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\title{ \textcolor{red}{\textbf{\fbox{Rappels sur les suites :}}}}
\date{}
\pagestyle{fancy}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
\maketitle



\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Généralités}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite est une fonction définie sur l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels.\\
Si $u$ est le nom de la suite, l'image de $n$ par $u$ se note $u(n)$ (notation fonctionnelle) ou de manière plus usuelle $u_n$ (notation indicielle).\\
L'ensemble des termes de la suite se note alors $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{ Façons de définir une suite :}} 
Il existe essentiellement deux façons :\\
\begin{enumerate}[a)]
\item  \textcolor{blue}{\textbf{Suites définies par la donnée explicite de leurs termes :}}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Exemple :}} Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n=2n+1$.
On peut calculer chaque terme de manière explicite séparément les uns des 
autres.\\
De même, soit $(v_n)$ la suite définie par : $v_n=f(n)$ où $f(x) = x^2+5$.
On peut calculer chaque terme indépendamment les uns des autres.

\item \textcolor{blue}{\textbf{Suites définies par récurrence :}}\\
La suite est définie par la donnée d'un ou de plusieurs premiers termes et par une relation entre un terme et un ou plusieurs termes précédents.

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit la suite $(w_n)$ définie par : $\left\{\begin{array}{ccc}w_0&=&3\\w_{n+1}&=&4w_n+5\end{array}\right.$.\\
On a : $w_{1}=17$, $w_{2}=73$ \dots

\item \textbf{\textcolor{blue}{Suite de Fibonacci :}}\\
Soit la suite $\left(F_{n}\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}F_{0}=F_{1}=1\\F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}\end{array}\right.$.\\
On a : $F_{2}=2$, $F_{3}=3$, $F_{_{4}=5}$, $F_{5}=8$ \dots
\end{enumerate}
Pour calculer chaque terme, il faut avoir calculé les termes précédents.
\end{enumerate}

Pour ceux qui souhaitent en savoir davantage sur la suite de Fibonacci, cliquer \href{http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci}{ici}

\textcolor{red}{\textbf{Remarque :}} lorsqu'une suite est définie par récurrence, on essaye de 
se ramener à une formule explicite des termes, mais ce n'est pas toujours possible.





\subsubsection{\textcolor{blue}{Sens de variation :}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $(u_n)$ est croissante si et seulement si, pour tout n, $u_n\leqslant u_{n+1}$.\\
Une suite $(u_n)$ est décroissante si et seulement si, pour tout n, $u_n\geqslant  u_{n+1}$.\\
Une suite $(u_n)$ est constante si et seulement si, pour tout n, $u_n= u_{n+1}$.\\
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip

\fbox{\textbf{\textcolor{red}{Techniques d'étude : }}}\\
\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Technique fonctionnelle}} : elle s'applique lorsque la suite est fonctionnelle, c'est-à-dire lorsque l'on a $u_n=f(n)$. On étudie alors les variations de la fonction $f$. Si $f$ est croissante (décroissante), alors la suite est croissante (décroissante)\\
\textcolor{red}{Exemple : } : Le suite $(u_n)$ définie par : $u_n=n^2-6n+1$ est croissante pour $n\geq 3$.\\
En effet, la fonction $f:x\mapsto x^{2}-6x+1$ a pour dérivée : $f':x\mapsto 2x-6=2(x-3)$ et $f'(x)\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant 3$, donc $f$ est croissante sur $[3~;~\infty[$.


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcdanger]{\textcolor{red}{Attention}}
La réciproque est fausse : Exemple : La fonction $g(x)=\frac{\cos(2\pi x)}{x}$ n'est pas monotone, mais la suite $(u_n)$ définie par $u_n =g(n)=n$ est décroissante.
\end{bclogo}

\begin{center}\begin{pspicture}(-1,-9)(10,7)
\psset{yunit=3}
\psgrid[gridlabels=0](-1,-2.3)(10,1.6)
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%Courbe
\psplot[plotpoints=300,linecolor=red,linewidth=1pt]{0.2}{10}{360 x mul cos x div}
\psdots(1,1)(2,0.5)(3,0.333)(4,0.25)(5,0.2)(6,0.1666)(7,0.1428)(8,0.125)(9,0.11111)(10,0.1)
\psplot[linestyle=dashed]{1}{10}{1 x div}
\end{pspicture}\end{center}


\item \textbf{\textcolor{blue}{Techniques algébriques :}}
\begin{enumerate}
\item On étudie le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$.

