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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale Mercatique : correction du contrôle sur les suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
\noindent %$\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique, de premier terme $u_{0}=3$ et de raison $r=4$.\\
%Calculer $u_{10}$
$u_n=u_0+nr$ donc $u_{10}=u_0+10r=3+10\times 4=43$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_{10}=43}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
%\noindent $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique, telle que $u_{0}=1$ et $u_{20}=61$.\\
%Calculer sa raison $r$, puis en déduire $u_{30}$
\noindent On sait que $u_{20}=u_0+20r$ donc $20r=u_{20}-u_0=61-1=60$ d'où $r=\dfrac{60}{20}=3$. $\boxed{\textcolor{red}{r=3}}$.\\
On en déduit que $u_{30}=u_0+30t=1+30\times 3=91$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_{30}=91}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
%\noindent $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique, de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$.\\
%On sait que $u_{5}=2$ et $u_{10}=17$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{0}$ et $r$.
$u_{10}=u_5+(10-5)r$ donc $u_{10}=u_5+5r$. Par conséquent : $5r=u_{10}-u_5=17-2=15$.\\
On en déduit $r=\dfrac{15}{5}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{r=3}}$.\\
$u_5=u_0+5r$ donc $2=u_0+5\times 3=u_0+15$. On en déduit que : $u_0=2-15=13$. $\boxed{\textcolor{red}{u_0=-13}}$.
La suite a pour premier terme $u_0=-13$ et raison $r=3$.

\item %En déduire $u_{13}$.
$u_{13}=u_0+13r=-13+13\times 3=-13+39=26$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_{13}=26}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
\noindent %$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, de premier terme $u_0=2$ et de raison $q=3$.\\
%Calculer $u_4$.
On a $u_n=u_0q^n=2\times 3^n$.\\
Pn en déduit : $u_4=2\times 3^4=2\times 81=162$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_4=162}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
%Une barrière de corail ceinture un atoll, mais  une algue brune prolifère au détriment du corail. Au $1\up{ier}$ jaznvier 2012, la superficie d'algues est de \numprint{150000} m$^2$. On estime qu'elle augmente de 15\:\% par an.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la surface occupée par cette algue est de \numprint{172500} m$^2$ au $1\up{ier}$ janvier 2013.
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 15\:\% est 1,15.\\
Au bout d'un an, la surface occupée par l'algue est $\numprint{150000}\times 1,15=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{172500}}}$.

\item %On note $u_n$ la surface occupée par cette algue au $1\up{ier}$ janvier de l'année ($2012+n$).\\
%Ainsi : $u_0=\numprint{150000}$.\\
%Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique ; préciser le premier terme et la raison de cette suite.
Pour tout $n$, $u_{n+1}=u_,\times 1,15$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q=1,15$ et premier terme $u_0=\numprint{150000}$.

\item %Quelle sera la surface occupée par l'algue au $1\up{ier}$ janvier  2022 ?
Le terme général est $u_n=u_0q^n=\numprint{150000}\times 1,15^n$.\\
Au $1\up{ier}$ janvier  2022, il s'est écoulé 10 ans ; \\
$u_{10}=\numprint{150000}\times 1,15^{10}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{606833}\:\text{m}^2}}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(8 points)}}%Mercatique Antilles juin 2007
%On s'int\'eresse à l'\'evolution de la population d'une ville V et on veut \'etudier plusieurs mod\`eles d'\'evolution. En 2005, la population de la ville V est estim\'ee à \nombre{10000}~habitants.

\columnbreak
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie I: \'etude de deux mod\`eles}}
\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Premi\`ere hypoth\`ese de croissance}}\\
%En analysant l'\'evolution r\'ecente, on fait d'abord comme hypoth\`ese que la population de la ville V va augmenter de \nombre{500} habitants par an.\\
%On note $u_{0}=\nombre{10000}$ la population en 2005,  et $u_{n}$ la population en $(2005+n)$.
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la nature de la suite $(u_{n})$~?
Pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+500$, donc la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}}, de raison $r=500$ et de premier tere $u_0=\numprint{10000}$.

