\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Calculs d'aire entre deux courbes}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = -x^2 + 2x + 5$.\\
On admet que pour tout $x$ de [-1~;~2], on a $0\leqslant  f(x) \leqslant  g(x)$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-2)(5,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-2)(5,7)
\psplot[linewidth=2pt]{-2.5}{2.5}{x^2+1}
\psplot[linewidth=2pt]{-1.5}{3.5}{-x^2+2*x+5}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{\psplot[linewidth=2pt]{-1}{2}{x^2+1},\psplot[linewidth=2pt]{2}{-1}{-x^2+2*x+5}}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-2)(5,7)
\uput[l](-2,5){$\mathscr{C}_f$}
\uput[r](3,2){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture}

\end{center}
Déterminer l'aire délimitée par les courbes représentatives de $f$ et de $g$ sur l'intervalle [-1 ; 2].

\columnbreak

\subsection{}
On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies respectivement sur $\left[0~;~+\infty\right[$ par :
\[f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\text{ et } g(x)=\dfrac{\ln^2(x)}{x}.\]
On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes respectives des fonction $f$ et $g$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Démontrer que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ admettent deux points communs dont on précisera les coordonnées.

\item Étudier la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.

\item On a tracé les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.\\
Identifier chaque courbe puis déterminer l’aire $\mathscr{A}$ en $\si{\square\centi\metre}$ de la partie du plan délimitée par les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ et par les droites d’équations $x=1$et $x=\mathrm{e}$. \\
L’unité est de 2 \si{\centi\metre} sur l’axe des abscisses et de 4 \si{\centi\metre} sur l’axe des ordonnées.

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(4,1.2)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-0.5)(4,1.2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(4,1.2)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0.6}{3.2}{ln(x)/x}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0.5}{3.2}{(ln(x))^2/x}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  