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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité de Terminale : correction du devoir sur feuille \no 2}}\end{center}


\subsection{}%TES Amérique du Nord juin 2017
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En juin 2017, on peut estimer qu'il y aura $\np{27500}-150=\boxed{\textcolor{red}{\np{27350}}}$ étudiants dans cette université.
		\item À la rentrée de septembre 2017, il y aura à la suite de l'augmentation de 4\,\% :  
		
$1,04\times \np{27350}=\boxed{\textcolor{red}{\np{28444}}}$ étudiants.
		\end{enumerate}
		
\item  Soit $u_n$ le nombre d'étudiants en septembre de l'année 2016+n. \\
En juin de l'année suivante (année $(n+1)$), 150 étudiants auront démissionné, pour un reste de $u_n-150$. Puis à la rentrée de septembre de l'année $(n+1)$, le nombre d'étudiants aura subi une augmentation de 4\,\%, soit\\$1,04\times (u_n-150)=1,04\times u_n -156$. 

Donc en septembre de l'année $(n+1)$ il y aura $1,04u_n-156$ étudiants,
 soit pour tout entier naturel $n$, 
\[\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1} = 1,04u_n - 156}}.\]
 
\item  On complète les lignes L5, L6, L7 et L9 de l'algorithme suivant afin qu'il donne l'année à partir de laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{l l X}
L1& Variables : &$n$ est un nombre entier naturel\\
L2& 			&$U$ est un nombre réel\\
L3& Traitement :&$n$ prend la valeur 0\\
L4& 			&$U$ prend la valeur \np{27500}\\
L5& 			&Tant que $U \leqslant \red{\np{33000}}$ faire\\
L6& 			&$n$ prend la valeur $\red n+1$\\
L7& 			&$U$ prend la valeur $\red 1,04\times U-156$\\
L8& 			&Fin Tant que\\
L9& Sortie: &Afficher $\red 2016 + n$
\end{tabularx}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On fait fonctionner cet algorithme pas à pas:
		
%Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes; on arrondira les valeurs de $U$ à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
&Initialisation &\small \small Étape 1 &\small Étape 2&\small Étape 3 &\small Étape 4&\small Étape 5&\small Étape 6\\ \hline
Valeur de $n$& 0 &1&2&3&4&5&6\\ \hline
Valeur de $U$& \np{27500}&\np{28444}&\np{29426}&\np{30447}&\np{31509}&\np{32613}&\np{33762}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item La valeur affichée en sortie de cet algorithme est : $\boxed{\textcolor{red}{2016+6}}$, donc 2022.
	\end{enumerate}
\item  On cherche à calculer explicitement le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
	
Pour cela, on note $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - \np{3900}$.
	\begin{enumerate}
		\item  
		$v_{n+1}=u_{n+1}-\np{3900} = 1,04\times u_n-156- \np{3900} = 1,04\times u_n-\np{4056} = 1,04(u_n-\np{3900})$
		
		$\phantom{v_{n+1}} =\boxed{\textcolor{red}{1,04v_n}}$.
		
La suite $(v_n)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $1,04$ et de premier terme 

$v_0=\np{27500} - \np{3900} = \np{23600}$.
		\item Donc pour tout entier $n$, $v_n=v_0\times q^n=\np{23600} \times 1,04^n$.
		
De plus, On a $u_n=v_n+3900$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\np{3900} + \np{23600} \times 1,04^n}}$

		\item La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de $q=1,04$. $q=1,04>1$ donc la limite de la suite $(v_n)$ quand $n$ tend vers  $+\infty$ est égale à $+\infty$. Donc la limite de la suite $(u_n)$ quand $n$ tend vers  $+\infty$ est aussi égale à $+\infty$. 
		
