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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{blue}{Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques}}\end{center}


%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\section{\textcolor{red}{Suites arithmétiques}}

\subsection{}
Parmi ces suites, lesquelles sont arithmétiques ?

\begin{enumerate}[a)]
\item $\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1} +u_n =1\end{cases}$

\item $\begin{cases}u_0=3\\u_{n} -u_{n-1} =4\end{cases}$
\end{enumerate}

\subsection{}
$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$.

\begin{enumerate}
\item On sait que $u_0 =2$ et $r=-3$.\\
Calculer $u_{10}$, $u_{20}$,$u_{100}$.

\item On sait que $u_0 =2$ et $u_1 =5$.Calculer $r$ et $u_2$ et $u_5$.

\item Sachant que $u_{20} = -52$ et $u_{51} = -145$ , calculer $u_0$ puis donner l'expression du terme général $u_n$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Quels sont les triangles rectangles dont les trois côtés sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique.

\subsection{}
Albert place un capital initial $C_0 = \numprint{3000}$ \euro{}  à un taux annuel de 6\:\%, les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6\:\% du capital \textbf{initial} (les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, comme ce serait le cas pour des intérêts composés).\\
On note $C_n$ le capital d’Albert au bout de $n$ années, capital exprimé en euros.

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier n, $C_{n +1} = C_n + 180$ . Qu’en déduit-on ?

\item Pour tout entier $n$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$.

\item De quel capital Albert dispose-t-il au bout de 10 ans ?

\item Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé ?

\item Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il 10000 \euro{}  ?

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item En reconnaissant la somme des termes d'une suite arithmétique, calculer \[S_1 = \dfrac{1}{3}++\dfrac{5}{3}+\cdots+\dfrac{19}{3}+7.\]

\item Calculer $S_2 = 5+2-1-4-7\cdots-34$.

\item Calculer la somme des entiers multiples de 7 qui sont plus grands que 100 et plus petits que \numprint{1000}.

\end{enumerate}

\newpage


\section{\textcolor{red}{Suites géométriques}}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Parmi ces suites, lesquelles sont géométriques ?
\begin{enumerate}[a)]
\item $\begin{cases}u_0=7\\u_{n+1}=u_n^2\end{cases}$

\item $\begin{cases}u_0=100\\u_{n+1}=u_n+\dfrac{3}{20}u_n\end{cases}$
\end{enumerate}

\subsection{}
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q$.

\begin{enumerate}
\item On sait que $u_0 =32$ et $q=\dfrac{1}{4}$.Calculer $u_2$, $u_3$, $u_5$, $u_8$.

\item On sait que $u_1=\dfrac{1}{125}$ et $q=5$.\\
Calculer $u_0$ et $u_5$.

\item On sait que $u_0=3$ et $u_2=3$.\\

\end{enumerate}

\subsection{}
Montrer que ces suites sont géométriques, et préciser leur raison et leur premier terme.

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n=(-4)^{2n+1}$

\item $v_n=2^n\times \dfrac{1}{3^{n+1}}$

\item $w_n=(-1)^n\times 2^{3n+1}$
\end{enumerate}

\subsection{}
En reconnaissant la somme des termes d'une suite géométrique, calculer :

\begin{enumerate}
\item $18+54+162+\cdots+\numprint{39366}$

\item $\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\cdots-\dfrac{1}{\numprint{1048576}}$.

\item $\sqrt{2}-2+2\sqrt{2}\cdots-64+64\sqrt{2}-128$

\item $2^7 +2^8 +2^9 +\cdots+2^{21}$

\end{enumerate}

\subsection{}
On suppose que chaque année la production d'une usine subit une baisse de 4\:\%. Au cours de l'année 2000, la production a été de \numprint{25000} unités.\\
On note $P_0 = \numprint{25000}$ et $P_n$ la production prévue au cours de l'année 2000 + $n$.

\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.

\item Calculer $P_5$.

\item Si la production descend au dessous de \numprint{15000} unités, l’usine sera en faillite, quand cela risque-t-il d’arriver si la baisse de 4\:\% par an persiste ? La réponse sera recherchée par expérimentation avec la calculatrice.

\end{enumerate}

\subsection{}
La location annuelle initiale d'une maison se monte à \numprint{7000} \euro{} . Le locataire s'engage à louer durant 7 années complètes. Le propriétaire lui propose deux contrats :

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Contrat \no 1}}\\
Le locataire accepte chaque année une augmentation de 5 \:\% du loyer de l'année précédente

\begin{enumerate}
\item Si $u_1$ est le loyer initial de la 1ère année, exprimer le loyer $u_n$ de la $n$\ieme{} année en fonction de $n$

\item Calculer le loyer de la 7\ieme{} année.

\item Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation.

\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Contrat \no 2}}\\
Le locataire accepte chaque année une augmentation forfaitaire de 400 \euro{} 

\begin{enumerate}
\item Si $v_1$ est le loyer initial de la 1\iere{} année, exprimer le loyer $v_n$ de la n\ieme{} année en fonction de $n$.

\item Calculer le loyer de la 7\ieme{} année.

\item Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation

\end{enumerate}

\item \textbf{Conclure} : quel contrat est le plus avantageux ?
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  