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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur la dérivation}}\end{center}

%Exercices livre Bordas





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On pose $f(x)=x^3-x-1$, où $x\in\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item %Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$.
Pour tout réel $x$,  $f'(x)=3x^2-1$.

\item %Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ au point d’abscisse 2.
L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ au point d’abscisse $a$ est \[y=f'(a)(x-a)+f(a).\]
Ici; $a=2$ ; $f'2=3\times 2^2-1=11$ ; $f(2)=8-2-1=5$.\\
L'équation est donc $y=11(x-2)+5\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=11x-17}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On pose$f(x)=\dfrac{1}{4x-1}$, où $x\in\left]\dfrac{1}{4}~;~+\infty\right[$.
\begin{enumerate}
\item %Pour tout $x>\dfrac{1}{4}$, calculer $f'(x)$.
$f=\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)/4x-1$.\\
$f'=-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u'(x)=4$ donc $f'(x)=-\dfrac{4}{(4x-1)^2}$ pour tout $x>\dfrac{1}{4}$.\\


\item %Montrer que l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse $\dfrac{3}{4}$
%est $y = -x +\dfrac{5}{4}$
$f\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{1}{4\times \dfrac{3}{4}-1}=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$.\\
$f'\left(\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{4}{2^2}=-1$.\\
L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse $\dfrac{3}{4}$ est donc :\\
$y=-\left(x-\dfrac{3}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow y=-x+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=-x+\dfrac{5}{4}}}$.


\end{enumerate}



\subsection{}
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer l'expression de $f'(x)$, étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f$.

\begin{enumerate}[a) ]
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :  $f(x)=x^3-3x$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On a $f'(x)=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)=\boxed{\textcolor{red}{3(x+1)(x-1)}}$.

\item $f'(x)$ est un trinôme du second degré avec deux racines -1 et 1. Il est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur des racines ; on en déduit que $f'(x)>0$ sur \\
$]-\infty~;~-1 \cup ]1~;~+\infty[$ et donc négatif sur $]-1~;~1[$.

\item Limites : $f(x)=x^3\left(1-\dfrac{3}{x^2}\right)$ ; $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1-\dfrac{3}{x^2}\right)=1$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow =\infty}x^3=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.

\item On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{2}&\d&-2&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par :  $f(x)=-x+\dfrac{3}{x}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=-x+3\times \dfrac{1}{x}$ donc $f'(x)=-1+3\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-1-\dfrac{3}{x^2}<0$ (somme de deux nombres négatifs).

\item $f$ est donc décroissante sur chacun des intervalles de l'ensemble de définition.

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}(-x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{3}{x}\right)=0$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}(-x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{3}{x}\right)=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$.\\
$\lim_{x\rightarrow 0}(-x)=0$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\left(\dfrac{3}{x}\right)=-\infty$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}f(x)=-\infty$.\\
$\lim_{x\rightarrow 0}(-x)=0$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(\dfrac{3}{x}\right)=+\infty$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x)=+\infty$.
\item Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&0&&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&&\bb&&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-5\right\}$ par :  $f(x)=\dfrac{2x-5}{x+5}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x-5$ et $v(x)=x+5$.\\
$f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ avec $u'(x)=2$ et $v'(x)=1$.\\
Alors : $f'(x)=\dfrac{2(x+5)-(2x-5)}{(x-5)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{15}{(x+5)^2}}}$.

\item Il est clair que $f'(x)>0$ sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-5\right\}$.

\item Pour $x\neq 0$, $f(x)=\dfrac{x\left(2-\frac5x\right)}{x\left(1+\frac5x\right)}=\dfrac{2-\frac5x}{1+\frac5x}$ d'où $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=2$.\\
$\lim_{x\rightarrow -5}(2x-5)=-15$.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow -5\\x<-5}}(x+5)=0$ avec $x+5<0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow -5\\x<-5}}f(x)=+\infty$ (quotient de deux nombres négatifs).\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow -5\\x>-5}}(x+5)=0$ avec $x+5>0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow -5\\x>-5}}f(x)=-\infty$ (quotient de deux nombres de signes contraires).