		Le nombre d'étudiants de cette université ne se stabilisera jamais, et continuera à augmenter à l'infini dépassant toute limite de capacité que l'on souhaiterait imposer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsection{}
On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :
\[\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}\end{cases}\text{ et }\begin{cases}v_0=2\\v_{n+1}=\dfrac{2u_n+3v_n}{5}\end{cases}.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ , $v_1$ , $u_2$ et $v_2$.
$u_1=\dfrac{3\times 1+2\times 2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{5}}}$ ; $v_1=\dfrac{2\times 1+3\times 2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{8}{5}}}$.\\
$u_2=\dfrac{3\times \frac75+2\times \frac85}{5}=\dfrac{\frac{37}5}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{37}{25}}}$ ; $v_2=\dfrac{2\times \frac75+3\times \frac85}{5}=\dfrac{\frac{38}5}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{38}{25}}}$

\item On considère la suite $\left(d_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $d_n=v_n-u_n$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(d_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera sa raison et son premier terme.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $d_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3v_n}{5}-\dfrac{3u_n+2v_n}{5}=\dfrac{2u_n+3v_n-3u_n-2v_n}{5}=\dfrac{-u_n+v_n}{5}=\dfrac{v_n-u_n}{5}=\dfrac{1}{5}\left(v_n-u_n\right)=\dfrac{1}{5}d_n$.\\
$\forall n\in\mathbb{N}$, $d_{n+1}=\dfrac{1}{5}d_n$ donc la suite $\left(d_n\right)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{5}$ et de premier terme \\
$d_0=v_0-u-0=2-1=1$.

\item %En déduire l’expression de $d_n$ en fonction de $n$.
$\forall n\in\mathbb{N}$, $d_n=d_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}}$ (puisque c'est une suite géométrique)
\end{enumerate}

\item On considère la suite $\left(s_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $s_n=u_n+v_n$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $s_0$ , $s_1$ et $s_2$ . Que peut-on conjecturer ?
$s_0=\boxed{\textcolor{red}{3}}$ : $s_1=\dfrac{7}{5}+\dfrac{8}{5}=\dfrac{15}{5}=\boxed{\textcolor{red}{3}}$ ; $s_2=\dfrac{37}{25}+\dfrac{38}{25}=\dfrac{75}{25}=\boxed{\textcolor{red}{3}}$.\\
On peut conjecturer que la suite $\left(s_n\right)$ est constante.

\item %Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $s_{n+1}=s_n$. Qu’en déduit-on ?
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $s_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}+\dfrac{2u_n+3v_n}{5}=\dfrac{5u_n+5v_n}{5}=\dfrac{5\left(u_n+v_n\right)}{5}\\
=u_n+v_n=\boxed{\textcolor{red}{s_n}}$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $s_{n+1}=s_n$ donc la suite $\left(s_n\right)$ est constante.\\
$s_0=3$ donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{s_n=3}}$.
\end{enumerate}

\item %En déduire une expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
$\begin{cases}d_n=v_n-u_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n\\s_n=v_n+u_n=3\end{cases}$.\\
Par somme des deux lignes, on trouve $2v_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^n+3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=\dfrac{1}{2}\left(3+\left(\dfrac{1}{5}\right)^n\right)}}$.\\
Par différence des deux lignes, on trouve : $2u_n=3-\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{1}{2}\left(3-\left(\dfrac{1}{5}\right)^n\right)}}$.

\item Déterminer, en fonction de $n\in\mathbb{N}$ :
\begin{enumerate}
\item $T_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$.\\
On a $u_n=\dfrac{1}{2}\left(3-q^n\right)$ avec $q=\dfrac{1}{5}$\\
On a alors : $T_n=\dfrac{1}{2}\left[\left(3-q^0\right)+\left(3-q^1\right)+\left(3-q^2\right)+\cdots+\left(3-q^n\right)\right]=\dfrac{1}{2}\left[3(n+1)-\left(1+q+q^2+\cdots+q^n\right)\right)$.\\
Or $1+q+q^2-\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac{1-\left(\frac15\right)^{n+1}}{1-\frac15}=\dfrac{5}{4} \left(1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}\right)$
D'où : \[\boxed{\textcolor{red}{T_n=\dfrac{1}{2}\left[3(n+1)-\dfrac{5}{4}\left(1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}\right)\right]}}\]

\item De même $W_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$ donne :
\[\boxed{\textcolor{red}{W_n=\dfrac{1}{2}\left[3(n+1)+\dfrac{5}{4}\left(1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}\right)\right]}}\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}





