\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs,makeidx,enumerate}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
% Tapuscrit Denis Vergès
\usepackage{geometry}
\geometry{ hmargin=3.5cm, vmargin=3.5cm }
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {TS Amérique du Nord},
pdftitle = {1er juin 2016},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    

\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 1\up{er} juin 2016}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Correction Baccalauréat S Amérique du Nord
~\decofourright\\1\up{er} juin 2016}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à tous les cancidats}

\medskip

Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A
et B. L'entreprise considère qu'une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre
est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm.

\smallskip

\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes.}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude du fonctionnement des machines a permis d'établir les résultats suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]96\,\% de la production journalière est vendable.
\item[$\bullet~~$]La machine A fournit 60\,\% de la production journalière.
\item[$\bullet~~$]La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98\,\%.
\end{itemize}

\smallskip

On choisit une bille au hasard dans la production d'un jour donné. On définit les évènements
suivants :

$A$ : \og la bille a été fabriquée par la machine A \fg{} ;

$B$ : \og la bille a été fabriquée par la machine B \fg{} ;

$V$ : \og la bille est vendable \fg.

\medskip
Traduction des hypothèses : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A)=0,6$

\item $p(V)=0,96$

\item $p_A(V)=0,98$
\end{enumerate}

Arbre schématisant la situation :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{ $0,98$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{ $0,02$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{ $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{ $\cdots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{ $\cdots$}
}
}


\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.
$p(V\cap V)=p_A(V)\times p(A)=0,98\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,588}}$.

\item %Justifier que $P(B \cap V) = 0,372$ et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu'elle provient de la machine B.
$V=(V\cap A)\cup(V\cap B)$ (réunin d'événements incompatibles) donc $p(V)=p(V\cap A)+p(V\cap B)$.

O en déduit que $p(V\cap B)=p(V)-p(V\cap A)=0,96-0,588=\boxed{\textcolor{red}{0,372}}$.

\bigskip
Alors : $p_B(V)=\dfrac{p(V÷cap B)}{p(B)}=\dfrac{0,372}{0,4}=\boxed{\textcolor{red}{0,93}}$.

\item %Un technicien affirme que 70\,\% des billes non vendables proviennent de la machine B.
%
%A-t-il raison ?
$p_{\overline{V}}(B)=\dfrac{p\left(\overline{B}\cap V\right)}{p(B)}=\dfrac{0,4\times (1-0,93)}{1-0,96}=\dfrac{0,4\times 0,07}{0,04}=10\times 0,07=0,7=\boxed{\textcolor{red}{70\:\%}}$.

Le technicien a donc raison.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les
machines A et B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d'une bille prélevée au hasard
dans la production de la machine B par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale
d'espérance $\mu = 1$ et d'écart-type $\sigma = 0,055$.

%Vérifier que la probabilité qu'une bille produite par la machine B soit vendable est bien
%celle trouvée dans la partie A, au centième près.
À la calculatrice, on calcule $p(0,9\leqslant X\leqslant 1,1)$ ; on trouve $p(0,9\leqslant X\leqslant 1,1)\approx 0,93$, qui correspond bien à la probabilité de a partie A.

\item De la même façon, le diamètre d'une bille prélevée au hasard dans la production de
la machine A est modélisé à l'aide d'une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale
d'espérance $\mu = 1$ et d'écart-type $\sigma',\: \sigma'$ étant un réel strictement positif.

%Sachant que $P(0,9 \leqslant Y \leqslant 1,1) = 0,98$, déterminer une valeur approchée au millième de $\sigma'$.
On pose $Z=\dfrac{Y-1}{\sigma'}$ ; $Z$ suit la loi normale centrée réduite.

$P(0,9 \leqslant Y \leqslant 1,1) = 0,98\Leftrightarrow P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma'}\leqslant Z\leqslant \dfrac{0,1}{\sigma'}\right)=0,98$.

On pose $÷alpha=\dfrac{0,1}{\sigma'}$. On en déduit que $P\left(Z\leqslant\alpha \right)=0,01$.

