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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur les suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry Mercatique avril 2012}}
Les dépenses annuelles de fonctionnement de deux services d'une entreprise, nommés ici A et B, ont été étudiées sur une assez longue période, ce qui a conduit à la modélisation suivante.

\medskip
 
Les dépenses du service A augmentent de \numprint{4000}~\euro{} chaque année, tandis que celles du service B augmentent de 15\,\% chaque année.
 
Cette année (qui sera prise dans la suite comme année 1), les deux services ont effectué des dépenses identiques : \numprint{20000}~\euro.
 
On note $a_{n}$ le total des dépenses du service A et $b_{n}$ le total des dépenses du service B la $n$-ième année. On s'intéresse aussi au cumul de ces dépenses sur plusieurs années. Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne les résultats pour les premières années. 

\medskip
\tiny

\begin{minipage}{9cm}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&P&Q&R&S&T\\ \hline
1	&Numéro de l'année : $n$&Dépenses du service A : $a_{n}$& Cumul des dépenses du service A &Dépenses du service B : $b_{n}$&Cumul des dépenses du service B\\ \hline
2	&1&  \numprint{20000} &\numprint{20000} &\numprint{20000} 	&\numprint{20000}\\ \hline 
3	&2& \numprint{24000}	&\numprint{44000} &\numprint{23000} 	&\numprint{43000} \\ \hline 
4	&3& \numprint{28000} 	&\numprint{72000} &\numprint{26450} 	&\numprint{69450}\\ \hline 
5 	&4&\numprint{32000}	&			&\numprint{30417,50}	& \numprint{99867,50}\\ \hline 
6 	&5&				&			& 				&\\ \hline
7	&6&				&			&				&	\\ \hline 
8	&7&				&			&				&\\ \hline
9	&8&				&			&				&\\ \hline
10	&9&				&			&				&\\ \hline
11	&10&			&			&				&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{minipage}\normalsize
\medskip

\textbf{Partie A : \'Etude des dépenses du service A }

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature et quelle est la raison de la suite $\left(a_{n}\right)$ des dépenses annuelles du service A ? 
		\item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer $a_{10}$. 
	\end{enumerate}
\item Proposer une formule qui, entrée dans la cellule R3, permet par recopie vers le bas de calculer le cumul des dépenses du service A. 
\item Calculer la somme $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{9} + a_{10}$. Que représente cette somme ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : \'Etude des dépenses du service B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle formule entrée dans la cellule S3 permet par recopie vers le bas de calculer les dépenses annuelles du service B ? 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature et quelle est la raison de la suite $\left(b_{n}\right)$ des dépenses du service B ? 
		\item Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer les dépenses annuelles prévisibles pour le service B lors de la dixième année. On arrondira le résultat à la centaine d'euros.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C : Comparaison des deux services }

\medskip

Lequel des deux services aura le plus dépensé en 10 ans pour son fonctionnement ?


\subsection{\textcolor{blue}{Anntilles-Guyane Mercatique juin 2013}}
Paul a fait un héritage de \numprint{150000}~\euro{} au début de l'année 2013.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item On lui propose de placer cette somme sur un compte qui rapporte 4\,\% par an. 

On note $u_{n}$ la somme en euros disponible sur ce compte l'année $(2013 + n)$. On a donc 
$u_{0} = \numprint{150000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u_{1} = \numprint{156000}$. 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer l'année à  partir de laquelle Paul disposera d'au moins \numprint{250000}~\euro.
	\end{enumerate} 
\item Pour augmenter plus rapidement son capital, Paul décide d'économiser chaque année \numprint{8000}~\euro, qu'il place en fin d'année sur son compte rémunéré à  4\,\%. 

Au début de l'année 2014, Paul possèdera donc la somme de : 

$\numprint{150000} \times 1,04 + \numprint{8000} = \numprint{164000}$ (en euros). 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la somme que Paul possède en début d'année 2015 est de 178 560 ?. On note $v_{n}$ la somme que Paul possède au début de l'année $(2013 + n)$. 