\item On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&-5&&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&&\bb&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\pI}&\bb&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :  \[f(x)=\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{4}x^2-x+\dfrac{1}{12}.\]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=\dfrac{1}{6}\times 3x^2+\dfrac{1}{4}\times 2x-1=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x-1=\dfrac{1}{2}\left(x^2+x-2\right)$.\\
$x^2+x-2$ a pour racines 1 et 2 (en calculant le discriminant) d'où $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$.\\
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{1}{2}(x-1)(x-2)}}$.\\
On peut aussi remarquer que 1 est une \og{}racine évidente\fg{} et factoriser \og{}à vue\fg{} par $x-1$ sachant que le facteur manquant est un polynôme du premier degré.

\item $(x-1)(x+2)$ est positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et négatif entre les racines.

\item Les limites à l'infini sont faciles à calculer en mettant $x^3$ en facteur.


\item On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\dfrac{7}{4}}&\d&-\dfrac{1}{2}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
On pose $f(t)=\dfrac{t}{2}+\dfrac{2}{t}$, $t\neq 0$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(t)$.
$f(t)=\dfrac{1}{2+}2\times \dfrac{1}{t}$ donc $f'(t)=\dfrac{1}{2}+2\times \left(-\dfrac{1}{t^2}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{t^2}=\dfrac{t^2-4}{2t^2}=\dfrac{(t+2)(t-2)}{2t^2}$.\\
$f'(t)$ s'annule donc en -2 et 2 et $t^2-4$ est positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\item Les limites n'étaient pas demandées, mais sont \og{}évidentes\fg{}.

\item %En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^*$.
Variations de $f$ :\\
\scriptsize
\begin{center}
\begin{variations}
t&\mI&&-2&&&0&&&2&&\pI\\
\hline
f'(t)&&+&\z&-&&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(t)}&\mI&\c&\h{-2}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&2&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\normalsize

\subsection{}
On modélise la concentration dans le sang, en microgramme par litre ( $\mu$g.L$^{-1}$ ) d’un anesthésiant, $t$ heures après son administration par la fonction \[f : t\mapsto \dfrac{20}{0,005t^2+0,1t+1}\] où $t\in[0~;~36]$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(t)$ où $t\in[0~;~36]$.
$f(t)=20\times \dfrac{1}{0,005t^2+0,1t+1}$ donc $f=20\times \dfrac{1}{u}$ avec $u(t)=0,005t^2+0,1t+1$.\\
$f'=20\times \left(-\dfrac{u'}{u^2}\right)$ avec $u'(t)=0,01t+0,1$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{f'(t)=-20\times \dfrac{0,01t+0,1}{\left(0,005t^2+0,1t+1\right)^2}}}$.

\item %En déduire le sens de variation de $f$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Il est clair que $f'$ est négative sur $[0~;~36]$ donc $f$ est décroissante.\\
La concentration de l'anésthésiant décroît au cours du temps.

\item %On estime qu’un patient auquel on a administré cet anesthésiant peut rentrer chez lui quand la concentration du médicament est inférieure à 10\:\% de sa concentration au  moment de son administration.\\
%Après combien d’heures ce patient pourra-t-il rentrer chez lui ?
$f(0)=20$ ; on cherche $t$ tel que $f(t)\leqslant 2$ (la valeur est unique par décroissance de la fonction $f$).\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item À la calculatrice, on trouve $t\approx 33,6$ h, donc 33 h 36 s.

\item On peut aussi chercher la valeur exacte.\\
$f(0)=20$ donc cherche $t$ positif tel que $f(t)\leqslant 2$.\\
$f(t)\leqslant 2\Leftrightarrow \dfrac{20}{0,005t^2+0,1t+1}\leqslant 2\\
\Leftrightarrow  \dfrac{20}{0,005t^2+0,1t+1}-2\leqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{-0,01t^2+0,2t+18}{0,005t^2+0,1t+1}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow -0,01t^2+0,2t+18\leqslant 0$ (sur [0~;~36]).\\
En multipliant par 100, cela équivaut à \\
$-t^2+20t-1800\leqslant 0$.\\
$\Delta=400+4\times 1\times 1800=7600>0$.\\
Il y a deux racines : \\
$t_1=\dfrac{20+\sqrt{7600}}{-2}=\dfrac{20+20\sqrt{19}}{-2}=-10\left(1+\sqrt{19}\right)$.\\
$t_2=\dfrac{20-\sqrt{7600}}{-2}=\dfrac{20-20\sqrt{19}}{-2}=-10\left(1-\sqrt{19}\right)\approx 33,6$.\\
On trouve que $t$ doit être à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines avec $t\in[0~;~36]$ donc \\
$t\in[10\left(\sqrt{19}-1~;~\right)~;~36]$
\end{enumerate}