À la calculatrice, on trouve $\alpha\approx -\numprint{2,3263}$ d'où $\sigma'=\dfrac{-0,1}{\alpha}\approx 0,043$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et
équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont
conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le
remplissage d'un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans
la production journalière.

Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les
billes de couleur noire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.
	\begin{enumerate}
		\item %On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet
%choisi contienne exactement $10$ billes noires. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
On a répétition d'expérience identiques indépendantes à deux issues ; $X$ suit alors la loi binomiale $\mathscr{B}\left(40~;~\dfrac{1}{5}\right)$.

Alors : $p(X=10)=\binom{40}{10}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{0}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{30}\numprint{847660528}\times \dfrac{4^{30}}{5^{30}}$.
On effectue directement le calcul à la calculatrice : on trouve $P(X=10)\approx \approx \boxed{\textcolor{red}{0,107}}$ à $10^{-3}$ près.

		\item Dans un sachet de $40$ billes, on a compté $12$ billes noires. Ce constat permet-t-il
de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes ?
On a $n=40\geqslant 30$ ; $np=40\times \dfrac{1}{5}=8\geqslant 5$ et $n(1-p)=40\times \dfrac{4}{5}=32\geqslant 5$.

On peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\%.

$I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$ avec $p=\dfrac{1}{5}$ et $n=40$.

$\boxed{\textcolor{red}{I\approx0,076~;~0,324}}$.

La fréquence $f$ de billes noires observée est $f=\dfrac{12}{40}=0,3$ ; $f\in I$.

\textbf{Conclusion} : la fréquence observée appartient à l’intervalle $I$, donc au risque d’erreur de 5\:\%, ce constat ne remet pas en cause le réglage de la machine qui teinte les billes.
	\end{enumerate}
	
\item %Si l'entreprise souhaite que la probabilité d'obtenir au moins une bille noire dans un
%sachet soit supérieure ou égale à 99\,\%, quel nombre minimal de billes chaque sachet
%doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?
On appelle désormais $n$ le nombre de billes dans chaque sachet.

Notons $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de billes noires dans un sachet. Cette variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\left(n~;~\dfrac{1}{5}\right)$.

	$P(Y=k)=\binom{n}{k}\left(\dfrac{1}{5}\right)^k\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-k}$.
	
	$P(Y\geqslant 1)=1-P\left(Y=0\right)=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^n$.
	
	Donc : $P\left(Y\geqslant 1\right)\geqslant 0,99\Leftrightarrow 1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^n\geqslant 0,99\Leftrightarrow \left(\dfrac{4}{5}\right)^n\leqslant 0,01\Leftrightarrow n\geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left(\frac45\right)}\approx \boxed{\textcolor{red}{20,64}}$.
	
	Le nombre minimal de billes que chaque sachet doit contenir pour que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99\:\% est donc de 21 billes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip


\parbox{0.5\linewidth}{Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur
d'eau.

Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]elle doit être située à deux mètres de sa maison;
\item[$\bullet~~$]la profondeur maximale doit être de deux
mètres;
\item[$\bullet~~$]elle doit mesurer cinq mètres de long;
\item[$\bullet~~$]elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
\end{itemize}

Cette cuve est schématisée ci-contre.}\hfill
\parbox{0.46\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(7,5)
%\psgrid
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
%\psplot[plotpoints=4000]{3}{5.437}{x 2  add 5.437 sub}
\pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7)
\rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}}
\psline(2.1,2.7)(5.4,2)
\psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7)
\psline(2,1.8)(5.4,2)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7)
\psset{arrowsize=2pt 3}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05)
\uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m}
\end{pspicture}
}

La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~2 \text{e}]$ définie par:

\[f(x) =  x\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - x + 2.\]

La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé \textbf{d'unité 1~m} et constitue
une vue de profil de la cuve.

On considère les points A(2~;~2), I(2~;~0) et B(2e~;~2).

