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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale Mercatique : correction du contrôle (1 heure) (sujet A)}\\\footnotesize{\textcolor{red}{Taux d'évolution}}}\end{center}
\normalsize



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Le prix HT d'un véhicule est de \numprint{12150} \euro. \\
%Calculer son prix TTC sachant que le montant de la TVA est de 19,6\:\%.
Le coefficient multiplicateur est $C=1+\dfrac{19,6}{100}=1,196$ donc le prix TTC est $\numprint{12150}\times 1,196=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{14531,4} \text{\euro}}}$.

\subsection{}
En 2012, un service est facturé 481,50 \euro{} toutes taxes comprises (TTC).

\begin{enumerate}
\item %Calculer le prix hors taxes sachant que le taux de TVA est de 7\:\%..
Le coefficient multiplicateur associé est \\
$1+\dfrac{7}{100}=1,07$.\\
Si $x$ est le prix hors-taxes, on a $x\times 1,07=481,5$ donc le prix HT est $x=\dfrac{481,5}{1,07}=450$.

\item %Calculer le nouveau prix si le montant de la TVA passe à 10 \:\%.
Le nouveau prix est : \\
$450\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=450\times 1,1=495\text{~\euro}$
\end{enumerate}

\subsection{}
%Le nombre d'abonnés à une nouvelle revue a augmenté de 3\:\% la première année, puis de 7\:\% la deuxième année.\\
%Quel a été le taux global d'évolution sur les deux années ?
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{7}{100}\right)=1,03\times 1,07=\numprint{1,1021}$.\\
Le taux d'évolution global est \\
$T$ est: $T=C-1=\numprint{0,1021}$, soit \fbox{\textcolor{red}{10,21\:\%.}}.

\subsection{}
Un nombre subit quatre évolutions successives, de taux respectifs $t_{1}=5\:\%$, $t_{2}=-10\:\%$, $t_{3}=20\:\%$ et \\
$t_{4}=-15\:\%$.\\
%Calculer le taux moyen correspondant.
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)\\
=1,05\times 0,9\times 1,2\times 0,85=\numprint{0,9639}$.\\
Soit $t$ le taux moyen ; on a $(1+t)^{4}=\numprint{0,9639}$ donc \\
$t=0,9639^{\frac14}-1\approx -0,0091$, soit environ \fbox{\textcolor{red}{-0,91\:\%}}.

\subsection{}
Un objectif du gouvernement d'un pays est de baisser l'impôt sur le revenu de 30\:\% en cinq ans.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le taux de baisse annuel moyen est alors égal à environ 6,89\:\%.
Soit $t$ le taux annuel moyen. Le coefficient multiplicateur global est $(1+t)^{5}$ qui est aussi égal à $1-\dfrac{30}{100}=0,7$.\\
On en déduit $t=0,7^{\frac15}-1\approx -0,069$, donc environ $\boxed{\textcolor{red}{-0,69\:\%}}$.

\item La première année, cet impôt baisse de 5\:\%, la deuxième année, la baisse est de 1\:\% et la troisième année, elle est de 3\:\%.
\begin{enumerate}
 \item %Calculer le taux global de baisse de cet impôt à l'issue des trois premières années.
 Le coefficient global sur ces trois années est $C=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{1}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{3}{100}\right)=0,95\times 0,99\times 0,97=0,912285$.\\
 Le taux global  $T$ est tel que \\
 $T=C-1=-0,087715$, donc une baisse d'environ 8,77\:\%.

\item %Calculer alors le taux annuel moyen que doit appliquer le gouvernement au cours de deux dernières années pour que l'objectif soit atteint.
Soit $t$ le taux annuel moyen à appliquer sur les deux dernières années.\\
Le coefficient multiplicateur global est $0,912285\times (1+t)^{2}$, qui doit être égal à \\
$1-\dfrac{30}{100}=0,7$.\\
On en déduit $(1+t)^{2}=\dfrac{0,7}{0,912285}$ donc \\
$t=\sqrt{\dfrac{0,7}{0,912285}}-1\approx -0,124=\boxed{\textcolor{red}{-12,4\:\%}}$.\\
Il faut appliquer une baisse de 12,4\:\% chacune des deux dernières années pour arriver à une baisse de 30\:\% en cinq ans.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Le tableau suivant donne une estimation de la population mondiale en 1990, 2000 et 2010.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année&1990&2000&2010\\
\hline
Population (en milliards)&5,279&6,085&6,842\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
On donnera les taux en pourcentages, à 0,01\:\% près.

\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution de la population entre 1990 et 2010.
Le taux d'évolution de la population entre 1990 et 2010 est $\dfrac{6,842-5,279}{5,279}=0,296$, donc $\boxed{\textcolor{red}{29,6\:\%}}$.

\item %En déduire le taux d'évolution moyen \textbf{annuel} entre 1990 et 2010.
Soit $t$ le taux moyen annuel entre 1990 et 2010 ; on a alors $(1+t)^{20}=1.296$ (coefficient global) donc\\
$t=1.296^{\frac1{20}}-1\approx 0,013$, soit $\boxed{\textcolor{red}{1,03\:\%}}$.

\item %En supposant que ce taux moyen s'applique aux années suivantes, donner une estimation de la population en 2015.
On peut estimer qu'en 2015, la population sera $6.842\times \left(1+\dfrac{1,03}{100}\right)^{5}\approx 7,3$.\\
En 2015, la population sera environ égale à 7,3 milliards d'individus.

