\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale Mercatique : contrôle (dérivation et statistiques) (1 heure)}}\end{center}

\subsection{}
On donne ci-dessous le nombre de demandes de cartes nationales d'identité traitées par les services d'une commune du nord de la France durant le mois d'avril 2013. 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre de demandes&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&17&20\\
\hline
Effectifs (noble de jours)&1&1&4&2&2&2&1&2&4&1&1&1\\
\hline
Effectifs cumulés croissants&1&2&6&8&10&12&13&15&19&20&21&22\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item %Compléter la ligne des effectifs cumulés croissants.
Le tableau est complété ci-dessus.

\item %Déterminer la médiane et les quartiles, puis construire le diagramme en boîte de cette série.\\
L'effectif total est 22 qui est pair, donc la médiane est la moyenne entre la 11\ieme{} et la 12\ieme{} valeur, donc $\dfrac{8+8}{2}=8$ ; $\boxed{\textcolor{red}{M=8}}$.\\
$\dfrac{22}{4}=5,5$ donc le premier quartile est la 6\ieme{} valeur : $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=5}}$.\\
$\dfrac{3}{4}\times 22=16,5$ donc le troisième quartile est la 17\ieme{} valeur : $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=11}}$.\\
\bigskip
Diagramme en boîte :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.8)(21.1,2.2)
\def\xmin{0} \def\xmax{21} \def\ymin{0} \def\ymax{1.4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.8)(21.1,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=2.4cm}
\psgrid[griddots=25,gridlabels=0pt,gridwidth=.8pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.8pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(21,1.4)
\psset{xunit=0.7cm , yunit=1cm}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid](5,0.8)(11,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(8,0.8)(8,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(3,1.2)(5,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(11,1.2)(20,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(3,1.05)(3,1.35)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(20,1.05)(20,1.35)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=1,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,0)(\xmin,0)(\xmax,0.1)
\end{pspicture*}


\end{center}

\item %Peut-on dire que le nombre de demandes traitées journellement dépasse 11 pendant la moitié des jours du mois d'avril? 
Comme le troisième quartile est 11, cela signifie qu'au moins 75\:\% des valeurs sont inférieures ou égales à 11, donc moins de 25\:\% des valeurs dépassent 11 ; l'affirmation est donc \textbf{\textcolor{red}{fausse}}.
\end{enumerate}


\subsection{}
%Le tableau ci-dessous donne la répartition de 867 magasins d'une enseigne de sport selon  leur nombre d'employés.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la médiane et les quartiles de cette série.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre d'employés&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
Effectifs&25&115&124&72&92&85&155&175&24\\
\hline
Effectifs cumulés croissants&25&140&264&336&428&513&668&843&867\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
L'effectif total est $N=867=2\times 433+1$, nombre impair. La médiane $M$ est le 434\ieme{} nombre, donc $\boxed{\textcolor{red}{M=6}}$.\\
$25\:\%\times N=\dfrac{867}{4}=216,75$ donc le premier quartile est le nombre de rang 217, donc $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=3}}$.\\
$75\:\% \times N=650,25$ donc $Q_3$ est le nombre de rang 651 ; $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=7}}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : on peut calculer la médiane et les quartiles à la machine.

\item %Construire ci-dessous le diagramme en boîte de cette série.
Diagramme en boîte :
\begin{center}
\psset{yunit=0.7}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=false,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(10,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(10,4)%grille
\psframe[linewidth=2pt](3,1)(7,3)
\psline[linewidth=2pt](6,1)(6,3)
\psdots(1,2)(9,2)
\psline[linewidth=2pt](1,2)(3,2)
\psline[linewidth=2pt](9,2)(7,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Peut-on dire qu'au moins 25\:\% des magasins n'emploient pas plus de trois personnes ?
$Q_1=3$ donc au moins 25\:\% de magasins emploient moins de trois personnes ou trois, donc pas plus de trois personnes: c'est \textbf{\textcolor{red}{vrai}}.
\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-5~;~7]$ par \[f(x)=0,25x^4-x^3-5x^2.\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f'(x)=x\left(x^2-3x-10\right)$.
$f'(x)=0,25\times 4x^3-3x^2-5\times 2x=x^3-3x^2-10x=\boxed{\textcolor{red}{x\left(x^2-3x-10\right)}}$.

\item %Résoudre l'équation $x^2-3x-10=0$.
Résolvons l'équation $x^2-3x-10=0$.\\
$\Delta=(-3)^2-4\times 1\times (-10)=9+40=49>0$.\\
L'équation admet deux solutions : $x_1=\dfrac{3-\sqrt{49}}{2}=\dfrac{3-7}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{49}}{2}=\dfrac{3+7}{2}=5$.\\
Les solutions sont -2 et 5.

