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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille de révision (2)  Mercatique-Antilles-Guyane juin 2013}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Exercice 1 \hfill 4 points}}
\medskip

Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples (QCM).
 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une absence de réponse ou pour une réponse inexacte.}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne les réussites de 3 lycées à  un examen. 

On choisit au hasard un élève ayant passé l'examen parmi les élèves de ces lycées et l'on suppose que chaque élève a la màªme probabilité d'àªtre choisi.
 
On note :
 
$A$ l'évènement : \og l'élève appartient au lycée A \fg,

$R$ l'évènement: \og l'élève a réussi l'examen \fg.
 
On note $P_{R}(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant $R$. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Lycée A &Lycée B &Lycée C &Total\\ \hline 
Nombre d'élèves ayant réussi l'examen&42 &41 &22 &105\\ \hline
Nombre total d'élèves ayant passé l'examen   &54 &60 &36 &150\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip 

\begin{enumerate}
\item La probabilité de l'évènement A est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{a.~~} $P(A)=0,36$& 	\textbf{b.~~} $P(A)= \dfrac{1}{3}$& 
\textbf{c.~~} $P(A) = \dfrac{42}{54}$&  \textbf{d.~~} $P(A)= \dfrac{42}{105}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité de l'évènement $A \cap R$ est égale à  : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}} 
\textbf{a.~~} \footnotesize$P(A \cap R)=0,78$& 	\textbf{b.~~} $P(A \cap R)= 0,28$& 
\textbf{c.~~} $P(A \cap R) = 0,4$&  \textbf{d.~~} $P(A \cap R) = \dfrac{1}{6}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité de l'évènement $A \cup R$ est égale à  :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}}
\textbf{a.~~} $P(A \cup R) = \dfrac{42}{54}$& 	\textbf{b.~~} $P(A \cup R)= \dfrac{117}{150}$& 
\textbf{c.~~} $P(A \cup R) = \dfrac{54}{150}$&  \textbf{d.~~} $P(A \cup R) = \dfrac{159}{150}$
\end{tabularx}
\medskip 

\item La probabilité $P_{R}(A)$ est égale : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{a.~~} $P(A) = 0,78$& 	\textbf{b.~~} $P(A) = 0,28$& 
\textbf{c.~~} $P(A) = 0,4$&  \textbf{d.~~} $P(A) = 0,6$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Exercice 2 \hfill 6 points}}

 
\medskip

Le tableau ci-dessous représente le prix d'un màªme objet en fonction de l'année entre 2003 et 2011.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2003 &2004 &2005&2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Prix de l'objet en euros : $y_{i}$ &10,1 &8,5 &7,4 &6,5 &5,8 &5,1 &4,6 &4,2 &3,9\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
Le nuage des points $M\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à  cette série statistique est représenté dans un repère orthogonal en annexe.
 
Dans la suite de l'exercice, on étudie trois méthodes différentes permettant d'anticiper le prix de l'objet dans les années à  venir. 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Ajustement affine} 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation réduite de la droite (D) passant par le premier et le dernier point du nuage. 
		\item Tracer la droite (D) dans le repère précédent. 
		\item On choisit la droite (D) comme droite d'ajustement affine de y enx. 
En déduire une estimation du prix de l'objet en 2013 avec cet ajustement (arrondir au centième d'euro). On indiquera la méthode utilisée. 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Ajustement inverse} 
	\begin{enumerate}
		\item On note $z = \dfrac{1}{y}$. Reproduire, puis compléter le tableau ci-dessous ; on arrondira les résultats  au millième : 
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.cm}|>{\footnotesize}{c}|*{8}{>{\footnotesize  \centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Année &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline  
Rang de l'année : $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
$z_{I} = \dfrac{1}{y_{i}}$&$\dfrac{1}{10,1} \approx 0,099$&&&&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip

		\item à€ l'aide d'une calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au millième. 
		\item Pour cette question, on décide de prendre : $y = \dfrac{1}{0,02x + 0,1}$.
 
à€ l'aide de cet ajustement, déterminer une nouvelle estimation du prix de l'objet en 2013. On arrondira au centième d'euro.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Ajustement \og moyen \fg} 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le taux d'évolution global du prix entre 2003 et 2011 arrondi à  0,01\,\%. 

Vérifier que ce taux correspond à  une baisse annuelle moyenne de 11,21\,\% entre 2003 et 2011. 
		\item On suppose que ce taux correspond aux évolutions du prix de l'objet dans les années à  venir. à€ l'aide de cet ajustement, en déduire une troisième estimation du prix de l'objet en 2013. On arrondira au centième d'euro.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Comparaison}
 
En 2013, le prix réel de l'objet est de $3,30$euros. D'après les questions précédentes, déterminer l'ajustement qui semble le plus adéquat. On justifiera rapidement.

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}


\subsection{\textcolor{blue}{Exercice 3 \hfill 5 points}}

 
\medskip

Paul a fait un héritage de \numprint{150000}~\euro{} au début de l'année 2013.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item On lui propose de placer cette somme sur un compte qui rapporte 4\,\% par an. 

On note $u_{n}$ la somme en euros disponible sur ce compte l'année $(2013 + n)$. On a donc 
$u_{0} = \numprint{150000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u_{1} = \numprint{156000}$. 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer l'année à  partir de laquelle Paul disposera d'au moins \numprint{250000}~\euro.
	\end{enumerate} 
\item Pour augmenter plus rapidement son capital, Paul décide d'économiser chaque année \numprint{8000}~\euro, qu'il place en fin d'année sur son compte rémunéré à  4\,\%. 

Au début de l'année 2014, Paul possèdera donc la somme de : 

$\numprint{150000} \times 1,04 + \numprint{8000} = \numprint{164000}$ (en euros). 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la somme que Paul possède en début d'année 2015 est de 178 560 ?. On note $v_{n}$ la somme que Paul possède au début de l'année $(2013 + n)$. 

Voici une feuille de calcul qui permet de calculer la somme en euros possédée par Paul à  la fin de chaque année: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C	&D\\ \hline 
1	&\small Somme sur le compte en début d'année&\small   Intéràªt (4\,\% de la somme sur le compte en début d'année)&\small  Argent économisé pendant l'année &\small  Somme totale sur le compte en fin d'année \\ \hline 
2&\numprint{150000}&\numprint{6000}&\numprint{8000}& \numprint{164000}\\ \hline
3&\numprint{164000}&&&\\ \hline
4&&&&\\ \hline
5&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item Quelle formule doit-on entrer dans la cellule B3 pour calculer les intéràªts de l'année? 
		\item Quelles formules doit-on entrer dans les cellules C3 et D3 par recopie vers le bas pour obtenir la somme dont dispose Paul à  la fin de chaque année ? 
		\item Déterminer l'année à  partir de laquelle Paul pourra disposer de la somme de \numprint{250000}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	



\label{fin}
\end{document}  