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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité de Terminale : correction du contrôle sur les limites}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(Question de cours : 2 points)}}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. \\
%Rappeler ce que veut dire : \og{} $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$\fg{}.
$f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ peut prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut sur $x$ suffisamment grand.\\
Mathématiquement : $\forall A\in\mathbb{R}$, $\exists x_0\in\mathbb{R}$, $x>x_0\Rightarrow f(x)>A$.

\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}
Calculer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[a) ]
\item $f:x\mapsto x^2-5x+3$ définie sur $\mathbb{R}$.\\
On a une forme indéterminée pour la limite en $-\infty$.\\
Pour $x\neq 0$, $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm \infty}x^2=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)=1$ donc, par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=+\infty}}$.

\item $f:x\mapsto \dfrac{x^2-5x+9}{x}$ (définie sur $\mathbb{R}^*$)\\
On a une forme indéterminée car le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l'infini à l'infini.\\
$\dfrac{x^2-5x+9}{x}=\dfrac{x^2\left(1-\frac5x+\frac9{x^2}\right)}{x}=x\left(1-\frac5x+\frac9{x^2}\right)$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}x=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1-\frac5x+\frac9{x^2}\right)=1$ donc, par produit, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$.

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\frac5x+\frac9{x^2}\right)=1$ donc, par produit, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.
\end{enumerate}

\item $f:x\mapsto \dfrac{x^2+3x+5}{3x^2+1}$ définie sur $\mathbb{R}$.\\
On a encore une forme indéterminée.\\
Pour $x\neq 0$, $f(x)=\dfrac{x^2\left(1-\frac3x+\frac5{x^2}\right)}{x^2\left(3+\frac1{x^2}\right)}=\dfrac{1-\frac3x+\frac5{x^2}}{3+\frac1{x^2}}$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1-\frac3x+\frac5{x^2}\right)=1$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(3+\frac1{x^2}\right)$, donc, par quotient : $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~2[ \cup ]2~;~+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{-3x+1}{x-2}$.\\
On se propose d'étudier la limite de $f(x)$ en 2.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Que vaut $\lim_{x\rightarrow 2}(-3x+1)$ ?

$\lim_{x\rightarrow 2}(-3x+1)=\boxed{\textcolor{red}{-5}}$

\item %Que vaut $\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)$ ?
$\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$
\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item %Dresser le tableau de signes de $x-2$.
Tableau de signes :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&2&&\pI\\
\hline
x-2&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}f(x)$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}f(x)$
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}f(x)=+\infty}}$ car le numérateur et le dénominateur sont négatifs.\\
De même : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}f(x)=-\infty}}$ car le numéérateur est négatif et le dénominateur positif.
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}

\begin{enumerate}
\item %Trouver l'expression d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que : \[\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=5\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=5.\]
On cherche l'expression d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que : \[\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=5\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=5.\]
Il faut trouver une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et tendant vers 5 à l'infini.\\
Voilà deux exemples possibles : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=5$ (fonction constante).

\item $f(x)=5+\dfrac{1}{x^2+1}$, qui est bien définie sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Trouver l'expression d'une fonction dont le tableau de variation est donné ci-dessous par :
Trouvons l'expression d'une fonction dont le tableau de variation est donné ci-dessous par :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&2&&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{1}&\d&\mI&\bb&\mI&\c&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

On peut prendre par exemple : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=1-\dfrac{1}{(x-2)^2}}}$.

\item %Le courbe représentative de cette fonction. Admet-elle des asymptotes ?\\
%Si oui, lesquelles ?
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=1$ donc la courbe admet la droite d'équation $y=1$ comme asymptote.\\
$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=-\infty$ donc la courbe admet la droite d'équation $x=2$ comme asymptote.\\
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}=]-\infty~;~1[ \cup ]1~;~+\infty[$ par : 
\[f(x)=\dfrac{x^2-7x+10}{x-2}\]

\begin{enumerate}
\item Juliette affirme que, puisque 2 est une valeur interdite, la droite d'équation $x=2$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.\\
%A-t-elle raison ?
Cela ne suffit pas. avoir une valeur interdite est nécessaire, mais il faut de plus que la limite en cette valeur soit infinie.

\item %Montrer que $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Première façon : $\Delta=(-7)^2-4\times 1\times 10=9>0$ donc ce trinôme du second degré a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7-3}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{7+3}{2}=5$ donc $x^2-7x+10=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=\boxed{\textcolor{red}{(x-2)(x-5)}}$.

\item Deuxième façon : $(x-2)(x-5)=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x^2-7x+10=8(x-2)(x-5)}}$.
\end{enumerate}

\item %En déduire $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)$ et commenter alors la réponse de Juliette.
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque }}: la question 2. N'est pas là par hasard ; le résultat de la factorisation sert sans doute à quelque chose !\\
On en déduit que, pour $x\neq 2$, $\dfrac{x^2-7x+10}{-2}=\dfrac{(x-2)(x-5)}{-2}=x-5$ donc \\
$\lim_{x\rightarrow 2}\left(\dfrac{x^2-7x+10}{x-2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 2}(x-5)=-3}}$.\\
La courbe n'admet donc pas d'asymptote en $x=3$. Juliette avait tort.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(12,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-4)(12,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-5,-4)(12,8)
\psbezier[linewidth=2pt](-4,-3)(-3.5,-1)(-4,0)(-3,1)
\psbezier[linewidth=2pt](-3,1)(-2,2)(1,3)(2,3)
\psbezier[linewidth=2pt](2,3)(3,3)(3,1)(5,1)
\psbezier[linewidth=2pt](5,1)(6,1)(7,1)(8,4)
\psbezier[linewidth=2pt](8,4)(9,7)(10,5)(11,6)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(-4,0)(-2,2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(4,1)(6,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(1,3)(3,3)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(7,1)(9,7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-4,-3)(-3,1)(2,3)(5,1)(8,4)
%\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](10,5.8){$\mathscr{C}$}
\uput[u](-3,1){A}\uput[u](2,3){B}\uput[u](5,1){C}\uput[dr](8,4){D}
\end{pspicture}
\end{center}

Par définition, $f'(a)$ est le \textbf{\textcolor{red}{coefficient directeur}} de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse a.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La tangente en A  a pour coefficient directeur 1, puisqu'elle passe par les points A de coordonnées (-3~;~1) et le point de cordonnées $(-2~;~2)$, donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(-3)=1}}$.

\item En B, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(2)=0}}$.

\item De même, $\boxed{\textcolor{red}{f'(5)=0}}$.

\item En $D$, la tangente à $\mathscr{C}$ a pour coefficient directeur 3, donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(8)=3}}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
Pour les fonctions suivantes, donner l'expression de leur dérivée.

\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^7$ sur $\mathbb{R}$. $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=7x^6}}$

\item $g(x)=\sqrt{x}$ pour $x>0$. $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}$

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^5}$ sur $\mathbb{R}^*$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{5}{x^6}}}$
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  