\subsection{\textcolor{blue}{D'après le livre CQFD 1\iere{}}}
Dans un lointain futur, sur la planète Thêta, vivent Horion et Apolline au sein d’une colonie d’humains, gouvernée avec bienveillance par une I.A. Mais tout n’est pas si paisible sur la planète Thêta\dots
\og{}Le tapis est mité\fg{} constate Horion.\og{}Tu pourrais au moins
cacher ta joie\fg{} s’emporte Apolline qui adorait son tapis laineux.\\
Le tapis carré de 1 m de côté, ravissant, selon les goûts d’Apolline, hideux selon les critères d’Horion, est effectivement attaqué par des mites.
\og{}Il s’agit de mites de l’espèce Waclaw\fg{}, croit bon de préciser l’I.A. à qui personne n’avait rien demandé, exaspérant davantage Apolline.\\
Les mites ont leur stratégie ; le premier jour, elles s’attaquent à la partie centrale du tapis : si on partage le tapis
carré en 9 carrés de même aire, les mites mangent le carré central. Le second jour, elles s’attaquent de la même
manière aux 8 carrés autour du carré manquant, et ainsi de suite pour les autres jours.\\
(Remarque : la figure \og{}limite\fg{} qu'on obtient ainsi d'appelle le \og{}tapis de Sierpinski\fg{}, du nom du mathématicien polonais Waclaw Franciszek Sierpinski 1882-1961)



\begin{center}
\begin{multicols}{3}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{1 cm}

\psset{unit=0.25,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.81,-9.24)(12,3.94)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=1](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)(11.48,3.6)(1.48,3.6)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.813333333333334,0.26666666666666383)(8.146666666666667,0.26666666666666167)(8.146666666666668,-3.06666666666667)(4.813333333333334,-3.0666666666666687)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](8.146666666666667,0.26666666666666167)(8.146666666666668,-3.06666666666667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](8.146666666666668,-3.06666666666667)(4.813333333333334,-3.0666666666666687)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](4.813333333333334,-3.0666666666666687)(4.813333333333334,0.26666666666666383)
%\psline[linewidth=2pt](22.49,1.72)(26.49,1.72)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](23.49,1.72)
%\end{scriptsize}
\uput[d](7,-7){$n=1$}
\end{pspicture*}

\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.81,-9.24)(12,3.94)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=1](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)(11.48,3.6)(1.48,3.6)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.813333333333334,0.26666666666666383)(8.146666666666667,0.26666666666666167)(8.146666666666668,-3.06666666666667)(4.813333333333334,-3.0666666666666687)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.5911111111111143,2.488888888888887)(3.702222222222224,2.4888888888888867)(3.7022222222222267,1.3777777777777753)(2.591111111111114,1.3777777777777755)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.924444444444447,2.488888888888888)(7.03555555555556,2.4888888888888876)(7.035555555555562,1.3777777777777753)(5.924444444444447,1.3777777777777767)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.257777777777777,2.488888888888881)(10.368888888888891,2.4888888888888783)(10.368888888888877,1.377777777777764)(9.257777777777777,1.3777777777777662)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.257777777777786,-0.8444444444444505)(10.368888888888907,-0.8444444444444529)(10.36888888888889,-1.9555555555555648)(9.257777777777779,-1.9555555555555615)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.257777777777774,-4.177777777777778)(10.368888888888886,-4.177777777777776)(10.368888888888891,-5.288888888888893)(9.25777777777778,-5.288888888888893)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.924444444444446,-4.177777777777775)(7.035555555555562,-4.177777777777771)(7.035555555555562,-5.288888888888886)(5.924444444444446,-5.28888888888889)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.5911111111111116,-4.177777777777779)(3.7022222222222227,-4.17777777777778)(3.702222222222222,-5.2888888888888905)(2.5911111111111103,-5.28888888888889)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.5911111111111125,-0.8444444444444466)(3.7022222222222236,-0.8444444444444479)(3.7022222222222223,-1.955555555555558)(2.5911111111111116,-1.9555555555555568)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,3.6)(1.48,-6.4)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](4.813333333333334,-3.0666666666666687)(4.813333333333334,0.26666666666666383)
%\psline[linewidth=2pt](22.49,1.72)(26.49,1.72)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](24.49,1.72)
%\rput[bl](24.27,1.98){\wwqqzz{$n = 2$}}
%\end{scriptsize}
\uput[d](7,-7){$n=2$}
\end{pspicture*}

