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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac (feuille 1)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Mercatique-Pondichéry avril 2014}}
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\ 
Dans cet exercice, tous les prix seront exprimés en euros.}
\end{center}
 
On s'intéresse à l'évolution du prix des appartements neufs en France métropolitaine.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous indique le prix des appartements neufs en France métropolitaine, en euros par m$^2$, entre 2004 et 2012.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline 
Année &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Prix de l'appartement $\left(\text{en euros par m}^2\right)$ : $y_{i}$ &\numprint{2563} &\numprint{2852} &\numprint{3071} &\numprint{3276} &\numprint{3344} &\numprint{3368} &\numprint{3571} &\numprint{3773} &\numprint{3861}
\\ \hline  
\multicolumn{10}{r}{\emph{Sources Insee SoeS}}\\
\end{tabularx}
\medskip
 
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ est représenté en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. \emph{On arrondira les coefficients au millième près}. 
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 151x + \numprint{2695}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'annexe à rendre avec copie. 
		\item Calculer le prix du m$^2$ d'un appartement neuf prévu par ce modèle d'ajustement en 2014. 
		\item Selon ce modèle, en quelle année pour la première fois le prix du m$^2$ d'un appartement neuf sera-t-il supérieur à \numprint{5000}~\euro{} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}

\psset{xunit=0.65cm,yunit=0.003cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(17.2,3000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=2100,Dy=4000](0,0)(-0.9,-190)(17.2,3000)
\multido{\n=0+1}{18}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,3000)}
\multido{\n=100+200,\na=2200+200}{15}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(17.2,\n)\uput[l](0,\n){\na} }
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0,443)(1,752)(2,971)(3,1176)(4,1244)(5,1268)(6,1471)(7,1673)(8,1761)
\uput[u](15,-30){Rang de l'année}
\uput[r](0,2900){Prix de l'appartement}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on modélise ainsi l'évolution du prix du m$^2$ d'un appartement neuf en France métropolitaine: on part d'un prix de \numprint{4200}~euros en 2014 et on applique une augmentation annuelle de 5,2\,\% à partir de cette date. 

On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ représente la valeur estimée, selon ce modèle, du prix du m$^2$ d'un appartement neuf l'année $(2014 + n)$. Ainsi $u_{0} = \numprint{4200}$ correspond au prix du m$^2$ d'un appartement neuf en 2014. On crée la feuille de calcul suivante dans laquelle les cellules de la plage B2\negthinspace:B8 sont au format nombre à deux décimales : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B\\ \hline
1&$n$&$u_{n}$\\ \hline
2&0&\numprint{4200,00}\\ \hline
3&1&\numprint{4418,40}\\ \hline
4&2&\numprint{4648,16}\\ \hline
5&3&\\ \hline
6&4&\\ \hline
7&5&\\ \hline
8&6&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Donner la raison de cette suite. 
\item Selon ce modèle, quel serait le prix	du m$^2$ d'un appartement neuf en 2020 ? 

\emph{On arrondira le résultat au centime d'euro près.} 
\item Selon ce modèle, en quelle année pour la première fois le prix du m$^2$ d'un appartement neuf dépassera-t-il \numprint{6000}~\euro{} ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, tous les prix sont exprimés en euros}

\medskip
 
\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM)}

\medskip 

Pour chacune des quatre questions, une seule des trois réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

\medskip
 
Le tableau suivant est extrait d'une feuille de calcul obtenue à l'aide d'un tableur.
 Dans la colonne B figurent les prix annuels moyens en métropole d'un kg de pain de 2003 à 2013.
 
\begin{center}
\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A&B&C\\ \hline
1&Année &\small Prix annuel moyen d'un kg de pain en métropole&Taux d'évolution \textbf{depuis} janvier 2003\\ \hline
2&janvier 2003	&2,78&\\ \hline
3&janvier 2004	&2,92&5,04\,\%\\ \hline
4&janvier 2005	&2,97&6,83\,\%\\ \hline
5&janvier 2006	&3,03&\\ \hline
6&janvier 2007	&3,13&\\ \hline
7&janvier 2008	&3,28&\\ \hline
8&janvier 2009	&3,35&\\ \hline
9&janvier 2010	&3,34&\\ \hline
10&janvier 2011	&3,39&\\ \hline
11&janvier 2012	&3,43&\\ \hline
12&janvier 2013	&3,47&\\ \hline
13&				&	&\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : INSEE}}
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
La plage B2\negthinspace:B12 est au format nombre à deux décimales. La plage C3\negthinspace:C12 est au format pourcentage à deux décimales. 

Dans la colonne C, partiellement remplie, on veut afficher le taux d'évolution du prix d'un kg de pain entre janvier 2003 et janvier de chacune des années suivantes. Par exemple : 

$\bullet~~$Dans la cellule C3 est affiché le taux d'évolution du prix d'un kg de pain entre janvier 2003 et janvier 2004. 