\bigskip

Exemple : soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n+1}=u_{n }+n^2$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=n^2\geqslant 0$ donc $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

\item \og{}\textbf{\textcolor{blue}{Technique du quotient}}\fg{}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
On suppose que, pour tout $n$, $u_n>0$,\\
Si, pour tout $n$, le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{}$ est supérieur à 1, la suite est croissante ; s'il est compris entre 0 et 1, celle-ci est décroissante.
\end{bclogo}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} $\cfrac{u_{n+1}}{u_n}-1=\cfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}$ qui est du signe de $u_{n+1}-u_n$ puisque le dénominateur $u_n$ est positif pour tout $n$.

\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=2$ et $u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{n+1}$.\\
Que peut-on dire de cette suite ?\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Réponse :}} Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{n+1}>0$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

\vspace{1cm}
Il existe deux types de suites très simples et très courantes en mathématiques qui méritent donc d'être étudiés en détail ; ce sont les suites \textbf{\textcolor{red}{arithmétiques}} et les suites \textbf{\textcolor{red}{géométriques}}.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Suites arithmétiques :}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $(u_{n})$ est arithmétique s'il existe un nombre r, appelé raison de la suite, tel que, pour tout n, $u_{n+1}=u_{n}+r$.\\
On a alors : $u_{n+1}-u_{n}=r$ (la différence de deux termes consécutifs est constante)
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Terme général : $u_{n}=u_{0}+nr$\\
ou plus généralement : $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$ ($n\geqslant p$).\\
La suite est complètement déterminée si l'on connaÓt un terme et la raison.\\
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}  se fait par récurrence.\\

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Les suites arithmétiques sont les suites dont le terme général est de la forme : $u_n=an+b$, où $a$ et $b$ sont des constantes.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration : }}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique, $u_{n}=u_{0}+nr=an+b$ avec $a=r$ et $b=u_{0}$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Réciproque :}} soit $\left(u_{n}\right)$ avec $u_{n}=an+b$ ; on a : $u_{n+1}-u_{n}=a$ donc $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r=a$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ \textcolor{blue}{Somme de termes consécutifs : }}\\

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\sigma_{n}=1+2+3+\ldots+n$. Alors : $\sigma_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip


\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
On écrit $\sigma_{n}$ à l'endroit et à l'envers et on ajoute terme à terme :\\
$\sigma_{n}=1+2+3+\cdots+(n-1)+n$\\
$\sigma_{n}=n+(n-1)+\cdots+2+1$\\
Par somme : $2\sigma_{n}=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1)=n(n+1)$ (car il y a $n$ termes égaux à $n+1$).\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\sigma_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}}}$\\

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique.
$S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}=\sum_{i=0}^{i=n}u_{i}.$\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Première formule :}} $S_{n}=(n+1)u_{0}+r\frac{n(n+1)}{2}$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième formule :}} $S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Plus généralement :}} si $S=x+\ldots+y$ est la somme de p termes consécutifs d'une suite arithmétique, alors : $S=\frac{p(x+y)}{2}$  
(demi-somme des termes extrêmes $\times $ nombre de termes).

\end{enumerate}\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Première formule : \\
$S_{n}=u_{0}+(u_{0}+r)+(u_{0}+2r)+\cdots+(u_{0}+nr)=(n+1)u_{0}+r(1+2+3+\cdots+n)=(n+1)u_{0}+r\sigma_{n}\\
=(n+1)u_{0}+r\dfrac{n(n+1)}{2}$.

\item Deuxième formule : écrivons $S_{n}$ de deux façons différentes, une fois à l'endroit, une fois à l'envers :\\
$S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n-1}+u_{n}$\\
$S_{n}=u_{n}-+u_{n-1}+\cdots+u_{1}+u_{0}$.\\
En ajoutant terme à terme : \\
$2S_{n}+\left(u_{0}+u_{n}\right)+\left(u_{1}+u_{n-1}\right)+\cdots+\left(u_{p}+u_{n-p}\right)+\cdots+\left(u_{n}+u_{0}\right)$.\\
Or, pour tout $p$ : $u_{p}+u_{n-p}=\left(u_{0}+pr\right)+\left(u_{n}-pr\right)=u_{0}+u_{n}$.\\
On en déduit : $2S_{n}=(n+1)\left(u_{0}+u_{n}\right)$ (car il y a $(n+1)$ termes) donc $\boxed{\textcolor{red}{S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}}}$