\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.81,-9.24)(12,3.94)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=1](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)(11.48,3.6)(1.48,3.6)
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\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.628148148148146,3.229629629629637)(9.998518518518484,3.229629629629618)(9.998518518518527,2.8592592592592543)(9.628148148148142,2.8592592592592774)
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\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](1.850370370370372,2.1185185185185187)(2.2207407407407422,2.1185185185185182)(2.2207407407407422,1.7481481481481465)(1.850370370370372,1.7481481481481462)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.072592592592602,2.1185185185185156)(4.442962962962973,2.1185185185185147)(4.4429629629629686,1.7481481481481465)(4.072592592592597,1.7481481481481451)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.183703703703708,2.1185185185185107)(5.5540740740740855,2.1185185185185107)(5.5540740740740855,1.748148148148137)(5.183703703703708,1.7481481481481354)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](7.40592592592594,2.118518518518506)(7.7762962962963105,2.1185185185185014)(7.7762962962963025,1.748148148148134)(7.405925925925932,1.7481481481481287)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.517037037037035,2.118518518518522)(8.887407407407448,2.1185185185185365)(8.887407407407412,1.7481481481481482)(8.517037037037047,1.7481481481481371)
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\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](1.8503703703703713,1.0074074074074062)(2.2207407407407422,1.007407407407406)(2.2207407407407422,0.6370370370370354)(1.8503703703703713,0.6370370370370361)
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\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.183703703703701,1.007407407407401)(5.554074074074063,1.0074074074074049)(5.554074074074092,0.6370370370370334)(5.1837037037037135,0.63703703703703)
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\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.51703703703704,-1.2148148148148203)(8.887407407407395,-1.2148148148148248)(8.887407407407379,-1.5851851851851892)(8.517037037037024,-1.5851851851851806)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](10.739259259259256,-1.2148148148148243)(11.109629629629644,-1.2148148148148248)(11.109629629629579,-1.5851851851852088)(10.739259259259255,-1.5851851851852043)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.9614814814814854,-2.325925925925928)(3.331851851851853,-2.3259259259259295)(3.3318518518518547,-2.6962962962962993)(2.9614814814814854,-2.6962962962962993)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.072592592592588,-2.3259259259259255)(4.442962962962955,-2.325925925925927)(4.44296296296296,-2.6962962962962984)(4.072592592592587,-2.6962962962962957)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.517037037037039,-2.3259259259259317)(8.887407407407393,-2.325925925925937)(8.887407407407409,-2.69629629629629)(8.517037037037039,-2.6962962962962878)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.628148148148144,-2.3259259259259264)(9.998518518518525,-2.3259259259259175)(9.998518518518525,-2.696296296296305)(9.628148148148144,-2.696296296296318)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](10.739259259259265,-2.325925925925936)(11.109629629629623,-2.325925925925932)(11.109629629629561,-2.696296296296307)(10.739259259259233,-2.6962962962963104)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](1.8503703703703724,-3.437037037037035)(2.2207407407407422,-3.437037037037033)(2.220740740740742,-3.8074074074074082)(1.8503703703703702,-3.8074074074074082)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.9614814814814774,-3.437037037037039)(3.331851851851849,-3.4370370370370362)(3.3318518518518485,-3.807407407407407)(2.9614814814814787,-3.8074074074074105)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.072592592592596,-3.437037037037036)(4.442962962962969,-3.437037037037035)(4.442962962962956,-3.8074074074074074)(4.07259259259259,-3.807407407407407)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.183703703703712,-3.437037037037033)(5.554074074074089,-3.4370370370370327)(5.55407407407409,-3.807407407407402)(5.1837037037037135,-3.8074074074074047)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](6.294814814814807,-3.437037037037035)(6.66518518518519,-3.43703703703703)(6.665185185185169,-3.8074074074074047)(6.294814814814794