Voici une feuille de calcul qui permet de calculer la somme en euros possédée par Paul à  la fin de chaque année: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C	&D\\ \hline 
1	&\small Somme sur le compte en début d'année&\small   Intérêt (4\,\% de la somme sur le compte en début d'année)&\small  Argent économisé pendant l'année &\small  Somme totale sur le compte en fin d'année \\ \hline 
2&\numprint{150000}&\numprint{6000}&\numprint{8000}& \numprint{164000}\\ \hline
3&\numprint{164000}&&&\\ \hline
4&&&&\\ \hline
5&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item Quelle formule doit-on entrer dans la cellule B3 pour calculer les intérêts de l'année? 
		\item Quelles formules doit-on entrer dans les cellules C3 et D3 par recopie vers le bas pour obtenir la somme dont dispose Paul à  la fin de chaque année ? 
		\item Déterminer l'année à  partir de laquelle Paul pourra disposer de la somme de \numprint{250000}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	


\end{multicols}

\newpage
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}
Correction
\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry Mercatique avril 2012}}
Les dépenses annuelles de fonctionnement de deux services d'une entreprise, nommés ici A et B, ont été étudiées sur une assez longue période, ce qui a conduit à la modélisation suivante.

\medskip
 
Les dépenses du service A augmentent de \numprint{4000}~\euro{} chaque année, tandis que celles du service B augmentent de 15\,\% chaque année.
 
Cette année (qui sera prise dans la suite comme année 1), les deux services ont effectué des dépenses identiques : \numprint{20000}~\euro.
 
On note $a_{n}$ le total des dépenses du service A et $b_{n}$ le total des dépenses du service B la $n$-ième année. On s'intéresse aussi au cumul de ces dépenses sur plusieurs années. Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne les résultats pour les premières années. Le tableau est complété en bleu.

\medskip
\begin{center}
{\scriptsize{
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&P&Q&R&S&T\\ \hline
1	&Numéro de l'année : $n$&Dépenses du service A : $a_{n}$& Cumul des dépenses  du service A &Dépenses du service B : $b_{n}$&Cumul des dépenses du service B\\ \hline
2	&1&  \numprint{20000} &\numprint{20000} &\numprint{20000} 	&\numprint{20000}\\ \hline 
3	&2& \numprint{24000}	&\numprint{44000} &\numprint{23000} 	&\numprint{43000} \\ \hline 
4	&3& \numprint{28000} 	&\numprint{72000} &\numprint{26450} 	&\numprint{69450}\\ \hline 
5 	&4&\numprint{32000}	&\textcolor{blue}{\numprint{104000}}&\numprint{30417.50}	& \numprint{99867.50}\\ \hline 
6 	&5&	\textcolor{blue}{\numprint{36000}}	&\textcolor{blue}{\numprint{140000}}& \textcolor{blue}{\numprint{34980.13}}&\textcolor{blue}{ \numprint{134847.63}}\\ \hline
7	&6&	\textcolor{blue}{\numprint{40000}}	&\textcolor{blue}{\numprint{180000}}&\textcolor{blue}{\numprint{40227.14}}&\textcolor{blue}{\numprint{	175074.77}}\\ \hline 
8	&7&\textcolor{blue}{\numprint{44000}}   &\textcolor{blue}{\numprint{224000}}&\textcolor{blue}{\numprint{46261.22}}& \textcolor{blue}{\numprint{221335.98}}  \\ \hline
9	&8&	\textcolor{blue}{\numprint{48000}}	&\textcolor{blue}{\numprint{272000}} &\textcolor{blue}{\numprint{53200.40}}&\textcolor{blue}{ \numprint{ 274536.38}}  \\ \hline
10	&9&\textcolor{blue}{	\numprint{52000}}	&\textcolor{blue}{\numprint{324000}}&\textcolor{blue}{\numprint{61180.46}}& \textcolor{blue}{\numprint{ 335716.84}}  \\ \hline
11	&10&\textcolor{blue}{\numprint{56000}}	&\textcolor{blue}{\numprint{380000}}&\textcolor{blue}{\numprint{70357.53}}&\textcolor{blue}{\numprint{ 406074.36}}  \\ \hline
\end{tabularx}
}}
\end{center}
\medskip

