p}$).\\
La contraposée de cette implication est :
Si $N_{p}$ est premier, alors $p$ est premier.
Autrement dit, pour que $N_{p}$ soit premier, il faut que $p$ soit premier.\\
Cette condition n'est pas suffisante, car $3$ est premier, mais $N_{3}$ ne l'est pas. \end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  