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.3)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.25)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5)
\uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)\psdots(2,2)(5.437,2)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2  add 5.437 sub}
\uput[u](2,2){A}\uput[u](5.437,2){B}\uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$}
\uput[dl](2,0){I}\uput[dr](3.437,0){D}
\rput(1,1){Terrain}\rput(3.2,1.2){Cuve}\rput(4.7,0.5){Terrain}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$ et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point I.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\left(x_B\right)=f(2\mathrm{e})=2\mathrm{e}\ln(\mathrm{e})-2\mathrm{e}+2=2\mathrm{e}-2\mathrm{e}+2=2=y_B$ donc $B\in\mathcal{C}$.

$f\left(x_I\right)=f(2)=2\ln(1)-2+2=0=y_I$ donc $I\in\mathcal{C}$.

\item $f$ est dérivable sur son ensemble de définition ; 

$f'(x)=1\times \ln\left(\dfrac{x}{2}\right)+x\times \dfrac{\frac12}{\frac x2}-1=\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)+1-1=\boxed{\textcolor{red}{\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)}}$.

Alors $f'(2)=\ln 1=0$ donc l'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point I.

\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B, et D le point d'intersection de la droite $\mathcal{T}$ avec l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de la droite$\mathcal{T}$ et en déduire les coordonnées de D.
		Une équation de $\mathcal{T}$ est $y=f'\left(x_B\right)\left(x-x_B\right)+f\left(x_B\right)$ donc $y=f'(2\mathrm{e})(x-2\mathrm{e})+f(2\mathrm{e})$, soit :
		
		$y=1(x-2\mathrm{e})+2$, c'est-à-dire $\boxed{\textcolor{red}{y=x+2-2\mathrm{e}}}$.
		
		On a $f\left(x_D\right)=0$ donc $x_D=2\mathrm{e}-2$ : D a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D\left(2\mathrm{e}-2~;~0\right)}}$.
		
		\item On appelle $S$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les droites d'équations $y = 2, x = 2$ et $x = 2\text{e}$. 
		
$S$ peut être encadrée par l'aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB.

%Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
$\mathscr{A}(AIB)=\dfrac{AI\times AB}{2}=\dfrac{2\times (2\mathrm{e}-2)}{2}=2\mathrm{e}-2$ u.a..

$\mathscr{A}(AIDB)=\dfrac{(ID+AB)\times AI}{2}=\dfrac{(2\mathrm{e}-4)+(2\mathrm{e}-2)\times 2}{2}=4\mathrm{e}-6$ u.a.

Encadrement du volume :

On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{5(2\mathrm{e}-2)\leqslant \mathscr{V}\leqslant 5(4\mathrm{e}-6)}}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, sur l'intervalle [2~;~2e], la fonction $G$ définie par 
		
%		\[G(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4}\]


%est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = x\ln \left( \dfrac{x}{2}\right)$.
Soit $G$ définie par $G(x)= \dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4}$.

$G$ st dérivable et $G'(x)=x\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)+\dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{2}=x\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)$, donc $G$ est bien une primitive de $g$.

		\item %En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~2e].
		$f(x)=g(x)-x+2=g(x)-x+2$. 
		
		On en déduit qu'une primitive de $f$ est $F$ avec $F(x)=G(x)-\dfrac{x^2}{2}+2x$ donc 
		
		$G(x)= \dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x^2}{2}+2x=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) -3\dfrac{x^2}{4}+2x}}$.
		
		\item %Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ et en déduire une valeur approchée du
%volume $V$ de la cuve au m$^3$ près.
L'aire $S$ vaut alors $S=\int_2^{2\mathrm{e}}\left[2-f(x)\right]\text{ d}x=\int_2^{2\mathrm{e}}2\text{ d}x=\int_2^{2\mathrm{e}}f(x)\text{ d}x=2(2\mathrm{e}-2)-\left[F(2\mathrm{e})-F(2)\right]=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^2-3}}$.