,-3.8074074074074096)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](7.405925925925922,-3.4370370370370438)(7.776296296296307,-3.4370370370370518)(7.776296296296293,-3.807407407407418)(7.405925925925922,-3.8074074074074127)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.517037037037056,-3.437037037037034)(8.887407407407427,-3.4370370370370473)(8.887407407407395,-3.807407407407411)(8.51703703703704,-3.807407407407398)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.628148148148162,-3.437037037037024)(9.998518518518559,-3.4370370370370265)(9.99851851851854,-3.8074074074074047)(9.62814814814816,-3.8074074074074082)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](10.739259259259216,-3.4370370370370367)(11.109629629629541,-3.4370370370370344)(11.10962962962967,-3.807407407407409)(10.739259259259283,-3.8074074074074065)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](1.8503703703703698,-4.548148148148151)(2.2207407407407382,-4.548148148148157)(2.220740740740742,-4.918518518518525)(1.8503703703703684,-4.918518518518519)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.072592592592593,-4.548148148148139)(4.442962962962967,-4.548148148148138)(4.442962962962967,-4.918518518518503)(4.072592592592601,-4.918518518518501)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.183703703703713,-4.548148148148147)(5.554074074074098,-4.548148148148154)(5.554074074074084,-4.91851851851852)(5.183703703703707,-4.918518518518518)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](7.405925925925925,-4.548148148148159)(7.776296296296313,-4.548148148148161)(7.776296296296314,-4.918518518518528)(7.405925925925926,-4.918518518518532)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.517037037037026,-4.548148148148156)(8.88740740740738,-4.548148148148172)(8.887407407407379,-4.918518518518521)(8.51703703703704,-4.9185185185185105)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](10.73925925925923,-4.548148148148133)(11.109629629629648,-4.548148148148106)(11.109629629629595,-4.918518518518486)(10.739259259259272,-4.918518518518513)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](1.850370370370368,-5.659259259259264)(2.2207407407407467,-5.659259259259264)(2.2207407407407342,-6.029629629629632)(1.8503703703703642,-6.029629629629632)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.961481481481491,-5.65925925925926)(3.3318518518518685,-5.659259259259262)(3.331851851851854,-6.029629629629627)(2.961481481481485,-6.0296296296296275)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.0725925925926045,-5.659259259259261)(4.442962962962967,-5.65925925925926)(4.442962962962951,-6.029629629629632)(4.0725925925925885,-6.029629629629633)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.183703703703706,-5.659259259259259)(5.554074074074077,-5.659259259259264)(5.554074074074079,-6.02962962962963)(5.183703703703702,-6.02962962962963)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](6.294814814814825,-5.6592592592592625)(6.665185185185207,-5.659259259259261)(6.665185185185207,-6.029629629629642)(6.294814814814825,-6.029629629629642)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](7.405925925925942,-5.659259259259266)(7.776296296296301,-5.659259259259267)(7.776296296296301,-6.029629629629628)(7.405925925925942,-6.029629629629633)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.51703703703703,-5.659259259259268)(8.887407407407384,-5.659259259259283)(8.887407407407384,-6.029629629629637)(8.51703703703703,-6.0296296296296275)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.62814814814815,-5.659259259259256)(9.998518518518484,-5.659259259259249)(9.9985185185185,-6.029629629629616)(9.628148148148133,-6.029629629629615)
\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](10.739259259259278,-5.659259259259268)(11.109629629629636,-5.659259259259255)(11.109629629629637,-6.029629629629641)(10.73925925925928,-6.029629629629651)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](11.48,-6.4)(11.48,3.6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](11.48,3.6)(1.48,3.6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,3.6)(1.48,-6.4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](8.146666666666667,0.26666666666666167)(8.146666666666668,-3.06666666666667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](8.146666666666668,-3.06666666666667)(4.813333333333334,-3.0666666666666687)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](4.813333333333334,-3.0666666666666687)(4.813333333333334,0.26666666666666383)
\uput[d](7,-7){$n=3$}
\end{pspicture*}