\item $S=x+\cdots+y=x+(x+r)+(x+2r)+\cdots+x+(p-1)r$ (puisqu'il y a $p$ termes).
$S=y+(y-r)+(y-2r)+\cdots+y-(p-1)r)$ (en écrivant la somme à partir du dernier terme).\\
En effectuant la somme terme à terme, on obtient : $2S=(x+y)+(x+y)+\cdots+(x+y)=p(x+y)$ (puisqu'il y a $p$ termes) d'où : $S=\cfrac{p(x+y)}2$.\\


\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} calculer $S=100+102+\cdots+154$.\\
Ce sont les termes d'une suite arithmétique de raison $r=2$. Il y a 28 termes ($154=100+27\times 2)$.\\
Donc : $S=\cfrac{28(100+154)}2=\numprint{3556}$

\newpage
\item \textbf{\textcolor{red}{Variations :}}\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.\\
$(u_n)$ est croissante si, et seulement si, $r$ est positif.\\
$(u_n)$ est décroissante si, et seulement si, $r$ est négatif.\\
$\left(u_{n}\right)$ est constante si, et seulement si, $r=0$.
\end{bclogo}\end{minipage}\\

\textcolor{red}{Démonstration :} 
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=r$ d'où le résultat.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{ Suites géométriques:}}


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $(u_{n})$ est géométrique si et seulement s'il existe un nombre réel q appelé raison de la suite, tel que, pour tout entier naturel 
n : $u_{n+1}=qu_{n}$.\\
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Alors, pour tout n : $u_{n}=qu_{n-1}$ ou plus généralement : $u_{n}=u_{p}q^{n-p}$ pour $p\leqslant n$.\\
Une suite géométrique est entièrement déterminée par un terme et sa raison.\\
\end{bclogo}

La démonstration se fait par récurrence.\\

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
 Les suites géométriques sont les suites dont le terme général est de la forme $u_n=aq^n$, $a$ et $q$ étant des constantes.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est géométrique, $u_{n}=u_{0}q^n=aq_{n}$ avec $a=u_{0}$.\

\item \textbf{\textcolor{red}{Réciproque :}} Si $u_{n}=aq^n$, $u_{n+1}=aq^{n+1}$ donc $u_{n+1}=au_{n}$ : $\left(u_{n}\right)$ est bien géométrique, de raison $a$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{blue}{Somme de termes consécutifs :}}\\
\begin{minipage}{13cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $q$ un nombre. Posons $\sigma_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^n=\sum_{i=1}^nq^{i}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, $\sigma_{n}=(n+1)$.

\item si $q \neq1$, on a : $\sigma_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}\end{minipage}\\

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, c'est évident ; $S_{n}+1+1+\cdots+1=n+1$.

\item Si $q\neq 1$, on calcule $S_{n}$ et $qS_{n}$ et on soustrait :\\
$S_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^n$.\\
$qS_{n}=~~~q+q^2+q^3+\cdots+q^n+q^{n+1}$.\\
Alors : $S_{n}-qS_{n}=1-q^{n+1}$ (il ne reste que le premier terme de la première ligne et le dernier de la deuxième ligne).\\
D'où : $S_{n}(1-q)=1-q^{n+1}$ et : $\boxed{\textcolor{red}{S_{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison q ($q\neq1$).\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}=\sum_{i=0}^{i=n}u_{i}=u_{0}\frac{1-q^{n+1}} {1-q}$

\item Si $S = x+\ldots+y$ est la somme de p termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ($q\neq1$), alors : $\boxed{S=x\left(\frac{1-q^{p}}{1-q}\right)}$\\
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : \og{}\textbf{\textcolor{red}{problème de l'échiquier de Sissa}}\fg{}\\
En Inde, le roi Belkib (ou Bathait), qui s'ennuie à la cour, demande qu'on lui invente un jeu pour le distraire. Le sage Sissa invente alors un jeu d'échecs, ce qui ravit le roi. Pour remercier Sissa, le roi lui demande de choisir sa récompense, aussi fastueuse qu'elle puisse être.\\
La légende se situe environ 3000 ans avant J.C.

