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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesection}{\textcolor{red}{\Roman{section}}} 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{section}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Taux d'évolution}}
\date{}
\author{}
\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\section*{\textcolor{red}{Activités préparatoires}}

\subsection*{\textcolor{blue}{Activité 1 pages 7 et 8}}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
y_{1}&y_{2}&\text{Évolution de }y_{1}\text{ à }y_{2}&\text{Variation absolue de}y_{1}\text{ à }y_{2}&\text{Taux d'évolution de }y_{1}\text{ à }y_{2}\\
\hline
8&8,96&\text{\textcolor{red}{hausse}}&\textcolor{red}{0,96}&\textcolor{red}{\frac{0,96}{8}=0,12=12~\%}\\
\hline
155&124&\text{\textcolor{red}{baisse}}&-31&\textcolor{red}{-\frac{31}{155}=-0,20=-20~\%}\\
\hline
120&\textcolor{red}{124,5}&\text{\textcolor{red}{hausse}}&4,5&\textcolor{red}{\frac{4,5}{120}=0,0375=3,75~\%}\\
\hline
\textcolor{red}{470}&418,3&\text{\textcolor{red}{baisse}}&-51,7&\textcolor{red}{-\frac{51,7}{470}=-0,11=-11~\%}\\
\hline
\end{array}
$\end{center}

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Taux d'évolution de }y_{1}\text{ à }y_{2}&\text{Évolution de}y_{1}\text{ à }y_{2}&\text{Coefficient multiplicateur }\\
\hline
340~\%&\text{\textcolor{red}{Hausse}}&\textcolor{red}{1+\dfrac{340}{100}=4,4}\\
\hline
-50~\%&\text{\textcolor{red}{Baisse}}&\textcolor{red}{1-\dfrac{50}{100}=0,5}\\
\hline
\textcolor{red}{1,58-1=0,58=58~\%}~\%&\text{\textcolor{red}{Hausse}}&1,58\\
\hline
\textcolor{red}{0,41-1=-0,59=-59~\%}~\%&\text{\textcolor{red}{Baisse}}&0,41\\
\hline
\end{array}
$\end{center}

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
y_{1}&\text{Taux d'évolution de}y_{1}\text{ à }y_{2}&y_{2}\\
\hline
24&10~\%&\textcolor{red}{26,4} \\
\hline
80&-25~\%&\textcolor{red}{60} \\
\hline
\textcolor{red}{4,5}&100~\%&9 \\
\hline
\textcolor{red}{300}&-15~\%&255 \\

\hline
\end{array}
$\end{center}

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Évolution de }y_{1}\text{ à }y_{2}&\text{Évolution de }y_{2}\text{ à }y_{3}&\text{Évolution globale de }y_{1}\text{ à }y_{3}\\
\hline
\text{Hausse de } 4~\%&\text{Hausse de }6~\%&\text{\textcolor{red}{Hausse de }}\textcolor{red}{10,24~\%}(\textcolor{red}{1,04\times 1,06=1,1024})\\
\hline
\text{Hausse de }22~\%&\text{Baisse de }35~\%&\text{\textcolor{red}{Baisse de }}\textcolor{red}{20,7\%}\textcolor{red}{((1+0,22)\times (1-0,35)=-0,207)} \\
\hline
\text{Baisse de }20~\%& \text{Hausse de }20~\%&\text{\textcolor{red}{Baisse de }}\textcolor{red}{4\%}\textcolor{red}{((1-0,2)\times (1+0,2)=-0,04)} \\
\hline
\text{Baisse de }10~\%&\text{Hausse de }5~\%&\text{\textcolor{red}{Baisse de }}\textcolor{red}{5,5~\%}\\
\hline
\text{Baisse de }60~\%&\text{Baisse de }30~\%&\text{\textcolor{red}{Baisse de }}\textcolor{red}{72~\%}\\
\hline
\end{array}
$\end{center}


\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Évolution de }y_{1}\text{ à }y_{2}&\text{Évolution réciproque de }y_{2}\text{ à }y_{1}\\
\hline
\text{Hausse de }2~\%&\textcolor{red}{\dfrac{1}{1+0,02}-1\approx-0,0196\text{ d'o˘ baisse d'environ }1,96~\%}\\
\hline
\text{Baisse de }54~\%&\textcolor{red}{\text{Hausse d'environ }117,39~\%}\\
\hline\end{array}$
\end{center}


\section{\textcolor{red}{Rappels sur les taux d'évolution, coefficient multiplicateur}}

\subsection{\textcolor{blue}{Coefficient multiplicateur :}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Un nombre, auquel on fait subir une évolution avec un taux $t$, est multiplié par le nombre $C=1+t$, appelé coefficient multiplicateur.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Justification :}}\\
Soit $x$ le nombre de départ ; l'évolution est $x\times t$ ; la nouvelle valeur est donc $x+xt=x\times (1+t)$ en mettant $x$ en facteur.