\end{multicols}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\left(c_n\right)$ est une suite géométrique et, pour tout entier $n>1$, exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
Il est clair que, par construction, on a $c_{n+1}=\dfrac{1}{3}c_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
La suite $\left(c_n\right)$ est donc géométrique, de raison $q=\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $c_0=1$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{c_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item %Quelle est la valeur de $A_1$ ?\\
%Vérifier ensuite que $A_2=\dfrac{17}{81}$
$A_1=c_1^2=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}$.\\
À l'étape suivante, les mites mangent $\dfrac{1}{9}$ de ce qui reste, donc $\dfrac{1}{9}\left(1-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{1}{9}\times \dfrac{8}{9}=\dfrac{8}{81}$. La surface totale mangée est alors $A_2=\dfrac{8}{81}+\dfrac{1}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{17}{81}}}$.

\item Chaque jour, les mites mangent $\dfrac{1}{9}$ de la partie du tapis restante.\\
%Montrer que, pour tout entier n>1, on a $A_{n+1}=\dfrac{8}{9}A_n+\dfrac{1}{9}$.
À l'étape $n+1$, les mites mangent $\dfrac{1}{9}$ de la partie non encore mangée, donc $\dfrac{1}{9}\left(1-A_n\right)$.\\
La partie mangée est donc $\dfrac{1}{9}\left(1-A_n\right)+A_n=\dfrac{8}{9}A_n+\dfrac{1}{9}$.\\
On en déduit que, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{A_{n+1}=\dfrac{8}{9}A-n+\dfrac{1}{9}}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n>1$, on pose $B_n= A_n-1$. 
%Montrer que $\left(B_n\right)$ est une suite géométrique.
Pour tout $n>1$, $B_{n+1}=A_{n+1}-1=\dfrac{8}{9}A_n+\dfrac{1}{9}-1=\dfrac{8}{9}A_n-\dfrac{8}{9}=\dfrac{8}{9}\left(A_n-1\right)=\dfrac{8}{9}B_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{B_{n+1}=\dfrac{8}{9}B_n}}$.\\
La suite $\left(B_n\right)$ est donc géométrique, de raison $q=\dfrac{8}{9}$ et de premier terme $B_1=A_1-1=-\dfrac{8}{9}$.

\item% Pour tout entier $n>1$, en déduire l’expression de $B_n$, puis de $A_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que, pour tout $n>1$, $B_n=B_1\times q^{n-1}=-\dfrac{8}{9}\times \left(\dfrac{8}{9}\right)^{n-1}=-\left(\dfrac{8}{9}\right)^n$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{A_n=1+B_n=1-\left(\dfrac{8}{9}\right)^n}}$

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %À partir de combien de jours la surface du tapis sera-t-elle mangée à 99\:\% au moins ?
$-1<\dfrac{8}{9}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}A_n=1$, donc $A_n$ va finir par dépasser 99\:\%.\\
$A_n\geqslant 99\:\%=0,99\Leftrightarrow \left(\dfrac{8}{9}\right)^n\leqslant 0,01$.\\
En cherchant un tableau de valeurs de la suite $\left(A_n\right)$, on trouve que $n$ doit être supérieur à 40.\\
Au bout de 40 jours, les mites auront mangé au moins 99 \:\% du tapis.

\item %Sachant qu’à une distance supérieure à 1 m, un oeil humain normalement constitué ne peut distinguer de détail sur un tapis inférieur à 0,5 mm, au bout de combien de jours ne verra-t-on plus les nouveaux trous formés ?
On cherche pour quelles valeurs de $n$ la longueur $c_n$ est inférieure ou égale à 0,5 mm = 0,0005 m.\\
$-1<\dfrac{1}{3}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}c_n=0$ puisque $c_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.\\
On trouve à la calculatrice qu'il faut avoir $n\geqslant 7$.
\end{enumerate}

\item %Que penser de chacune des affirmations de Horion et d’Apolline ?
Les trous vont effectivement devenir tellement petits qu'on ne les verra plus mais le tapis va finir par disparaître puisque la limite de $\left(A_n\right)$ est 1.\\
Horion et Apolline ont tous les deux raison.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\mathrm{e}^{x^2+6x+5}\geqslant 1\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x^2+6x+5}\geqslant \mathrm{e}^{0}\Leftrightarrow x^2+6x+5\geqslant 0$.\\
-1 est une racine évidente donc $x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$, qui a pour racines -1 et -5.\\
Ce trinôme est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.\\
L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-5] \cup [-1~;~+\infty[}}$