Courbe (non demandée) :
\begin{center}

\psset{xunit=0.23=,yunit=0.25,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-2)(37,22)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-2)(37,22)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridlabels=0](0,-2)(37,22)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0}{36}{20/(0.005*x^2+0.1*x+1)}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=2pt](0,2)(36,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}




\subsection{}
On considère une entreprise qui produit du jus de fruits. Sa capacité quotidienne de production est égale à \SI{600}{L}, et, pour $x$ hL de jus de fruits, le coût total de production quotidien est donné, en dizaines d’euros par \[C(x)=\dfrac{1}{2}x^3-3x^2+7x+50\text{ où }x\in[0~;~6]\].
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que $C(0)\neq 0$. Donner une explication concrète de ce fait.
$C(0)=\boxed{\textcolor{red}{50\neq 0}}$ ; ce sont les frais fixes.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Quelle conjecture peut-on formuler sans calcul sur le sens de variation de $C$ sur [0~;~6] ? Expliquer.
On peut envisager que  le coût total de production soit \textbf{\textcolor{red}{croissant}}.

\item %Prouver cette conjecture par le calcul.
$C'(x)=\dfrac{3}{2}x^2-6x+7$.\\
$\Delta=(-6)^2-4\times \dfrac{3}{2}\times 7=36-6\times 7=36-42=-6<0$.\\
Ce polynôme du second degré n'a donc pas de racine ; il est du signe du coefficient de $x^2$ donc positif.\\
$C'>0$ donc la fonction $C$ est bien \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
\end{enumerate}

\item Le coût moyen de fabrication de x hL, si $x$ hL ont déjà été produits, avec $x>0$, est défini par \[C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}.\]
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout x dans ]0~;~6], on a :
%\[C_M'(x)=\dfrac{(x-5)\left(x^2-2x+10\right)}{x^2}\]
$C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}$ donc \\
$C_M'(x)=\dfrac{C'(x)x-C(x)}{x^2}\\
=\dfrac{\left(\frac32x^2-6x+7\right)x-\left(\frac12x^3-3x^2+7x+50\right)}{x^2}\\
=\dfrac{\frac32x^3-6x^2+7x-\frac12x^3+3x^2-7x-50}{x^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^3-3x^2-50}{x^2}}}$.\\
$(x-5)\left(x^2+2x+10\right)=x^3+2x^2+10x-5x^2+10x-50\\
=x^3+2x^2+10x-5x^2-10x-50=x^3-3x^2-50$.\\
On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{C_M'(x)=\dfrac{(x-5)\left(x^2-2x+10\right)}{x^2}}}$

\item %En déduire la quantité de production pour laquelle le coût moyen est minimal et préciser ce coût en euro.
$x-5$ s'annule et change de signe en 5.\\
Pour $x^2-2x+10$, $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 10<0$ donc $x^2-2x+10$ ne s'annule pas et est positif (du signe du coefficient de $x^2$).\\
Tableau de variation de $C_M$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&5&&6\\
\hline
x-5&&-&\z&+&\\
\hline
x^2-2x+10&&+&\l&+&\\
\hline
C_M'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{C_M(x)}&&\d&\dfrac{145}{2}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On en déduit que le coût moyen est minimal pour $x=5$.

\item En sciences économiques, on appelle coût marginal le coût de production d’une unité supplémentaire.\\
Ce coût, qui dépend de la quantité x déjà produite, est modélisé par la fonction $C'$, dérivée de $C$.\\
%Montrer que lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.
Ce coût marginal vaut $C'(5)=\dfrac{29}{2}$ et $C_M(5)=\dfrac{29}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{C_M(5)=C'(5)}}$
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{multicols}
  \label{fin}
\end{document}  