On en déduit que le volume $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{V}=5\left(\mathrm{e}^2-3\right)}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{Pour tout réel $x$ compris entre 2 et 2e, on note $v(x)$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, se trouvant
dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à $f(x)$.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2~;~2e],

\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4}  + 2x - 3\right].\]}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,3.5)
%\psgrid
\psline(0,-0.5)(0,3.5)
\pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1)
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)}
\rput{3}(0,0){\psline(-0.5,0)(6,0) \multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}}}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.1,2.3)(4.15,1.7)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)
\psline(4.15,1.7)(2,1.5)
}
\pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95)
\psline(2,1.85)(2,1.5)
\psline(0.35,2.7)(0.35,2.3)
\pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](4.15,0.2)(4.15,1.7)(0,1.37)
\uput[d](4.15,0.2){$x$}\uput[l](0,1.37){$f(x)$}
\multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quel volume d'eau, au m$^3$ près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la
%cuve est de un mètre ?
On a montré précédemment que $f'(x)=\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)$, positif pour $\dfrac{x}{2}\geqslant 1$ donc $x\geqslant 2$. Sur l'intervalle $[2~;~2\mathrm{e}]$, la fonction $f$ est donc croissante ; $f$ est continue ; $f(2)=0$ et $f(2\mathrm{e})=2$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ a une solution dans l'intervalle $[2~;~2\mathrm{e}]$, unique puis que $f$ est croissante. Notons $\alpha$ cette solution.

À la calculatrice, on trouve $\alpha\approx 4,32$.

Le volume d'eau contenue dans la cuve est alors $v(\alpha)\approx 7$ m$^3$.

\item On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début
d'exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B.

\medskip

On considère l'algorithme ci-contre.


\begin{tabularx}{\linewidth}{|lX|}\hline
Variables :	&$a$ est un réel\\
			&$b$ est un réel\\
Traitement :& $a$ prend la valeur 2\\
			&$b$ prend la valeur 2 e\\
			&Tant que $v(b) - v(a) > 10^{-3}$ faire :\\
			&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
			$c$ prend la valeur $(a+b)/2$\\
			Si $v(c) < V/2$, alors :\\
			\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
							$a$ prend la valeur c\\
							\end{tabular}\\
			Sinon\\
			\hspace{0.4cm}	\begin{tabular}{|l}
							$b$ prend la valeur $c$\\
							\end{tabular}\\
			Fin Si\\
			\end{tabular}\\
			&Fin Tant que\\
Sortie : 	&Afficher $f(c)$\\ \hline
\end{tabularx}
Cet algorithme permet d’afficher la hauteur d’eau dans la cuve quand celle-ci est remplie à moitié.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv.

On considère le point A d'affixe 4, le point B d'affixe 4i et les points C et D tels que ABCD
est un carré de centre O.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d'affixe $z_n = (1 + \text{i})^n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Écrire le nombre $1 + \text{i}$ sous forme exponentielle.
$\left\vert 1+\mathrm{i} \right\vert=\sqrt{2}$ donc $1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{i}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi4}$.

\item %Montrer qu'il existe un entier naturel $n_0$, que l'on précisera, tel que, pour tout entier 
%$n \geqslant n_0$, le point $M_n$ est à l'extérieur du carré ABCD.
$\left\vert z_n \right\vert=\left\vert (1+\mathrm{i})^n \right\vert=\left\vert 1+\mathrm{i} \right\vert^n=\boxed{\textcolor{red}{(\sqrt{2})^n}}$.

$OM_n=\left\vert z_n \right\vert=(\sqrt{2})^n$.

Comme $\sqrt{2}>1$ donc  $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{2}\right)^n++\infty$.

On considère le cercle circonscrit au carré ABCD ; ce cercle a pour rayon 4.
Puisque $OM_n$ tend vers $+\infty$, il existe un $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $OM_n>4$, donc $M_n$ est extérieur au cercle de centre O et de rayon 4, donc extérieur au carré ABCD.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD
et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(15,9)
%\psgrid
\pspolygon(4.5,0)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(0.9,1.4)(12.8,0.8)(9.4,2.2)%ABCDBCA
\psline{->}(6.95,0)(6.95,8.8)%verticaleOS
\psline(6.95,7.4)(0.9,1.4)(4.5,0)(6.95,7.4)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(6.95,7.4)%SDASBCS
\psdots(4.5,0)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(0.9,1.4)(6.95,7.4)(6.95,1.1)(6.95,4.4)
\psline{->}(12.8,0.8)(14.7,0.6)
\psline{->}(9.4,2.2)(10.2,2.6)
\uput[ur](6.95,7.4){S} \uput[dr](4.5,0){A} \uput[ur](12.8,0.8){B} 
\uput[ur](9.3,2.2){C} \uput[ul](0.9,1.4){D} \uput[ur](6.9,1.1){O}
\uput[r](6.95,4.4){I}  
\end{pspicture}
\end{center}

Le point O est le centre de la base ABCD avec OB $= 1$.