\item% Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On a $u_n=u_0+nr$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\numprint{10000}+500n}}$.

\item %En quelle ann\'ee la population atteindra-t-elle \nombre{20000} habitants~?
$u_n\geqslant \numprint{20000}$ donne $\numprint{10000}+500n\geqslant \numprint{20000}$ d'où $500n\geqslant \numprint{20000}-\numprint{10000}=\numprint{10000}$.\\
On en déduit $n\geqslant \dfrac{\numprint{10000}}{500}=\boxed{\textcolor{red}{20}}$.\\
La population dépassera \numprint{20000} habitats \fbox{\textcolor{red}{au bout de 20 ans}}.
\end{enumerate}

\bigskip
\item \textbf{\textcolor{blue}{Deuxi\`eme hypoth\`ese de croissance}}\\[2ex]
%On travaille avec l'hypoth\`ese d'une augmentation de \nombre{4,7}\:\% par an.\\
%On note $v_{n}$ la population en $(2005+n)$. Nous avons alors $v_{0}=\nombre{10000}$.
\begin{enumerate}
\item %Quelle sera la population en 2006~? En 2007~?
Le coefficient multiplicateur est \\
$1+\dfrac{4,7}{100}=\boxed{\textcolor{red}{1,047}}$.\\
En 2006, la population sera \\
$v_1=\numprint{10000}\times 1,047=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{10470}}}$.\\
En 2007, la population sera \\
$v_2=\numprint{10470}\times 1,047\boxed{\textcolor{red}{\approx\numprint{10962}}}$.

\item %Quelle est la nature de la suite $(v_{n})$ ? Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=v_n\times 1,047$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique, de raison $q=1,047$ et de premier terme $v_0=\numprint{10000}$.\\
On en déduit $v_n=v_0q^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=\numprint{10000}\times 1,047^n}}$.

\item %Calculer la population de la ville en 2020.\\
En 2020, la population sera \\
$\boxed{\textcolor{red}{v_{15}=\numprint{10000}\times 1,047^{15}\approx \numprint{19916}}}$.

%En examinant l'\'evolution de villes comparables, des experts ont estim\'e que la population de la ville V consid\'er\'ee allait doubler en $15$~ans.
\item %Le r\'esultat trouv\'e en 2. c. vous para\^{i}t-il correspondre à ce que pensaient les experts~?
Le résultat est proche de \numprint{20000}, donc oui, la population va presque doubler en quinze ans.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\noindent\textbf{\textcolor{red}{Partie II : analyse des r\'esultats sur tableur}}

\smallskip
%On veut utiliser un tableur pour comparer l'\'evolution de la population suivant les deux mod\`eles:
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%\hline
% & A & B & C & D\\
%\hline
%1 & Ann\'ee & $u_{n}$ & $v_{n}$ & \\
%\hline
%2 & 2005 & & & \\
%\hline
%3 & 2006 & & & \\
%\hline
%4 & 2007 & & & \\
%\hline
%5 & 2008 & & & \\
%\hline
%6 & 2009 & & & \\
%\hline
%7 &2010 & & & \\
%\hline
%8 & 2011 & & & \\
%\hline
%9 & 2012 & & & \\
%\hline
%10 & 2013 & & & \\
%\hline
%11 &  2014 & & & \\
%\hline
%12 &  2015 & & & \\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Quelle formule faut-il entrer en B3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite ($u_{n})$~?
En B2 et C2, on entre le nombre \numprint{10000} (population en 2005)..\\
En B3, il faut taper la formule \og{}\textcolor{red}{=B2+500}\fg.
 
\item %Quelle formule faut-il entrer en C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite ($v_{n})$~?
En C3, on tape \og{}\textcolor{red}{=C2*1.047}\fg.

\item %En cellule B8, quel sera alors le r\'esultat affich\'e~?
Le résultat en B8 correspond à $u_6$ (car 2011=2005+6) ; $u_6+u_0+6r=\pi10000+6\times 500=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{13000}}}$
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  