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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de  la feuille d'exercices}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}
 \item $p \left( X \leqslant 160 \right) = 0,5 - p\left(  160 \leqslant X \leqslant 200 \right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p \left( X \leqslant 160 \right) \approx 0,16}}$.\\
(on a utilisé $p(X\leqslant \mu)=0,5=p(X\geqslant \mu)$ où $\mu$ est l'espérance.

\item $p \left( X \geqslant 320 \right) = 0,5 - p\left(  200 \leqslant X \leqslant 320 \right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p \left( X \geqslant 320 \right) \approx \numprint{0,0013}}}$.

Non la probabilité n'est pas supérieur à $0,01$.\\

\noindent On peut aussi utiliser directement la probabilité en calculant $p(-10^{99}\leqslant X\leqslant 160)$ et $p(320\leqslant X\leqslant 10^{99})$.
\end{enumerate}

\subsection{}
La variable aléatoire $R$ qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale $\mathscr{N}(200,5;3,5^2)$.


\begin{enumerate}
\item  La probabilité $p_1$ de l'évènement \og La résistance du composant est supérieure à 211 ohms\fg~est 
\begin{align*}
	p_1&= P(R\geqslant211)= 1-P(R\leqslant211)= 1-0,9987= 0,0013\\
p_1& \approx 0,0013
\end{align*}



\item La probabilité $p_2$ de l'évènement \og La résistance du composant est comprise dans l'intervalle $[195\,;\,205]$ ohms\fg~est 

$p_2= P(195\leqslant R\leqslant205)= P(R\leqslant205)-P(R\leqslant195)= 0,9007-0,0580= 0,8427$\\
$	p_2\approx 84,27$




\item On effectue le prélèvement de trois composants dans la production de manière indépendante. La production journalière étant de 1\,500 composants, ce prélèvement de 3 composants peut être assimilé à un tirage avec remise.

Alors la variable aléatoire $X$, qui associe à ce prélèvement le nombre de composants acceptés, suit une loi binomiale $\mathscr{B}(3~;~0,84)$.

La probabilité $p$ qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés est
\begin{align*}
	p&= P(X=2)= \dbinom{3}{2}0,84^2(1-0,84)^{3-2}.\\
p&\approx 33,87
\end{align*}


	\textbf{Remarque:} tous les résultats de cet exercice sont exacts et aucun arrondi n'est effectué.


\end{enumerate}

\subsection{}
{\footnotesize 
Une entreprise agro-alimentaire cherche à lancer sur le marché un nouveau plat cuisiné pour lequel elle a deux recettes différentes que nous appellerons recette 1 et recette 2.

\medskip

Afin de déterminer laquelle de ces deux recettes sera la plus appréciée elle organise une étude marketing auprès d’un panel de consommateurs.

45\,\% de ce panel goûte la recette 1 et le reste goûte la recette 2.
Les testeurs ne savent pas quelle recette leur est présentée. Ils doivent indiquer s'ils ont aimé ou pas.

\medskip

Une fois cette étude terminée il a été observé que :

\smallskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 75\,\% des testeurs ont aimé ce qu’ils ont goûté
\item[$\bullet~~$] 38\,\% des testeurs ont goûté la recette 1 et l'ont aimée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On choisit un testeur au hasard.  On admet que chaque testeur à la même probabilité d’être choisi.

On considère les événements suivants

\smallskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R_{1}$ :  \og le testeur a goûté la recette 1 \fg
\item[$\bullet~~$] $R_{2}$ :  \og le testeur a goûté la recette 2 \fg
\item[$\bullet~~$] $A$  : \og le testeur a aimé \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

\emph{On arrondira les résultats au centième si nécessaire.}

\medskip
}
 Construisons un arbre représentant la situation
 \begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=1mm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R_1$}\taput{\numprint{0.45}}}
	{
	{\pstree{\TR{A}\taput{\numprint{0.84}}}{\TR{$R_1\cap A$}\taput{$\numprint{0.38}$}}}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\numprint{0.16}}
	}
\pstree{\TR{$R_2$}\tbput{\numprint{0.55}}}
	{
	{\pstree{\TR{A}\taput{\numprint{0.67}}}{\TR{$R_2\cap A$}\taput{$\numprint{0.37}$}}}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{{0.33}}
	}
}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
		\item $P\left(R_{1}\right)=\numprint{0.45}$ car 45\,\% de ce panel goûte la recette 1. 
		\item $P\left(R_{2}\right)=\numprint{0.55}$ car le reste goûte la recette 2.
		\item $P\left(R_{1} \cap A\right)=\numprint{0.38}$ car 38\,\% des testeurs ont goûté la recette 1 et l'ont aimée.
		\item $P(A)=\numprint{0.75}$ car 75\,\% des testeurs ont aimé ce qu’ils ont goûté.
	\end{enumerate}
\item La probabilité que le testeur ait aimé sachant qu’il a goûté la recette~1 est notée $p_{R_1}(A)$.

$P(R_1 \cap A)=P(R_1) \times P_{R_1}(A)\qquad \numprint{0.45}\times P_{R_1}=\numprint{0.38}$. Nous en déduisons $P_{R_1}(A)=\dfrac{\numprint{0.38}}{\numprint{0.45}}\approx \numprint{0.84}$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  $P\left(R_{2}\cap A\right)=P(A)-P\left(R_{1}\cap A\right)=\numprint{0.75}-\numprint{0.38} = 0,37$.
		\item $P(R_2)\times P_{R_{2}}(A)=P(R_2 \cap A)$. En remplaçant par leurs valeurs, $\numprint{0.37}=\numprint{0.55}\times P_{R_{2}}(A)$ d'où \\
		$P_{R_{2}}(A)=\dfrac{\numprint{0.37}}{\numprint{0.55}}\approx \numprint{0.67}.$
	\end{enumerate}
\item {\scriptsize \emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.}}

\medskip

{\footnotesize Au vu des résultats précédents et sachant que les coûts de production pour les deux recettes sont sensiblement les mêmes, que pouvez-vous en conclure quant au choix de recette que devrait faire l’entreprise ?}

La recette que devrait faire l'entreprise est la recette~1 puisque ceux qui ont goûté cette recette l'ont aimée à 84\,\% tandis que ceux qui ont goûté la recette~2 ne l'ont aimée qu'à 67\,\%.
\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  