\bigskip

Sissa demanda au prince de déposer un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite pour remplir l'échiquier en doublant la quantité de grain à chaque case. \\
Le prince accorda immédiatement cette récompense sans se douter de ce qui allait suivre.\\
Son conseiller lui expliqua qu'il venait de précipiter le royaume dans la ruine car les récoltes de l'année ne suffiraient pas à payer Sissa.

\bigskip

L'échiquier contient 64 cases ; le nombre de grains double sur chaque case, donc on a les termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q=2$.\\
Le nombre total de grains est $1+q+q^2+\cdots+q^{63}=\dfrac{2^{64}-1}{2-1}=2^{64}-1\approx 18,56\times 10^{18}$ (18,45 milliards de milliards !), soit plus de 1000 ans de production mondiale de riz.\\
Il y a aussi une version avec des grains de blé.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Représentation graphique d'une suite définie par récurrence}}


\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=-1\\u_{n+1}=2\sqrt{u_{n}+4}\end{array}\right.$\\
On a $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ avec $f(x)=2\sqrt{x+4}$.\\
On représente la courbe $\mathscr{C}_{f}$ et la droite d'équation $y=x$ (première bissectrice).\\
Sur l'axe des abscisses, on place $u_{0}=-1$.\\
$u_{1}=f\left(u_{0}\right)$ ; à partir de $u_{0}$, on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses jusqu'à la courbe $\mathscr{C}_{f}$. L'ordonnée du point d'intersection est $u_{1}$.\\
On trace alors la droite parallèle à l'axe des abscisses à partir du point d'intersection précédent jusqu'à la bissectrice ; ce point a pour coordonnées $\left(u_{1~;~u_{1}}\right)$ ; on place alors sur l'axe des abscisses le nombre $u_{1}$.\\
On recommence à partir de $u_{1}$ \dots