On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la
même longueur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que le repère $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$ est orthonormé.
ABCD est un carré, donc ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur ; on a $OB=OC$ et $\left(\overrightarrow{\text{OB}}~;~\overrightarrow{\text{OC}}\right)=\dfrac{\pi}{2}$. $(OS)$ est perpendiculaire à la base ABCD, donc $\overrightarrow{\text{OS}}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{\text{OB}}$ et $\overrightarrow{\text{OC}}$.

$OA=OB=1$ donc $AB=\sqrt{2}$ et donc $SB=AB=\sqrt{2}$.\\
D'après le théorème de Pythagore, on btient $OS^2=BS^2-OB^2=\sqrt{2}^2-1^2=2-1=1$ donc 

On en déduit que le repère $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$ est orthonormé.


\bigskip

Dans la suite de l'exercice, on se place dans le repère $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$.

\item  On définit le point K par la relation $\vect{\text{SK}} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{SD}}$ et on note I le milieu du segment [SO].
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les coordonnées du point K.
		$S(0~;~0~;~1)$, D(1~;~0~;~0) car $\overrightarrow{\text{OD}}=-\overrightarrow{\text{OB}}$. on note $x_K$ $y_K$ et $z_K$  les cordonnées de $K$.
		
		
		\item En déduire que les points B, I et K sont alignés.
		\item On note L le point d'intersection de l'arête [SA] avec le plan (BCI).
		
Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.
		\item Déterminer les coordonnées du point L.
	\end{enumerate}
\item On considère le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ dans le repère $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (BCI).
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{n},\: \vect{\text{AS}}$ et $\vect{\text{DS}}$ sont coplanaires.
		\item Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l'urne U contient
deux boules blanches et l'urne V contient deux boules noires.

On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste
à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans
l'autre urne.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules
blanches que contient l'urne U à la fin du $n$-ième tirage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase la probabilité $P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)$ puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :
		
		\[P_{(X_n=0)} \left(X_{n+1} = 1\right) , P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)\:\: \text{et}\:\: P_{(X_n=2)} \left(X_{n+1} = 1\right).\]
		
		\item Exprimer $P\left(X_{n+1} = 1\right)$ en fonction de $P\left(X_n = 0\right),\: P\left(X_n = 1\right)$ et $P\left(X_n = 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$
 la matrice ligne définie par :

\[R_n = \begin{pmatrix}P\left(X_n = 0\right)& P\left(X_n = 1\right)& P\left(X_n = 2\right)\end{pmatrix}\]

et on considère $M$ la matrice $\begin{pmatrix}0&1&0\\\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\\0&1&0\end{pmatrix}$.

On note $R_0$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$.

On admettra par la suite que, pour tout entier naturel $n,\: R_{n+1} = R_n \times M$.

Déterminer $R_1$ et justifier que, pour tout entier naturel $n,\: R_n = R_0 \times  M^n$.
\item On admet que $M = P \times D \times P^{- 1}$ avec :

\[P = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}2&3&1\\- 1&0&1\\2&- 3&1\end{pmatrix}, \: \: D = \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\:\:\text{et}\:\: P^{-1} = \begin{pmatrix}1&-2&1\\1&0&- 1\\1&4&1\end{pmatrix}.\]

Établir que, pour tout entier naturel $n,\: M^n = P \times D^n \times P^{-1}$.

On admettra que, pour tout entier naturel $n,\: D^n = \begin{pmatrix} \left(- \dfrac{1}{2} \right)^n&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $D^n \times P^{-1}$ en fonction de $n$.
		\item Sachant que $R_0P = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&- \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}$, déterminer les coefficients de $R_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 0\right),\: \displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 1\right)$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 2\right)$.

Interpréter ces résultats.

\end{enumerate}
\end{document}