\end{enumerate}

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\setcounter{subsection}{0}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale Mercatique : correction du contrôle (1 heure) (sujet B)}\\\footnotesize{\textcolor{red}{Taux d'évolution}}}\end{center}
\normalsize



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Le prix HT d'un véhicule est de \numprint{16150} \euro. \\
%Calculer son prix TTC sachant que le montant de la TVA est de 19,6\:\%.
Le coefficient multiplicateur est $C=1+\dfrac{19,6}{100}=1,196$ donc le prix TTC est $\numprint{16150}\times 1,196=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{19315,4} \text{\euro}}}$.

\subsection{}
En 2012, un service est facturé 513,60 \euro{} toutes taxes comprises (TTC).

\begin{enumerate}
\item %Calculer le prix hors taxes sachant que le taux de TVA est de 7\:\%..
Le coefficient multiplicateur associé est \\
$1+\dfrac{7}{100}=1,07$.\\
Si $x$ est le prix hors-taxes, on a $x\times 1,07=513,6$ donc le prix HT est $x=\dfrac{513,6}{1,07}=480$.

\item %Calculer le nouveau prix si le montant de la TVA passe à 10 \:\%.
Le nouveau prix est : \\
$480\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=480\times 1,1=528\text{~\euro}$
\end{enumerate}

\subsection{}
%Le nombre d'abonnés à une nouvelle revue a augmenté de 3\:\% la première année, puis de 7\:\% la deuxième année.\\
%Quel a été le taux global d'évolution sur les deux années ?
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{8}{100}\right)=1,02\times 1,08=\numprint{1,1016}$.\\
Le taux d'évolution global est \\
$T$ est: $T=C-1=\numprint{0,1016}$, soit \fbox{\textcolor{red}{10,16\:\%.}}.

\subsection{}
Un nombre subit quatre évolutions successives, de taux respectifs $t_{1}=20\:\%$, $t_{2}=-15\:\%$, $t_{3}=5\:\%$ et \\
$t_{4}=-10\:\%$.\\
%Calculer le taux moyen correspondant.
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)\\
=1,2\times 0,85\times 1,05\times 0,9=\numprint{0,9639}$.\\
Soit $t$ le taux moyen ; on a $(1+t)^{4}=\numprint{0,9639}$ donc \\
$t=0,9639^{\frac14}-1\approx -0,0091$, soit environ \fbox{\textcolor{red}{-0,91\:\%}}.

\subsection{}
Un objectif du gouvernement d'un pays est de baisser l'impôt sur le revenu de 30\:\% en cinq ans.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le taux de baisse annuel moyen est alors égal à environ 6,89\:\%.
Soit $t$ le taux annuel moyen. Le coefficient multiplicateur global est $(1+t)^{5}$ qui est aussi égal à $1-\dfrac{30}{100}=0,7$.\\
On en déduit $t=0,7^{\frac15}-1\approx -0,069$, donc environ $\boxed{\textcolor{red}{-0,69\:\%}}$.

\item La première année, cet impôt baisse de 1\:\%, la deuxième année, la baisse est de 5\:\% et la troisième année, elle est de 3\:\%.
\begin{enumerate}
 \item %Calculer le taux global de baisse de cet impôt à l'issue des trois premières années.
 Le coefficient global sur ces trois années est $C=\left(1-\dfrac{1}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{5}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{3}{100}\right)=0,99\times 0,95\times 0,97=0,912285$.\\
 Le taux global  $T$ est tel que \\
 $T=C-1=-0,087715$, donc une baisse d'environ 8,77\:\%.

\item %Calculer alors le taux annuel moyen que doit appliquer le gouvernement au cours de deux dernières années pour que l'objectif soit atteint.
Soit $t$ le taux annuel moyen à appliquer sur les deux dernières années.\\
Le coefficient multiplicateur global est $0,912285\times (1+t)^{2}$, qui doit être égal à \\
$1-\dfrac{30}{100}=0,7$.\\
On en déduit $(1+t)^{2}=\dfrac{0,7}{0,912285}$ donc \\
$t=\sqrt{\dfrac{0,7}{0,912285}}-1\approx -0,124=\boxed{\textcolor{red}{-12,4\:\%}}$.\\
Il faut appliquer une baisse de 12,4\:\% chacune des deux dernières années pour arriver à une baisse de 30\:\% en cinq ans.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Le tableau suivant donne une estimation de la population mondiale en 1990, 2000 et 2010.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année&1990&2000&2010\\
\hline
Population (en milliards)&5,279&6,085&6,842\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
On donnera les taux en pourcentages, à 0,01\:\% près.

\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution de la population entre 1990 et 2010.
Le taux d'évolution de la population entre 1990 et 2010 est $\dfrac{6,842-5,279}{5,279}=0,296$, donc $\boxed{\textcolor{red}{29,6\:\%}}$.

\item %En déduire le taux d'évolution moyen \textbf{annuel} entre 1990 et 2010.
Soit $t$ le taux moyen annuel entre 1990 et 2010 ; on a alors $(1+t)^{20}=1.296$ (coefficient global) donc\\
$t=1.296^{\frac1{20}}-1\approx 0,013$, soit $\boxed{\textcolor{red}{1,03\:\%}}$.

\item %En supposant que ce taux moyen s'applique aux années suivantes, donner une estimation de la population en 2015.
On peut estimer qu'en 2015, la population sera $6.842\times \left(1+\dfrac{1,03}{100}\right)^{5}\approx 7,3$.\\
En 2015, la population sera environ égale à 7,3 milliards d'individus.

\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  