\begin{center}
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\psset{xunit=2cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(7.1,7.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7} \def\ymin{-1} \def\ymax{7}
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\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(6.15275,6.37267)(0,6.37267)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,6.37267)(6.37267,6.37267)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,6.37267)(6.37267,6.37267)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.37267,6.37267)(6.37267,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(6.37267,6.37267)(6.37267,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.37267,0)(6.37267,6.44132)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(6.37267,0)(6.37267,6.44132)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.37267,6.44132)(0,6.44132)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(6.37267,6.44132)(0,6.44132)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,6.44132)(6.44132,6.44132)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,6.44132)(6.44132,6.44132)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.44132,6.44132)(6.44132,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(6.44132,6.44132)(6.44132,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.44132,0)(6.44132,6.4626)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(6.44132,0)(6.44132,6.4626)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.44132,6.4626)(0,6.4626)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(6.44132,6.4626)(0,6.4626)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,6.4626)(6.4626,6.4626)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,6.4626)(6.4626,6.4626)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.4626,6.4626)(6.4626,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(6.4626,6.4626)(6.4626,0)
\def\F{2 x 4 add sqrt mul}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.5}{7}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.5}{7}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[-90](-1,0){ $u_0$}
\uput[180](0,3.4641){ $u_1$}
\uput[-90](3.4641,0){ $u_1$}
\uput[180](0,5.4641){ $u_2$}
\uput[-90](5.4641,0){ $u_2$}
\uput[180](0,6.15275){ $u_3$}
\uput[-90](6.15275,0){ $u_3$}
\uput[180](0,6.37267){ $u_4$}
\uput[-90](6.37267,0){ $u_4$}
\uput[180](0,6.44132){ $u_5$}
\uput[-90](6.44132,0){ $u_5$}
\uput[180](0,6.4626){ $u_6$}
\uput[-90](6.4626,0){ $u_6$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\textbf{\textcolor{red}{Autre exemple }}: $\left\{\begin{array}{l}u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+8}{2u_n+1}\end{array}\right.$
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(4.1,4.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{4} \def\ymin{0} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(4.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,1.57142)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,1.57142)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,1.57142)(0,1.57142)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(3,1.57142)(0,1.57142)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.57142)(1.57142,1.57142)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,1.57142)(1.57142,1.57142)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.57142,1.57142)(1.57142,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.57142,1.57142)(1.57142,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.57142,0)(1.57142,2.31034)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.57142,0)(1.57142,2.31034)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.57142,2.31034)(0,2.31034)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.57142,2.31034)(0,2.31034)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.31034)(2.31034,2.31034)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,2.31034)(2.31034,2.31034)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.31034,2.31034)(2.31034,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.31034,2.31034)(2.31034,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.31034,0)(2.31034,1.83435)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.31034,0)(2.31034,1.83435)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.31034,1.83435)(0,1.83435)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.31034,1.83435)(0,1.83435)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.83435)(1.83435,1.83435)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,1.83435)(1.83435,1.83435)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.83435,1.83435)(1.83435,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.83435,1.83435)(1.83435,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.83435,0)(1.83435,2.10643)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.83435,0)(1.83435,2.10643)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.83435,2.10643)(0,2.10643)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.83435,2.10643)(0,2.10643)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.10643)(2.10643,2.10643)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,2.10643)(2.10643,2.10643)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.10643,2.10643)(2.10643,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.10643,2.10643)(2.10643,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.10643,0)(2.10643,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.10643,0)(2.10643,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.10643,1.93874)(0,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.10643,1.93874)(0,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.93874)(1.93874,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,1.93874)(1.93874,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.93874,1.93874)(1.93874,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.93874,1.93874)(1.93874,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.93874,0)(1.93874,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.93874,0)(1.93874,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.93874,2.03767)(0,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.93874,2.03767)(0,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.03767)(2.03767,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,2.03767)(2.03767,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.03767,2.03767)(2.03767,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.03767,2.03767)(2.03767,0)
\def\F{x 8 add 2 x mul 1 add div}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{6}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{6}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](1,0){ $u_0$}
\uput[180](0,3){ $u_1$}
\uput[-90](3,0){ $u_1$}
\uput[180](0,1.57142){ $u_2$}
\uput[-90](1.57142,0){ $u_2$}
\uput[180](0,2.31034){ $u_3$}
\uput[-90](2.31034,0){ $u_3$}
\uput[180](0,1.83435){ $u_4$}
\uput[-90](1.83435,0){ $u_4$}
\uput[180](0,2.10643){ $u_5$}
\uput[-90](2.10643,0){ $u_5$}
\uput[180](0,1.93874){ $u_6$}
\uput[-90](1.93874,0){ $u_6$}
\uput[180](0,2.03767){ $u_7$}
\uput[-90](2.03767,0){ $u_7$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On peut consulter la vidéo suivante : cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=6tzomETT2OM}{ici}
\subsection{\textcolor{red}{ Limites des suites :}}
\subsubsection{\textcolor{blue}{ Limite infinie :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Dire qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle ]A ; $+\infty$[ avec A réel contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.\\
On écrit alors : $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty$

\item Dire qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle ]$-\infty$ ; A[ avec A réel contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.\\
On écrit alors $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = -\infty$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}=n^{2}$. On a $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} soit $A>0$. Prenons $p=E(\sqrt{A})+1$, où $E(x)$ est la partie entière de $x$, définie par $E(x)=n$ pour $x\in[n~;~n+1]$, $n\in\mathbb{Z}$.\\
Alors $p^2>A$. Pour tout $n\geqslant p$, $u_{n}=n^2>p^2>A$ donc $u_{n}\in[A~;~+\infty[$.\\
D'après la définition, $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty$

\item  $u_{n}=-n^{3}$ : de même, $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}++\infty$
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Cas des suites croissantes non majorées}}
\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Dire qu'une suite u est majorée signifie qu'il existe un réel $M$ tel 
que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}\leqslant M$.

\item Dire qu'une suite u est minorée signifie qu'il existe un réel $m$ tel 
que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}\geqslant m$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} u est la suite définie sur N* par : $u_{n}=2+\frac{1}{n}$. u 
est minorée et majorée.\\

\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété :}}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Si u est une suite croissante non majorée, alors u tend vers 
$+\infty$.
\item Si u est une suite décroissante non minorée, alors u tend vers 
$-\infty$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration de (a) :}}\\
Soit A un réel quelconque. Comme u n'est pas majorée, il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geqslant p$, $u_{n}> A$.\\
La suite u est croissante, donc, pour tout $n\geqslant p$, $u_{n}\geqslant u_{p}$.\\
Alors, pour tout $n\geqslant p$, $u_{n}\in]A ; +\infty[$. \\
Ainsi, la suite tend vers $+\infty$.\\