\subsection{\textcolor{blue}{Exemples :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Un objet vaut 12 \euro. Son prix augmente de 4 \%. Son nouveau prix est $12\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)=12\times 1,04=12,48$~\euro.

\item La population d'une ville était de 52000 habitants ; elle a diminué de 3 \% en un an.\\
Elle est alors égale à : $52000\times \left(1-\dfrac{3}{100}\right)=52000\times 0,97=50440$

\item Le population d'un pays a été multiplié par 1,012 en un an. Le taux d'augmentation en \% est $t$ tel que $1,02=1+\dfrac{t}{100}$ donc $t=(1,02-1)\times 100=2$.\\
\textbf{La population a augmenté de 2\%}.

\item Lors d'une crise économique, un pays subit beaucoup d'inflation et les prix sont multipliés par 3 en un an.\\
$3=1+\dfrac{t}{100}$ donc $t=200$ : \textbf{Les prix ont augmenté de 200~\%}.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{red}{Activité 2 page 9}}
\begin{enumerate}
\item $y_{1}=250$ et $y_{2}=280$.
\begin{enumerate}
\item Variation absolue : 30 \euro

\item Taux d'évolution $t_{1}$ : $t_{1}=\dfrac{30}{250}=0,12$. Le prix a augmenté de 12~\%.

\item Le coefficient multiplicateur correspondant est : $1+0,12=1,12$.
\end{enumerate}

\item En 2006, le prix a diminué de 2,5~\%.
\begin{enumerate}
\item Le coefficient multiplicateur correspondant à cette évolution est $1-\dfrac{2,5}{100}=1-0,025=0,975$.

\item $y_{3}=280\times 0,975=273$
\end{enumerate}

\item Soit $T$ le taux dévolution global :

\begin{enumerate}
\item On a : $1+T=(1+t_{1})\times (1+t_{2})=1,12\times 0,975=1,092$.

\item On en déduit que $T=0,092$.\\
De 2001 à 2006, le prix du produit a augmenté de 9,2~\%.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section{\textcolor{red}{Évolutions successives}}


\subsection{\textcolor{blue}{Taux global}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $x_{0}$, $x_{1}$, \dots $x_{n}$ des nombres réels strictement positifs.\\
$t_{1}$, $t_{2}$, \dots $x_{n}$ sont les taux d'évolution successifs permettant de passer de $x_{1}$ à $x_{2}$, de $x_{2}$ à $x_{3}$, \dots, de $x_{n-1}$ à $x_{n}$.\\
Le coefficient multiplicateur global permettant de passer de $y_{0}$ à $y_{n}$ est le produit des $n$ coefficients.\\
$1+T=(1+t_{1})(1+t_{2})\cdots(1+t_{n})$ donc :\\
$\boxed{T=(1+t_{1})(1+t_{2})\cdots(1+t_{n})-1}$
\end{bclogo}


\subsection{\textcolor{blue}{Exemples}}


\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Exemple 1 : }} Un prix subit une augmentation de 2 \%, suivie d'une augmentation de 3 \%.\\
Quel est le taux d'augmentation global ?\\

\textbf{\textcolor{blue}{Réponse :}} Le premier coefficient multiplicateur est $1+t_1=1+2\%=1,02$.\\
Le second est $1+t_2=1+3 \%=1,03$.\\
Le coefficient multiplicateur global est $1,02\times 1,03=1,0506$.\\
Si $t$ est le taux global, on a : $1+t=1,0506$ donc $t=1,0506-1=0,0506=\boxed{\textcolor{red}{5,06 \%}}$.\\

\item \textbf{\textcolor{red}{Exemple 2 : }} Un prix subit une augmentation de 2 \%, suivie d'une baisse de 2 \%.\\
Quel est le taux d'augmentation global ?\\

\textbf{\textcolor{blue}{Réponse :}} Le premier coefficient multiplicateur est $1+t_1=1+2\%=1,02$.\\
Le second est $1+t_2=1+(-2 \%)=1-0,02=0,98$.\\
Le coefficient multiplicateur global est $1,02\times 0,98=0,9996$.\\
Si $t$ est le taux global, on a : $1+t=0,9996$ donc $t=0,9996-1=-0,0004=\boxed{\textcolor{red}{-0,04 \%}}$.\\