\textbf{Partie A : \"Etude des dépenses du service A }

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La suite $\left(a_{n}\right)$ des dépenses annuelles du service A est une suite arithmétique car les dépenses augmentent d'une somme constante chaque année.  Sa raison est \numprint{4000} et son premier terme \numprint{20000}. 
		\item Exprimons $a_{n}$ en fonction de $n$.  Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_1$ et de raison $r$ est $u_n=u_1+(n-1)r$. Par conséquent $a_n=\numprint{20000}+(n-1)\times \numprint{4000}$.
		\item Calculons $a_{10}$. $a_{10}=\numprint{20000}+9\times\numprint{4000}=\numprint{56000}$.
	\end{enumerate}
\item Une formule qui, entrée dans la cellule R3, permet par recopie vers le bas de calculer le cumul des dépenses du service A est =R2+Q3. (On peut mettre \$ devant les lettres.)
\item Calculons la somme $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{9} + a_{10}$.

 La somme des termes d'une suite arihmétique est  $S_n=\text{nombre de termes }\times  \text{la demi-somme des termes extrèmes}$ 
 
$S_{10}=\dfrac{10 \times (a_1+a_{10})}{2}=\dfrac{10 \times (\numprint{20000}+\numprint{56000})}{2}=\numprint{380000}$.

 Cette somme représente  le montant des dépenses cumulées du service A.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : \"Etude des dépenses du service B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La formule entrée dans la cellule S3 qui permet par recopie vers le bas de calculer les dépenses annuelles du service B est  =S2*\numprint{1.15}. (On peut ausi écrire, =\$S2*\numprint{1.15}) 
	\begin{enumerate}
		\item Si une grandeur subit une évolution au taux $t$, le coefficient multiplicateur asocié est $(1+t)$. Nous avons donc ici un coeficient multiplicateur égal à \numprint{1.15}. Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un mÍme nombre, la suite $\left(b_{n}\right)$ des dépenses du service B  est une suite géométrique de raison $\numprint{1.15}$ et de premier terme \numprint{20000}. 
		\item Le terme général $u_n$ d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_1$ est $u_n=u_1q^{n-1}$. $b_n=(\numprint{2000}(1.15)^{n-1}$.
	\end{enumerate} 
\item Les dépenses annuelles prévisibles pour le service B lors de la dixième année s'élèvent à $b_{10}$. 

$b_{10}=\numprint{20000} \times (\numprint{1.15})^9\approx \numprint{70400}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C : Comparaison des deux services }

\medskip

 Pour déterminer lequel des deux services aura le plus dépensé en 10 ans pour son fonctionnement, calculons d'abord $b_1+b_2+\dots +b_9+b_{10}$.
 
 La somme $S_n$ des $n$ premiers termes d'une suite géométrique  est $u_1\dfrac{q^n-1}{q-1}$. Appliquons $S_{10}=\numprint{20000}\dfrac{\numprint{1.15}^{10}-1}{\numprint{1.15}-1}\approx \numprint{406074}$.
 
 Par conséquent, le service B aura dépensé davantage en dix ans pour son fonctionnement.(\numprint{406074}>\numprint{380000}).

\subsection{\textcolor{blue}{Anntilles-Guyane Mercatique juin 2013}}
%Paul a fait un héritage de \np{150000}~\euro{} au début de l'année 2013.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %On lui propose de placer cette somme sur un compte qui rapporte 4\,\% par an. 

%On note $u_{n}$ la somme en euros disponible sur ce compte l'année $(2013 + n)$. On a donc 
%$u_{0} = \np{150000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $u_{1} = \np{156000}$. 
		Le coefficient multiplicateur est $1+\dfrac{4}{100}=1,04$.\\
		On en déduit $u_{1}=u_{0}\times 1,04=\numprint{150000}\times 1,04=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{156000}}}$.
		