\noindent Même démonstration pour (b)

\subsubsection{\textcolor{blue}{ Limite finie}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$\ell$ désigne un réel quelconque. Dire qu'une suite u a pour 
limite $\ell$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient 
tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.\\
On dit alors que la suite est convergente vers $\ell$.
\end{bclogo}


\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Notation et exemples :}}
On écrit : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $u_{n}=\dfrac{1}{n}$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : une suite qui n'est pas convergente est divergente.\\

\newpage


\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite divergente est  une suite non convergente.\\
Elle a une limite infinie \textbf{ou} n'a pas de limite.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple 1:}} u est la suite définie sur N* par : 
$u_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$\\

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite u est croissante.\\

\item Démontrer que pour $m\geqslant 1$, $u_{2m}-u_{m}\geqslant \frac{1}{2}$ [1]\\

\item  \'Ecrire l'inégalité [1] successivement pour $m = 1$, $m = 2$, $ m=4$, 
$m=8$, \ldots, $m=2^{n-1}$ puis additionner membre à membre ces 
inégalités.\\
En déduire que $u_{2^n}\geqslant 1+\frac{n}{2}$.
En déduire que la suite u n'est pas majorée et déterminer la 
limite de la suite u.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple 2 :}}\\
Que peut-on dire de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_n=(-1)^n$ ?\\
On peut montrer par l'absurde que cette suite n'a pas de limite.\\
Bien retenir cet exemple qui sert souvent de contre-exemple

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercice :}} Montrer qu'une suite convergente est bornée.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Solution}} :\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite qui converge vers une réel $\ell$.\\
Considérons par exemple l'intervalle $]\ell-1~;~\ell+1[$.\\
D'après la définition de la convergence, il existe un réel $A$ tel que, pour tout $n> A$, $u_{n}\in]\ell-1~;~\ell+1[$.\\
Les termes $u_{0}$, $u_{1}$, \dots, $u_{A}$ sont en nombre fini, donc bornés, par le plus petit et le plus grand d'entre eux.\\
Les termes $u_{n}$, pour $n>A$ sont bornés par $\ell-1$ et $\ell+1$.\\
On en déduit que la suite est bornée.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Unicité de la limite}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite convergente. Elle admet donc une limite $\ell$.\\
Cette limite est \textbf{unique}.
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :\\
Effectuons un raisonnement par l'absurde.\\
Supposons que la suite admette deux limites, $\ell$ et $\ell'$, avec $\ell<\ell'$.\\
Posons $h=\dfrac{\ell'-\ell}{3}$.\\
Puisque la suite converge vers $\ell$, il existe un entier $A$, tel que, pour tout $n>A$, $u_{n}\in]\ell-h~;~\ell+h[$.
La suite converge vers $\ell'$, donc il existe un entier $B$, tel que, pour tout $n>B$, $u_{n}\in]\ell'-h~;~\ell'+h[$.\\
Soit $C$ le maximum de $A$ et de $B$ : $C=Max(A~;~B)$.\\
Pour $n>C$, $u_{n}\in]\ell-h~;~\ell+h[\cap]\ell'-h~;~\ell'+h[$ ; or, ces deux intervalles sont disjoints.\\
En effet : $\ell'-h-(\ell+h)=\ell'-\ell-2h=\ell'-\ell-2\dfrac{\ell'-\ell}{3}=\dfrac{3(\ell'-\ell)-(\ell'-\ell)}{3}=\dfrac{\ell'-\ell}{3}>0$.\\
C'est impossible, donc l'hypothèse de départ est fausse.





\subsubsection{\textcolor{blue}{Théorème des gendarmes (admis)}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème des gendarmes}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Premier cas :}} Soit $(u_n)$ une suite qui tend vers $+\infty$. Soit une autre suite $(v_n)$. S'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $v_n\geq u_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=+\infty$.\\
On a une propriété analogue si la limite est $-\infty$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième cas :}} Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.\\
Si $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n=\ell$ et s'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration (hors-programme) :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Premier cas :}}\\
Soit $A>0$ un nombre quelconque.\\
$\left(u_{n}\right)$ tend vers $+\infty$, donc il existe un entier $q$ tel que, pour tout $n\geqslant p$, $u_{n}>A$.\\
Pour tout $n\geqslant p$, $v_{n}\geqslant u_{n}$.\\
Soit $r=\text{Max}(p~;~q)$. ($r$ est le plus grand des deux entiers $p$ et $q$).\\
Pour tout $n\geqslant r$, $A<u_{n}\leqslant v_{n}$ donc $v_{n}>A$.\\
La suite $\left(v_{n}\right)$ tend donc vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

