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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : corrigé du contrôle  sur 10 points (sujet A)}}\end{center}

\subsection{}
Ci-dessous est représentée la courbe représentative d'une fonction $f$.\\
Les points marqués ont des coordonnées entières.
\begin{center}
\psset{unit=0.8}
\begin{pspicture}(-5,-3)(8,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-5,-3)(8,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-3)(8,7)
\uput[ul](0,0){0}
\uput[u](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\pscurve[linecolor=red,linewidth=1.5pt](-4,1)(-1,4)(0,1)(3,-2)(4,0)(7,5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](-4,1)(-1,4)(0,1)(3,-2)(4,0)(7,5)
\end{pspicture}
\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item %Sur quel intervalle cette fonction est-elle définie ?
La fonction $f$ est définie sur [-4~;~7].

\item %Donner les images par $f$ des nombres -4, -1, 0, 3 et 4.
$\boxed{\textcolor{red}{f(-4)=1}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=4}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(0)=1}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(3)=-2}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f(4)=0}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Combien le nombre 4 a-t-il d'antécédents par $f$ ? Sonner sa ou ses valeurs.
4 a deux antécédents par $f$ car il y a deux points de la courbe qui ont pour ordonnée 4.\\
Ces deux antécédents sont $\boxed{\textcolor{red}{-1}}$ et environ $\boxed{\textcolor{red}{6,4}}$.

\item %6 a-t-il un antécédent par $f$ ?
6 n'a \textbf{\textcolor{red}{aucun}} antécédent par $f$ car le maximum de $f$ est 5.

\item %5 a-t-il un antécédent par $f$ ? Si oui, lequel ?
5 a pour antécédent par $f$ le  nombre 7.

\item %Quels sont les antécédents de 0 ?
Les antécédents de 0 par $f$ sont 0,5 environ et 4.
\end{enumerate}

\item %Rappeler la définition d'une fonction croissante sur un intervalle $I$.
C'est du cours ! : \\
Une fonction est croissante sur un intervalle $I$ si, et seulement si, les images croissent quand les valeurs des abscisses $x$ augmentent;\\
Pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ de $I$ tels que $x_1<x_2$, alors $f\left(x_1\right)\leqslant f\left(x_2\right)$.

\item %Quelles sont les variations de la fonction $f$ ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est \textbf{\textcolor{blue}{croissante}} sur l'intervalle [-4~;~-1] ainsi que sur l'intervalle [3~;~7].

\item $f$ est \textbf{\textcolor{blue}{décroissante}} sur l'intervalle [-1~;~3].
\end{enumerate}

\item %En déduire le tableau de variation de $f$.
\textcolor{red}{Tableau de variation de $f$ :}
\begin{center}
\begin{variations}
x&-4&&-1&&3&&7\\
\hline
\m{f(x)}&1&\c&\h{4}&\d&-2&\c&\h{5}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{}
Soit  $f:x\mapsto 3x^2-5$ une fonction.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item %Quelles sont les images par $f$ de 0~;~ de 5~;~ de -1?
Il n'y a évidemment pas besoin de calculatrice !\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=3\times 0^2-5=3\times 0-5=0-5=-5$ : $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=-5}}$.

\item $f(5)=3\times 5^2-5=3\times 3\times 25-5=75-5=70$ : $\boxed{\textcolor{red}{f(5)=70}}$

\item $f(-1)=3\times (-1)^2-5=3\times 1-5=3-5=-2$ : $\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=-2}}$
\end{enumerate}

\item %Quels sont les antécédents de 22 ?
Un antécédent de 22 est un nombre $x$ tel que $f(x)=22$.\\
$f(x)=22$ s'écrit $3x^2-5=22$ donc $3x^2=27$ d'où $x^2=\dfrac{27}{3}=9$ qui a pour solutions -3 et 3.\\
\textcolor{red}{Les antécédents de 22 par $f$ sont -3 et 3}.