\item \textbf{\textcolor{red}{Exemple 3 : }}
La popualtion d'une ville augmente de 3 \% par an pendant trois ans ? Quel est le taux dévolution global ?\\

\textbf{\textcolor{blue}{Réponse :}} \\
Soit $t=3 \%$. Le coefficient multiplicateur correspondant à chaque année est $1+3 \%=1,03$. La population est donc multipliée par 1,03 chaque année.\\
Au bout de trois ans, la population a été multipliée par le coefficient multiplicateur \\
$C=(1+t)\times (1+t)\times (1+t)=1,03\times 1,03\times 1,03=1,03^3=1,092727$.\\
Si $T$ est le taux d'évolution global, on a : $C=1+T=1+0,092727$ donc $T=C-1=0,092727=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{9,2727} \%}}$.
\end{enumerate}



\textbf{\textcolor{red}{Exercices :}}

\subsection*{\textcolor{red}{Activité 3 page 10}}

%
\subsection{\textcolor{blue}{Taux d'évolution moyen}}
On considère $n$ évolutions successives \textbf{de même taux t}, appelé taux moyen, qui permettent de passer de $y_{0}$ à $y_{n}$.\\
Par conséquent : $1+T=(1+t)\times (1+t)\times \cdots(1+t)=(1+t)^n$.\\
On en déduit : $1+t=(1+T)^\frac1n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{t=(1+T)^\frac1n-1}}$.\\\\
Si les taux sont différents, on a : $1+t=\left[(1+t_{1})\times (1+t_{2})\cdots(1+t_{n})\right]^\frac1n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{t=\left[(1+t_{1})\times (1+t_{2})\cdots(1+t_{n})\right]^\frac1n-1}}$

\section{\textcolor{red}{Taux d'évolution réciproque}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $t$ un taux d'évolution, qui permet de passer d'un nombre $x$ à un nombre $y$.\\
On appelle taux d'évolution réciproque le taux $t'$ qui permet de revenir au nombre $x$ initial, c'est-à^^{-dire le taux qu'il faut appliquer à $y$} pour retrouver $x$.\\

\noindent On a alors $(1+T)(1+T')=1$ donc $1+T'=\dfrac{1}{1+T}$ et $\boxed{\textcolor{red}{T'=\dfrac{1}{1+T}-1}}$.\\
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} :\\

Un prix de 40 \euro{} subit une hausse de 2\/\% ; le taux d'évolution est donc $t=2\:\%$. Le coefficient multiplicateur est $C=1+t=1+\dfrac{2}{100}=1,02$.\\
Le nouveau prix est $40\times 1,02=40,8$.\\
Le taux réciproque de $t$ est le taux d'évolution $t'$ qu'il faut appliquer à 40,8 pour retrouver le prix initial 40.\\
On doit avoir $40,8\times [1+t']=40$, donc $\left(40(1+t)\right)\times (1+t')=40$, d'où $(1+t)\times (1+t')=1$.\\
On obtient successivement $1+t'=\dfrac{1}{1+t}$ donc $t'=\dfrac{1}{1+t}-1$ ; ici, $t'=\dfrac{1}{1,02}-1\approx -0,0196$, soit $t'\approx -1,06\:\%$.\\
\textcolor{red}{Après une hausse de 2\:\%, il faut appliquer une baisse d'environ 1,06\:\% pour retrouver le nombre initial.}