\item 
\textbf{\textcolor{blue}{Deuxième cas :}}\\
Soit $I=]\ell-\alpha~;~\ell+\alpha[$ un intervalle quelconque centré sur $\ell$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell$ donc il exite un entier $q$ tel que, pour tout $n\geqslant q$, $u_{n}\in]\ell-\alpha~;~\ell+\alpha[$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}w_{n}=\ell$ donc il existe un entier $r$ tel que, pour tout $n\geqslant r$, $w_{n}\in]\ell-\alpha~;~\ell+\alpha[$.\\
On sait que, pour tout entier $n\geqslant p$, $u_{n}\leqslant v_{n}\leqslant w_{n}$.\\
Soit $s=\text{Max}(p~;~q~;~r)$.\\
Pour tout entier $n\geqslant s$, $\ell-\alpha\leqslant u_{n}\leqslant v_{n}\leqslant w_{n}\leqslant \ell+\alpha$, donc $w_{n}\in]\ell-\alpha~;~\ell+\alpha[$.\\
On en déduit que la suite $\left(w_{n}\right)$ a aussi pour limite $\ell$.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Théorèmes de comparaison}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{}
Soient deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si, à partir d'un certain rang, $u_n\leqslant v_n$ et si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty$.

\item Si, à partir d'un certain rang, $u_n\geqslant v_n$ et si $\lim_{n\rightarrow -\infty}u_n=+\infty$, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=-\infty$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : $v_n=n+(-1)^n$.\\
Pour tout $n$, $v_n\geqslant n-1$.\\
On pose $u_n=n-1$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ et, pour tout $n$, $u_n\leqslant v_n$, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Convergence monotone}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (admis):}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Une suite croissante et majorée par un nombre $M$ est convergente, donc a une limite finie $\ell$ (avec $\ell \leqslant M$).

\item Une suite décroissante et minorée par un nombre $m$ est convergente, donc a une limite finie $\ell$ (avec $\ell \geqslant M$).
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Opérations et limites}}

\begin{enumerate}[a)]
\item \textbf{\textcolor{red}{Addition ou soustraction}}\\
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $(u_n)$ a pour limite&$\ell$&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$\\
\hline
Si $(v_n)$ a pour limite&$\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$\\
\hline
alors $(u_n+v_n)$ a pour limite&$\ell+\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}



\item \textbf{\textcolor{red}{Produit}}\\
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $(u_n)$ a pour limite&$\ell$&$\ell>0$&$\ell<0$&$\ell>0$&$\ell<0$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&0\\
\hline
Si $(v_n)$ a pour limite&$\ell'$&$+\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$&$\pm\infty$\\
\hline
alors $(u_n\times v_n)$ a pour limite&$\ell\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$-\infty$&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}

\item \textbf{\textcolor{red}{Quotient}}\\
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $(u_n)$ a pour limite&$\ell$&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&0&$\pm \infty$&0&$\pm \infty$\\
\hline
Si $(v_n)$ a pour limite&$\ell\neq 0'$&$\pm\infty$&0&$\ell'$&$\pm\infty$&0&0&$\pm\infty$\\
\hline
alors $\left(\dfrac{u_n}{ v_{n}}\right)$ a pour limite&$\frac{\ell}{\ell'}$&0&$\pm\infty$ si elle existe&$\pm\infty$&0&$\pm\infty$&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}&\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace{1cm}\\
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Les formes indéterminées sont : $\og{} \infty-\infty$~;~$ 0\times \infty$ ~;~ $\frac{0}{0}$ ~;~ $\frac{\infty}{\infty}\fg$.