\item %Quels sont les antécédents de 1 ?
Pour tourner les antécédents éventuels de 1, on résout l'équation $f(x)=1$.\\
On obtient $3x^2-5=1$ donc $3x^2=6$ d'où $x^2=2$ qui a pour solutions $-\sqrt{2}$ et $2$.\\
\textcolor{red}{Les antécédents de 1 par $f$ sont $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$}.
\end{enumerate}

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle sur 10 points (sujet B)}}\end{center}

\subsection{}
Ci-dessous est représentée la courbe représentative d'une fonction $f$.\\
Les points marqués ont des coordonnées entières.
\begin{center}
\psset{unit=0.8}
\begin{pspicture}(-3,-2)(10,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-2)(10,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-2)(10,8)
\uput[ul](0,0){0}
\uput[u](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\pscurve[linecolor=red,linewidth=1.5pt](-2,2)(1,5)(2,2)(5,-1)(6,1)(9,6)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](-2,2)(1,5)(2,2)(5,-1)(6,1)(9,6)
\end{pspicture}
\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item %Sur quel intervalle cette fonction est-elle définie ?`
La  fonction $f$ est définie  sur [-2~;~9]

\item %Donner les images par $f$ des nombres -2, 1, 2, 5 et 6.
$\boxed{\textcolor{red}{f(-2)=2}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(1)=5}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(2)=2}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(5)=-1}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f(6)=6}}$


\item 
\begin{enumerate}
\item %Combien le nombre 5 a-t-il d'antécédents par $f$ ? Sonner sa ou ses valeurs.
5 a deux antécédents par $f$ car il y a deux points de la courbe qui ont pour ordonnée 5.\\
Ces deux antécédents sont $\boxed{\textcolor{red}{1}}$ et environ $\boxed{\textcolor{red}{8,4}}$.

\item %7 a-t-il un antécédent par $f$ ?
7 n'a \textbf{\textcolor{red}{aucun}} antécédent par $f$ car le maximum de $f$ est 6.



\item %6 a-t-il un antécédent par $f$ ? Si oui, lequel ?
6 a pour antécédent par $f$ le  nombre 9.

\item %Quels sont les antécédents de 1 ?
Les antécédents de 1 par $f$ sont 2,5 environ et 6.

\end{enumerate}

\item %Rappeler la définition d'une fonction croissante sur un intervalle $I$.
C'est du cours ! : \\
Une fonction est croissante sur un intervalle $I$ si, et seulement si, les images croissent quand les valeurs des abscisses $x$ augmentent;\\
Pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ de $I$ tels que $x_1<x_2$, alors $f\left(x_1\right)\leqslant f\left(x_2\right)$.

\item %Quelles sont les variations de la fonction $f$ ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est \textbf{\textcolor{blue}{croissante}} sur l'intervalle [-2~;~1] ainsi que sur l'intervalle [5~;~9].

\item $f$ est \textbf{\textcolor{blue}{décroissante}} sur l'intervalle [1~;~5].
\end{enumerate}


\item %En déduire le tableau de variation de $f$.
\textcolor{red}{Tableau de variation de $f$ :}
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&1&&5&&9\\
\hline
\m{f(x)}&2&\c&\h{5}&\d&-1&\c&\h{6}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{}
Soit  $f:x\mapsto 3x^2-4$ une fonction.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item %Quelles sont les images par $f$ de 0~;~ de 5~;~ de -1?
Il n'y a évidemment pas besoin de calculatrice !\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=3\times 0^2-4=3\times 0-5=0-4=-4$ : $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=-4}}$.

\item $f(5)=3\times 5^2-4=3\times 3\times 25-4=75-4=71$ : $\boxed{\textcolor{red}{f(5)=71}}$

\item $f(-1)=3\times (-1)^2-4=3\times 1-4=3-4=-1$ : $\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=-1}}$
\end{enumerate}


\item %Quels sont les antécédents de 44 ?
Un antécédent de 44 est un nombre $x$ tel que $f(x)=44$.\\
$f(x)=44$ s'écrit $3x^2-4=44$ donc $3x^2=48$ d'où $x^2=\dfrac{48}{3}=16$ qui a pour solutions -4 et 4.\\
\textcolor{red}{Les antécédents de 44 par $f$ sont -4 et 4}.


\item %Quels sont les antécédents de 2 ?
Pour tourner les antécédents éventuels de 2, on résout l'équation $f(x)=2$.\\
On obtient $3x^2-4=2$ donc $3x^2=6$ d'où $x^2=2$ qui a pour solutions $-\sqrt{2}$ et $2$.\\
\textcolor{red}{Les antécédents de 2 par $f$ sont $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$}.

\end{enumerate}


\end{multicols}\label{fin}
\end{document}  