$\bullet~~$Dans la cellule C12 sera affiché le taux d'évolution du prix d'un kg de pain entre janvier 2003 et janvier 2013. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur affichée dans la cellule C6 sera : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
0,35\,\%& 8,99\,\%& 12,59\,\%
\end{tabularx}
\medskip 
\item Quelle formule, à recopier sur la plage C3\negthinspace:C12, peut-on entrer dans la cellule C3 ? 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} 
=(B3-B2)/B2&=(B\$3-B2)/B2& =(B3-B\$2)/B\$2
\end{tabularx}
\medskip 
\item Le prix d'un kg de pain en janvier 2003 est pris comme indice en base 100. 
L'indice de janvier 2005, arrondi au centième, est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
106,83& 93,17 &101,71
\end{tabularx}
\medskip
 
\item De janvier 2003 à janvier 2013, le taux d'évolution annuel moyen du prix d'un kg de pain, arrondi au centième près, est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
2,48\,\%& 2,24\,\%& 24,82\,\%
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip
 
\textbf{Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés.
 
Ce sondage révèle que 45\,\% des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci, 60\,\% pratiquent la natation.
 
Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 70\,\% pratiquent la natation. 

On choisit un vacancier au hasard. On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{description}
\item[ ]$S$ : \og le vacancier choisi fréquente une salle de sport \fg 
\item[ ]$N$ : \og le vacancier choisi pratique la natation \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $S \cap N$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $S \cap N$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que $p(N) = 0,655$. 
\item Calculer $p_{N}(S)$, la probabilité de l'évènement $S$ sachant que l'évènement $N$ est réalisé.
 
On arrondira le résultat à $10^{-4}$ près. 
\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre vacanciers pris au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ces vacanciers pratiquant la natation pendant leurs congés. Le nombre de vacanciers étant suffisamment grand, on considère que $X$ suit une loi binomiale. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale. 
		\item Calculer la probabilité que deux vacanciers exactement pratiquent la natation pendant leurs congés. On arrondira le résultat à $10^{-4}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
En France, en 2011, 22\,\% des sportifs licenciés avaient une licence de football. 
Déterminer un intervalle de fluctuation à au moins 95\,\% de la fréquence des licenciés de football dans un échantillon de $400$~sportifs licenciés choisis au hasard parmi les sportifs licenciés en 2011. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
 
Quatre fonctions $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ et $f_{4}$ définies et dérivables sur l'intervalle $[- 3~;~2]$, sont représentées respectivement par les courbes $\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}, \mathcal{C}_{3}$ et $\mathcal{C}_{4}$ ci-dessous. 

On admet que $f_{1}\left(- \frac{5}{3}\right) \approx 9,5,\: f_{2}\left(- \frac{5}{3}\right) =0, \: f_{3}\left(- \frac{5}{3}\right) = 0$ et 
$f_{4}\left(- \frac{5}{3}\right) \approx - 9,5$. 

\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-1.5)(2.2,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3.2,-0.5)(2.2,10)
\psgrid[gridlabels=0,griddots=10,subgriddiv=1](-3,-1)(2,10)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-3}{2}{x 3 exp x 2 exp add 5 x mul sub 3 add}
\uput[r](-2.6,3){$\mathcal{C}_{1}$}
\psline{<->}(-2.66,9.5)(-0.66,9.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.2,0)(1.8,0)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}&\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-11)(2.2,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3.2,-10)(2.2,1)
\psgrid[gridlabels=0,griddots=10,subgriddiv=1](-3,-10)(2,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-3}{2}{x 3 exp x 2 exp add 5 x mul sub 3 add neg}
\uput[r](-2.6,-3){$\mathcal{C}_{4}$}
\psline{<->}(-2.66,-9.5)(-0.66,-9.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.2,0)(1.8,0)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}\\\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-6)(2.2,16.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-3.2,-6)(2.2,16.2)
\psgrid[gridlabels=0,griddots=10,subgriddiv=1](-3,-6)(2,16)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-3}{2}{x dup mul 3 neg mul x 2 mul sub 5 add neg}
\uput[r](-2,3){$\mathcal{C}_{2}$}
\psline{<->}(-1.1,-5.35)(0.5,-5.35)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
&\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-16.2)(2.2,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-3.2,-16.2)(2.2,6)
\psgrid[gridlabels=0,griddots=10,subgriddiv=1](-3,-16)(2,6)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-3}{2}{x dup mul 3 neg mul x 2 mul sub 5 add}
\uput[r](-2,3){$\mathcal{C}_{3}$}
\psline{<->}(-1.1,5.35)(0.5,5.35)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\\
\end{tabular}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, sans justifier: 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de variation de la fonction $f_{1}$. 
		\item Donner le tableau de signes de la fonction $f_{2}$. 
		\item Donner le signe de $f'_{3}(-1)$, $f'_{3}$ étant la dérivée de la fonction $f_{3}$. 
		\item Donner l'image de 2 par la fonction $f_{4}$.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on considère la fonction $g$ définie sur $[- 3~;~2]$ par 

\[g(x) = (x - 1)^2 (x + 3).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $g(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$. 
		\item Calculer $g'(x),\: g'$ étant la dérivée de la fonction $g$. 
		\item Résoudre l'équation $3x^2 + 2x - 5 = 0$.
		 
Étudier le signe de $g'$ sur l'intervalle $[- 3~;~2]$. En déduire le tableau de variation de la fonction $g$. 
		\item Sachant que la fonction $g$ est l'une des quatre fonctions $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ ou $f_{4}$ représentées ci-dessus, quelle est cette fonction ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  