\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Limites et puissances}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $q>1$ ; alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}q^n=+\infty$

\item Soit $q\in]-1~;~1[$, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}q^n=0$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $a>0$ un réel.  Démontrons par récurrence que, pour tout $n$, $(1+a)^n\geqslant 1+na$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Pour $n=0$ : $(1+a)^0=1$ et $1+na=1+0a=1$ donc c'est vrai au rang $n=0$

\item On suppose que c'est vrai pour un rang $n$ quelconque, donc $(1+a)^n\geqslant 1+na$.\\
Alors : $(1+a)^{n+1}=(1+a)^{n}(1+a)\geqslant (1+na)(1+a)=1+a+na+na^{2}=1+(n+1)a+na^{2}\geqslant 1+(n+1)a$ car $na^{2}>0$.\\
La propriété est vraie au rang $n+1$, donc héréditaire.\\
Elle est donc vraie pour tout $n$.
\end{enumerate}

\item Soit $q>1$. Il existe $a$ tel que $q=1+a$.\\
Alors $q^{n}=(1+a)^{n}\geqslant 1+na$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}(1+na)=+\infty$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}q^{n}=+\infty$

\item Si $q=0$, c'est évident\\
Si $0<q<1$, on pose $Q=\dfrac{1}{q}>1$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}q^{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{Q}\right)^{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{Q^{n}}\right)=0$ d'après ce qui précède.\\
Si $-1<q<0$, $q=-Q$ avec $0<Q<1$ et on applique ce qui précède.
\end{enumerate}


\subsection{\textbf{\textcolor{red}{Théorème de convergence :}}}
\noindent \begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème admis}}
\begin{itemize}
\item Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
\item Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.
\end {itemize}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 1}} : dans la feuille d'exercices sur les suites arithmétiques, on a étudié la suuite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2u_n+1}$.\\
On a montré que $0\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{3}$ et que cette suite est décroissante.\\
On en déduit qu'elle est convergente vers un réel $\ell$ compris entre 0 et $\dfrac{1}{3}$.\\
On peut montrer avec un théorème que l'on verra plus tard que $\ell = 0$.
\bigskip


\textbf{ \textcolor{blue}{Exemple 2 : Constante de Champernowne}}.\\
On construit un nombre, obtenu, en égrenant, après la virgule, la suite des nombres entiers.\\
On obtient successivement $u_1:0,1$, $u_2=0,12$, $u_3=0,123$, \dots, $u_9=\numprint{0,123456789}$, $u_{10}=0,12345678910$, $\numprint{0,12345678910111213141516}\dots$.\\
On obtient une suite croissante (évident puisqu'on ajoute des décimales aux précédentes), majorée par exemple par 2, donc cette suite converge.\\
C'est la limite qu'on appelle constante de Champernowne, introduite par ce mathématicien en 1933.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 3 :}} 
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_{0}=2$ et $u_{n}=2,\underbrace{4848\cdots48}_{\small{n\text{ groupes }48}}$ pour $n\geqslant 1$.\\
Il est clair que cette suite est croissante, majorée par 3 (ou 2,5), donc elle est convergente vers une limite réelle $\ell$, avec $\ell=2,48484848484848\cdots$.\\
Essayons de trouver une \textbf{\textcolor{red}{expression rationnelle}} de $\ell$.\\
%On a : $u_{n}=2+\dfrac{48}{100}+\dfrac{48}{1000}+\cdots+\dfrac{48}{10^{2n}}=2+48\times \left(\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^4}+\dfrac{1}{10^6}+\cdots+\dfrac{1}{10^{2n}}\right)\\
%=2+48\times \left[\left(\dfrac{1}{10^2}\right)+\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^3+\cdots+\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^n\right]$.\\
%
%On reconnaît la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.\\
%On en déduit : $u_{n}=2+48\times \dfrac{1}{10^2}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{10^2}}=2+48\times \dfrac{1}{100}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^n}{\dfrac{99}{100}}=2+48\times \dfrac{1}{100}\times \dfrac{100}{99}\left(1-\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^n\right)$.\\
%Comme $-1<\dfrac{1}{10^2}<1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{10^2}\right)^n=0$.\\
%On en déduit : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell=2+48\times \dfrac{1}{99}=\dfrac{2\times 99+48}{99}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{246}{99}}}$.

Notons $\alpha=2,48484848\cdots$ (avec une infinité de périodes 48).\\
Il est clair que $100\alpha=248,484848\cdots=246+\alpha$.\\
On en déduit : $100\alpha=246+\alpha\Leftrightarrow 99\alpha=246$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\alpha=\dfrac{246}{99}}}$
\label{fin}
\end{document} 