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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Résumé du cours sur la fonction exponentielle}}\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction dérivable $f$ sur $\mathbb{R}$, vérifiant les deux conditions suivantes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'=f$

\item $f(0)=1$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\noindent L'existence est \textbf{\textcolor{red}{admise}}.\\
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration de l'unicité}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item on admet que cette fonction ne s'annule pas (on pourra le montrer à l'issue du chapitre sur les compléments de la dérivation)

\item On raisonne par l'absurde : on suppose qu'il existe une autre fonction $g$, dérivable sur $\mathbb{R}$, vérifiant $g'=g$ et $g(0)=1$.\\
On pose $h=\dfrac{f}{g}$.\\
$h$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables.\\
$h'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{fg-fg}{g^2}=0$ (car $f'=f$ et $g'=g$).\\
On en déduit que $h$ est constante.\\
$h(0)=\dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{1}{1}=1$, donc, pour tout $x$, $h(x)=1$ d'où $f(x)=g(x)$.\\
Cela montre l'unicité de la fonction $f$.\\
Cette fonction est appelée exponentielle et on la note $\exp$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Étude de la fonction exponentielle :}}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque }}: on a admis que l'exponentielle ne s'annulait pas ; comme $\exp(0)=1>0$, on en déduit que $\exp$ est toujours positive : \\
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x)>0}}$

\subsubsection{\textcolor{blue}{Sens de variation :}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction exponentielle est croissante sur $\mathbb{R}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration : }}La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp'=\exp$, donc pour tout réel $x$, $\exp'(x)>0$ puisque $\exp(x)>0$.
\noindent
La fonction $\exp$ est donc croissante.
\noindent


\newpage

\begin{minipage}{9cm}
\subsubsection{\textcolor{blue}{Limites à l'infini}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0$
\end{bclogo}
\end{minipage}
\noindent
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :
\noindent
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\exp(x)-x$.
\noindent
$f$ est dérivable et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=\exp'(x)-1=\exp(x)-1$.
\noindent
$\exp$ est croissante et $\exp(0)=1$, donc, pour tout $x\geqslant 0$, $f'(x)\geqslant 0$.
\noindent
On en déduit que $f$ est croissante et comme $f(0)=\exp(0)-0=\exp(0)=1>0$ donc $f(x)>0$.
\noindent
Par conséquent : $f(x)>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x)>x}}$.
\noindent
Or $\lim_{x\rightarrow =\infty}x=+\infty$, donc, d'après ub théorème de comparaison (voir un chapitre ultérieur), $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty}}$.\\
($\exp(x)$ est supérieur à un terme qui tend vers $+\infty$, donc tend aussi vers $+\infty$)
\noindent

\noindent On peut montrer que, pour tout $x$, $\exp(x)\times \exp(-x)=1$ donc $\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$.
\noindent
En posant $X=-x$, donc $x=-X$, on a : $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\exp(-X)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\exp(X)}=0$.


\textbf{\textcolor{blue}{Conséquences :}}

\begin{enumerate}

\item Pour tout $a>0$, $\exp(a)>0$

\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp a=\exp b\Leftrightarrow a=b$.

\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp a< \exp b\Leftrightarrow a<b$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{Propriétés algébriques}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de l'opposé d'un réel :}}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\exp(-x)=\frac{1}{\exp x}$\
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent
On peut montrer (dans un chapitre ultérieur) que $\exp(x)\times \exp(-x)$ est une constante donc $\exp(x)\times \exp(-x)=1$ (en remplaçant $x$ par 0)  donc $\exp(-x)=\frac{1}{\exp x}$.
\noindent

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de la somme de deux réels:}}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}}
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\forall y\in\mathbb{R}$, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$.
\end{bclogo}
\end{minipage}
\noindent

%\bigskip
%
%\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
%\noindent
%Soit $y$ un réel quelconque fixé. On considère alors la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(x+y)$ (la variable est $x$).
%\noindent
%$f$ est dérivable, comme  composée de fonctions dérivables ; $\dfrac{1}{\exp(y)}$ est une constante.
%\noindent
%La dérivée de $x\mapsto \exp(x+y)$ est $x\mapsto 1\times \exp'(x+y)=\exp(x+y)$.
%$\forall x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(x+y)$ donc $f'=f$.
%\noindent
%$f(0)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(0=y)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(y)=1$.
%\noindent
%On en déduit que la fonction $f$ est la fonction exponentielle (unicité de la fonction vérifiant ces propriétés).
%\noindent
%Par conséquent : $f(x)=\exp(x)$ donc, pour tout $x$, $\dfrac{1}{\exp(y)}\exp(x+y)=\exp(x)$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)}}$
%\noindent
%
%\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on a vu dans le I que la seule fonction vérifiant cette relation fonctionnelle et $f(0)=1$ devait vérifier $f'=f$, donc était la fonction exponentielle (par unicité de la fonction vérifiant les deux conditions $f'=f$ et $f(0)=1$).