\item %Étudier alors le signe de $f'(x)$ sur $[-5~;~7]$.
$x^2-3x-10$ est du signe du coefficient de $x^2$ (donc de 1, positif) à l'extérieur de l'intervalle formé par les deux solutions.\\
On peut alors renseigner le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-2&&0&&5&&7\\
\hline
x&&-&\l&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
x^2-3x-10=0&&+&\z&-&\l&-&\l&\z&+&\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Dresser alors le tableau de variation de $f$ sur $[-5~;~7]$.
On en déduit alors le tableau de variation de $f$ sur $[-5~;~7]$.

\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-2&&0&&5&&7\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{156,25}&\d&-8&\c&\h{0}&\d&-93,75&\c&\h{12,25}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles-Guyane CGRH juin 2013

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : $R(x) = \numprint{3500}x$. 
$x$ est en milliers d'objets, donc $R(x)=\numprint{1000}x\times 3,5=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3500}x}}$.

\item %Représenter la fonction $R$ sur l'annexe, à remettre avec la copie. 
$R$ est une fonction linéaire, donc sa représentation graphique est une droite (passant par l'origine).\\
$R(6)=\numprint{21000}$ et $R(32)=\numprint{112000}$, donc la droite passe par les points de coordonnées $(6~;~\numprint{21000})$ et $\left(32~;~\numprint{112000}\right)$.

\item %Par lecture graphique, et avec la précision permise par celui-ci, répondre aux questions suivantes. On laissera apparents tous les tracés utiles aux lectures graphiques. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel nombre de pièces produites correspond à un coût de \numprint{30000}~\euro{} ? 
		Graphiquement, on trouve que \numprint{30000} \euro{} correspondent à un coût de fabrication d'environ \fbox{\textcolor{red}{\numprint{8000} objets}}.
		
		\item %Quel nombre minimal de pièces fabriquées permet d'avoir un bénéfice positif ou nul ?
		L'entreprise a un bénéfice lorsque le montant de vente est supérieur au coût de fabrication des pièces, donc lorsque la droite est au-dessus de la courbe. Graphiquement, on trouve que $\boxed{\textcolor{red}{x\geqslant 18}}$ (environ), donc pour une fabrication de plus de \numprint{18000} objets.
		
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : 

$B(x)=R(x)-C(x)=\numprint{3500}x-\left(2x^3 - 108x^2 + \numprint{5060} x - \numprint{4640}\right)= \boxed{\textcolor{red}{- 2x^3 + 108x^2 - \numprint{1560}x + \numprint{4640}.}}$
 
\item %On désigne par $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $B'(x)$. 
		On a :\\
		$\boxed{\textcolor{red}{B'(x)=-2\times 3x^{2}+108\times 2x-\numprint{1560}=-6x^{2}+216x-\numprint{1560}}}$.
		
		\item %Vérifier que $B'(x) = (- 6x + 60)(x - 26)$.
		On a $(- 6x + 60)(x - 26)=-6x^{2}+156x+60x-\numprint{1560}=-6x^{2}+216x-\numprint{1560}=B'(x)$ donc \[\boxed{\textcolor{red}{B'(x)= (- 6x + 60)(x - 26)}}.\]
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [6~;~32]. 
		Pour étudier le signe de $B'(x)$, on étudie le signe de chaque facteur.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $-6x+60=0$ donne $x=10$.\\
On en déduit $-6x+60\geqslant 0$ pour $x\leqslant 10$ et $-6x+60\leqslant 0$ pour $x\geqslant 10$.

\item $x-26=0$ pour $x=26$.\\
$x-26\leqslant 0$ pour $x\leqslant 26$ et $x-26\geqslant 0$ pour $x\geqslant 26$.
\end{enumerate}
		\item %En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [6~;~32].
		Tableau de variation de $B$ :
		\begin{center}
\begin{variations}
x&6&&10&&26&&32\\
\hline
-6x+60&&+&\z&-&\l&-&\\
\hline
x-26&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
B'(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
B(x)&\h{-1264}&\d&-2160&\c&\h{1936}&\d&-224\\
\end{variations}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise? Donner le nombre de pièces à produire réalisant ce maximum. 
Le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise est \fbox{\textcolor{red}{\numprint{1936} \euro}}, pour la fabrication de \fbox{\textcolor{red}{\numprint{26000} objets}}.
\end{enumerate}

\end{multicols}

\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.00007cm}
\begin{pspicture}(-2,-5000)(33,115000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(-1.5,-5000)(33,115000)
\multido{\n=0+2}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,115000)}
\multido{\n=0+5000}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6}{32}{x 3 exp 2 mul x dup mul 108 mul sub 5040 x mul add 4640 sub}
\rput(30,95000){$y = C(x)$}
\psline[linecolor=red](6,21000)(32,112000)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](8,0)(8,30000)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](18,0)(18,63112)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](8,30000)(0,30000)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](6,21000)(0,0)

\end{pspicture}
\end{center}
%\end{landscape}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}  