		\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		Pour tout $n$, on a $u_{n+1}=1,04 u_{n}$ ; la suite $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{géométrique}, de raison $q=1,04$ et de premier terme $u_{0}=\numprint{150000}$.\\
		On en déduit : $u_{n}=u_{0}q^{n}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n}=\numprint{150000}\times 1,04^{n}}}$.
		
		\item %Déterminer l'année à partir de laquelle Paul disposera d'au moins \np{250000}~\euro.
		On veut $u_{n}\geqslant \numprint{250000}$ donc $\numprint{150000}\times 1,04^{n}\geqslant \numprint{250000}$ \\
		donc $1,04^{n}\geqslant \dfrac{\numprint{250000}}{\numprint{150000}}=\dfrac{5}{3}$.\\
		On en déduit $\ln\left(1,04^{n}\right)\geqslant \ln\left(\dfrac{5}{3}\right)$, d'où $n\geqslant \dfrac{\ln\left(\frac53\right)}{\ln(1,04)}\approx 13,02$.\\
		Comme $n$ est entier, il faut que $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 14}}$.\\
		Paul disposera donc d’au moins \numprint{250000} \euro{} dans 14 ans, soit en \textbf{2027}.
	\end{enumerate} 
	
\item %Pour augmenter plus rapidement son capital, Paul décide d'économiser chaque année \np{8000}~\euro, qu'il place en fin d'année sur son compte rémunéré à 4\,\%. 

%Au début de l'année 2014, Paul possèdera donc la somme de : 
%
%$\np{150000} \times 1,04 + \np{8000} = \np{164000}$ (en euros). 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la somme que Paul possède en début d'année 2015 est de 178 560 ?. On note $v_{n}$ la somme que Paul possède au début de l'année $(2013 + n)$. 
		En 2015, Paul possèdera $164000\times 1,04+\numprint{8000}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{178560}\text{ \euro}}}$.

%Voici une feuille de calcul qui permet de calculer la somme en euros possédée par Paul à la fin de chaque année: 

		\item %Quelle formule doit-on entrer dans la cellule B3 pour calculer les intérêts de l'année? 
		Dans la cellule B3, il faut taper \og{}\textbf{=A3*4/100}\fg.
		
		\item %Quelles formules doit-on entrer dans les cellules C3 et D3 par recopie vers le bas pour obtenir la somme dont dispose Paul à la fin de chaque année ? 
		En D3, on tape \og{}=D2\fg ou \og{}\textbf{=8000}\fg.\\
		En E3, on tape \og{}\textbf{=A3+B3+C3}\fg ou \og{}\textbf{=SOMME(A3:C3)}\fg.
		\item %Déterminer l'année à partir de laquelle Paul pourra disposer de la somme de \np{250000}~\euro.\\
En complétant le tableau, on obtient :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C	&D\\ \hline 
1	&\small Somme sur le compte en début d'année&\small   Intérêt (4\,\% de la somme sur le compte en début d'année)&\small  Argent économisé pendant l'année &\small  Somme totale sur le compte en fin d'année \\ \hline 
2&\numprint{150000}&\numprint{6000}&\numprint{8000}& \numprint{164000}\\ \hline
3&150 000&6 000&8 000&164 000\\
\hline
4&164 000&6 560&8 000&178 560\\
\hline
5&178 560&7 142&8000&193 702\\
\hline
6&193 702&7 748&8000&209 450\\
\hline
7&209 450&8 378&8000&225 829\\
\hline
8&225 829&9 033&8000&242 862\\
\hline
9&242 862&9 714&8000&260 576\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
C'est en \textbf{2020} que Paul possédera au moins \numprint{250000} \euro sur son compte.\\

\textbf{Autre fa\c con} : on pose considère la suite définie par $v_{0}=\numprint{150000}$ et \\$v_{n+1}=1,04v_{n}+\numprint{8000}$ et on calcule les termes à la calculatrice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

%\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  