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de la différence de deux réels:}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous réels $x$ et $y$ : $\exp(x-y)=\frac{\exp x}{\exp y}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}} 
\noindent
$\exp(x-y)=\exp(x+(-y))=\exp(x)\times \exp(-y)=\exp(x)\times \frac{1}{\exp( y	)}=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\noindent

\textcolor{red}{Exemple :}
\noindent
Pour tout réel $x$, $\frac{\exp(2x+3)}{\exp(2x-1)}=\exp[(2x-3)-(2x-1)]=\exp 4$
\noindent

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle d'une somme de réels:}}
\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous réels $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, $\exp(x_1+x_2+...+x_n)=\exp(x_1)\times \exp(x_2)\times\dots\times \exp(x_n)$.\\
\noindent
\textbf{\textcolor{blue}{Écriture symbolique}} :
$\exp\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)=\prod_{i=1}^n\exp(x_i)$
\noindent
\end{bclogo}
\end{minipage}

$\Sigma$ signifie \og{}somme\fg{} et $\Pi$ \og{}produit\fg{}.
\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent
On démontre la propriété par \textbf{\textcolor{blue}{récurrence}} sur $n$.
\noindent
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : Pour $n=1$, il n'y a qu'un terme $x_{1}$ ; on a évidemment $\exp\left(x_{1}\right)=\exp\left(x_{1}\right)$ !

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un entier $n$ quelconque.
\noindent
$\exp\left(x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n}\right)=\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)$. Alors : \\
$\exp\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+x_{n+1}\right)=\exp\left[\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)+x_{n+1}\right]=\exp\left(\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)\right)\times \exp\left(x_{n+1}\right)$ (d'après la propriété fonctionnelle de l'exponentielle)
\noindent
$=\left[\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)\right]\times \exp\left(x_{n+1}\right)=\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)\times \exp\left(x_{n+1}\right)$. (c.q.f.d.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tout réel $x$, $\exp(nx)=(\exp (x))^n$.
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration : }}
\noindent
Lorsque $n>0$, on applique la propriété précédente en prenant tous les $x_i$ égaux à $x$.\\
Pour $n=0$, l'égalité est vérifiée.\\
Si $n<0$, $\exp(nx)=\exp((-n)(-x))=(\exp(-x))^{-n}=\left[\frac{1}{\exp x}\right]^{-n}=(\exp(x))^n$


\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Le nombre e ; la notation $\mathbf{e^x}$:}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$e=\exp(1)$.
\noindent
Valeur approchée : $e\approx \numprint{2.71828182845904523536028747135266249775724709369995}$.

\noindent Pour la plupart des exercices, il suffit d'utiliser $\mathrm{e}\approx 2,7$ ou $\mathrm{e}\approx 2;72$.

\noindent Remarque : $\mathrm{e}$ est, comme $\pi$, un nombre transcendant, c'est-à-dire solution d'aucune équation polynomiale, donc en particulier c'est un nombre non rationnel)
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Notation}}
Pour tout entier $n$, on a : $\exp(n)=\exp(n\times 1)=(\exp1)^n=e^n$ en utilisant la notation précédente.
\noindent
Plus généralement, on convient de noter $\exp (x)$ par $e^x$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Résumé des différentes propriétés avec cette notation:}}
\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Pour tous réels $x$, $y$ et tout entier relatif $n$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $e^0=1$

\item $e^x>0$

\item $e^{x+y}=e^x\times e^y$

\item $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$

\item $e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$

\item $(e^x)^n=e^{nx}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : cela ressemble aux règles de calculs sur les puissances vues au collège avec des exposants entiers (ce n'est pas un hasard !)

\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative avec les tangentes en 0 et 1}}



\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La tangente en 0 a pour coefficient directeur $\exp'(0)=\exp(0)=\mathrm{e}^{0}=1$.

\item La tangente en 1 a pour équation $y=exp'(1)(x-1)+\mathrm{e}^1=\mathrm{e}x$ ; cette tangente passe donc par l'origine.

\item Le fonction $\exp$ est croissante ; l'axe des abscisses est asymptote à $\mathscr{C}$ au voisinage de $-\infty$ puisque \\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$.

\item $\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\approx 2,7$ et $\mathrm{e}^2\approx 7,4$
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Courbe représentative de $\boldmath{\exp}$}}
\bigskip

\psset{xunit=1,yunit=1}
\begin{pspicture}(-6,-2)(3,12)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-5,0)(5,0)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,-1)(0,20)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,0)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dr](0,0){O}
\psaxes[Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt](0,0)(-4,0)(3,12)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](-5,-1)(3,12)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5}{2.4}{2.71828 x exp}
\psdots(1,2.71828)
\uput[l](0,2.71828){e}
\psline[linestyle=dashed](0,2.71828)(1,2.71828)
\psline[linestyle=dashed](1,2.71828)(1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-0.5,0.5)(0.5,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3,8,155)
\end{pspicture}
\end{center}


\label{fin}
\end{document}  