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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité de Terminale : contrôle sur les limites}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(Question de cours : 2 points)}}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. \\
Rappeler ce que veut dire : \og{} $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$\fg{}.

\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}
Calculer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[a) ]
\item $f:x\mapsto x^2-5x+3$ définie sur $\mathbb{R}$

\item $f:x\mapsto \dfrac{x^2-5x+9}{x}$ (définie sur $\mathbb{R}^*$)

\item $f:x\mapsto \dfrac{x^2+3x+5}{3x^2+1}$ définie sur $\mathbb{R}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~2[ \cup ]2~;~+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{-3x+1}{x-2}$.\\
On se propose d'étudier la limite de $f(x)$ en 2.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Que vaut $\lim_{x\rightarrow 2}(-3x+1)$ ?

\item Que vaut $\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)$ ?
\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signes de $x-2$.

\item En déduire $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}f(x)$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}f(x)$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\subsection{}
%Soit $f$ une fonction dont le tableau de variation est donné ci-dessous.
%\begin{center}
%\begin{variations}
%x&\mI&&&-1&&&2&&\pI\\
%\hline
%\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&3&\c&\h{5}\\
%\hline
%\end{variations}
%\end{center}
%La courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ admet-elle des asymptotes ?\\
%Si oui,  préciser leurs équations.

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}

\begin{enumerate}
\item Trouver l'expression d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que : \[\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=5\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=5.\]

\item 
\begin{enumerate}
\item Trouver l'expression d'une fonction dont le tableau de variation est donné ci-dessous par :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&2&&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{1}&\d&\mI&\bb&\mI&\c&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Le courbe représentative de cette fonction admet-elle des asymptotes ?\\
Si oui, lesquelles ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}=]-\infty~;~1[ \cup ]1~;~+\infty[$ par : 
\[f(x)=\dfrac{x^2-7x+10}{x-2}\]

\begin{enumerate}
\item Juliette affirme que, puisque 2 est une valeur interdite, la droite d'équation $x=2$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.\\
A-t-elle raison ?

\item Montrer que $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$.

\item En déduire $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)$ et commenter alors la réponse de Juliette.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(12,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-4)(12,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-5,-4)(12,8)
\psbezier[linewidth=2pt](-4,-3)(-3.5,-1)(-4,0)(-3,1)
\psbezier[linewidth=2pt](-3,1)(-2,2)(1,3)(2,3)
\psbezier[linewidth=2pt](2,3)(3,3)(3,1)(5,1)
\psbezier[linewidth=2pt](5,1)(6,1)(7,1)(8,4)
\psbezier[linewidth=2pt](8,4)(9,7)(10,5)(11,6)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(-4,0)(-2,2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(4,1)(6,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(1,3)(3,3)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{<->}(7,1)(9,7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-4,-3)(-3,1)(2,3)(5,1)(8,4)
%\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](10,5.8){$\mathscr{C}$}
\uput[u](-3,1){A}\uput[u](2,3){B}\uput[u](5,1){C}\uput[dr](8,4){D}
\end{pspicture}
\end{center}

Lire et justifier les valeurs de $f'(-3)$, $f'(2)$, $f'(5)$ et $f'(8)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
Pour les fonctions suivantes, donner l'expression de leur dérivée.

\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^7$ sur $\mathbb{R}$.

\item $g(x)=\sqrt{x}$ pour $x>0$.

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^5}$ sur $\mathbb{R}^*$
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  