\item $\mathrm{e}^{-x^2-3x+5}\geqslant \mathrm{e}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-x^2-3x+5}\geqslant \geqslant \mathrm{e}^{1}\Leftrightarrow -x^2-3x+5\geqslant 1\Leftrightarrow -x^2-3x+4\geqslant 0$.\\
1 est une racine évidente donc $-x^2-3x+4=-(x-1)(x+4)$, qui est positif (du signe contraire à celui du coefficient de $x^2$) entre les racines.\\
L'ensemble des solutions est donc : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-4~;~1]}}$
\end{enumerate}





\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $g : x \mapsto  x^2\mathrm{e}^{x} - 1$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une expression de la dérivée de $g$.
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme et produit de fonctions dérivables.\\
$\forall x\in\mathbb{R},~g'(x)=2x\mathrm{e}^{x}+x^2\mathrm{e}^{x}+0=\left(x^2+2x\right)\mathrm{e}^{x}=x(x+2)\mathrm{e}^{x}$.

\item %Donner le tableau de signes de cette dérivée sur $\mathbb{R}$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $x(x+2)$ qui s'annule en -2 et 0 et qui est positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et négatif entre les racines.\\
Tableau de signes donné ci-dessous avec le tableau de variation?

\item %En déduire le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&0&&\pI\\
\filet
g'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\filet
\m{g(x)}&&\c&\h{4\mathrm{e}^{-2}-1\approx -0,46}&\d&-1&\c&\h{\pI}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$.
D'après le tableau de variation, $g(x)<0$ sur $]-\infty~;~0[$.\\
Sur $[0~;~+\infty[$, $g(x)$ passe de valeurs négatives à des valeurs positives et $g$ est croissante, donc l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ (théorème des valeurs intermédiaires).\\
À la calculatrice, on obtient $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx 0,7}}$.

\item %En déduire le tableau de signes de g(x) sur $\mathbb{R}$.
\textcolor{blue}{\textbf{Tableau de signes de $\mathbf{g(x)}$}} :\\
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item On considère la fonction $f : x \mapsto  \mathrm{e}^{x} + \dfrac{1}{x}$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$.
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi la fonction $f$ n’est pas définie en 0.
La fonction $f$ n’est pas définie en 0 car on ne peut pas diviser par 0.

\item %Déterminer une expression de la dérivée de $f$.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$.\\
$\forall x\in\mathbb{R}^*$, $f'(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2\mathrm{e}^{x}-1}{x^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{g(x)}{x^2}}}$

\item %Donner le tableau de signes de cette dérivée sur $\mathbb{R}^*$.
$x^2>0$ sur $\mathbb{R}^*$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$, donc strictement négatif sur $]-\infty~;~0[ \cup ]0~;~\alpha$[, nul en $\alpha$ et strictement positif sur $]\alpha~;~+\infty[$.

\item %En déduire le tableau de variations de f sur $\mathbb{R}^*$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{x}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0}}$.

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\mathrm{e}^{x}=1$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\dfrac{1}{x}=-\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}f(x)=-\infty}}$.

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\mathrm{e}^{x}=1$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}f(x)=+\infty}}$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} de f sur $\mathbb{R}^*$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&0&&&\alpha&&\pI\\
\filet
f'(x)&&-&&\bb&&-&\z&+&\\
\filet
\m{f(x)}&\h{0}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&f(\alpha)&\c&\h{\pI}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Courbe}} (non demandée) (en n'oubliant pas la tangente horizontale en $\alpha$):
\begin{center}

\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-9)(2,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-9)(2,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-9)(2,9)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-5}{-0.1}{EXP(x)+1/x}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{0.15}{2}{EXP(x)+1/x}
\psline{<->}(0.3,3.44)(1.1,3.44)
\end{pspicture}
\end{center}

%Barème :
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Exercice&I&II&III&IV&V\\
%\hline
%Points&4&4&5&3&4\\
%\hline
%\end{tabularx}
\label{fin}
\end{document}