%\newpage
%\subsection{\textcolor{blue}{Indice en base 100}}
%\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}\\
%Le tableau ci-dessous donne la production de colza en France de 1992 à 2000. L'unité est le millier de tonnes.
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{9}{c|}c|}
%\hline
%année	&1992&1993&1994&1995&1996&1997&1998&1999&2000\\
%\hline
%production&1855&1587&1653&1425&1905&2013&2431&2324&2106\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%Nous allons dresser un nouveau tableau permettant d'avoir rapidement le pourcentage d'évolution pour chaque année par rapport à la première année, c'est-à-dire 1992.\\
%On choisit cette année comme année de référence et on ramène à 100 la production de cette année-là.\\
%On remplit les autres cases par proportionnalité.\\
%Notons $P_{1}$ la production de la première année, $I_{1}$ l'indice correspondant (100), $P$ la production d'une année et $I$ l'indice correspondant.\\
%On a alors : $\dfrac{I}{I_{1}}=\dfrac{P}{P_{1}}$, c'est-à-dire $\dfrac{I}{100}=\dfrac{P}{P_{1}}$ d'o˘ : $\boxed{I=100\times \dfrac{P}{P_{1}}}$.\\
%Le tableau devient :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{9}{c|}c|}
%\hline
%année&1992&1993&1994&1995&1996&1997&1998&1999&2000\\
%\hline
%Indice (arrondi à l'unité)&100&86&89&77&103&109&131&125&114\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\textbf{\textcolor{blue}{Utilité des indices :}}\\
%Notons $I$ et $P$ l'indice et la production d'une année et $I'$ et $P'$ l'indice et la production d'une autre année.\\
%On a : $\dfrac{I'}{100}=\dfrac{P'}{P_{1}}$ et $\dfrac{I}{100}=\dfrac{P}{P_{1}}$ d'o˘ $\dfrac{\dfrac{P'}{P_{1}}}{\dfrac{P}{P_{1}}}=\dfrac{P'}{P}=\dfrac{\dfrac{I'}{100}}{\dfrac{I}{100}}=\dfrac{I'}{I}$ donc $\boxed{\dfrac{P'}{P}=\dfrac{I'}{I}}$\\\\
%Supposons alors que $P'>P$ et notons $t$ le pourcentage d'augmentation :\\
%$t=\dfrac{P'-P}{P}\times 100=\left(\dfrac{P'}{P}-1\right)\times 100=\left(\dfrac{I'}{I}-1\right)\times 100=\dfrac{I'-I}{I}\times 100$.\\
%Le pourcentage d'augmentation de la production est le même que le pourcentage d'augmentation des indices.
%On a le même résultat si $P'<P$.\\\\
%Par conséquent : \\\\
%\fbox{\textbf{\begin{minipage}{18cm}Le pourcentage d'évolution de la production est le même que le pourcentage d'évolution des indices\end{minipage}}}\\\\
%Par exemple, on voit facilement dans le tableau qu'entre 1992 et 1994, la production a baissé de 11~\%\\
%Entre 1992 et 2000, la production augmenté de 14~\% (elle passe d'un indice 100 à un indice 114).
%On n'a donc pas besoin de connaÓtre les vraies valeurs pour étudier les pourcentages d'évolution.
%
%\newpage
%
%\subsection{\textcolor{blue}{Approximation du taux d'évolution}}
%TD4 page 11 :\\
%\textbf{\textcolor{red}{Partie 1}}\\
%Le taux d'évolution est de -0,9~\%. Une action de 4500 \euro~ subit deux évolutions successives de ce taux $t=-0,9~\%$.
%\begin{enumerate}
%\item $t=-0,009$, nombre proche de 0.
%
%\item $y_{2}=(1+t)^2y_{0}=(1+T)y_{0}$ donc $1+T=(1+t)^2$.\\
%$T=(1+t)^2-1=0,991^2-1=-017919$. La valeur exacte de l'action est alors : $4500*0,991\approx 4419,37$~\euro.
%
%\item $2t=-0,018$ ; En prenant $2t$ comme approximation, on obtient un prix égal à 4419~euro.
%
%\item L'erreur commise est : -0,37~\euro, soit 0,008~\% donc l'erreur est négligeable.
%\end{enumerate}
%\textbf{\textcolor{red}{Partie 2}}\\
%Le nombre d'absences a augmenté de 1,25~\%.
%\begin{enumerate}
%\item $t=1,25~\%=0,0125$
%
%\item $y_{1}=y_{0}\times (1+t)$ et $y_{0}=y_{1}\times (1+t')$.\\
%Le nombre de jours d'absences injustifiées pour le mois de septembre de cette année est : 81\\
%$80=81\times (1+t')$ donc $t'=\dfrac{80}{81}-1\approx -0,012345679\approx -1,23~\%$
%
%\item $-t=-1,25$. Avec ce taux, le nombre de jours d'absences serait 79,9875 jours. Comme ce doit un nombre entier, on trouve approximativement 80.\\
%On en conclut que, pour $t$ petit, on peut remplacer $\dfrac{1}{1+t}$ par $-t$.
%\end{enumerate}
%\vspace{2cm}
%\textbf{\textcolor{red}{Résumé}}\\\\
%\fbox{\begin{minipage}{18cm}\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item Pour un taux d'évolution $t$ proche de 0, le taux d'évolution global $T$ de deux évolutions successives de même taux $t$ est approximativement égal à $2t$. ($T\approx 2t$).
%
%\item Pour un taux d'évolution $t$ proche de 0, le taux de l'évolution réciproque $t'$  est approximativement égal à $-t$. ($t'\approx -t$).
%\end{enumerate}
%\end{minipage}}


\label{fin}
\end{document}
