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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité de Terminale : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
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\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$, $S_n=1^2+2^2+\cdots+n^2=\sum_{k=1}^{k=n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.\\
 ($\sum_{k=1}^{k=n}$ se lit \og{}somme pour k allant de 1 à n\fg{})

\subsection{}%https://mathslycee.fr/images/pdf/1S_dm13.pdf
On considère la fonction $f$ définie sur $[-5~;~-1[ \cup ]-1~;~1[ \cup ]1~;~4]$ par \[f(x) =\dfrac{x^3+2x^2}{x^2-1}.\]


\subsubsection*{\textcolor{blue}{PARTIE A : étude d'une fonction auxiliaire}}
On considère la fonction $g$ définie sur [-5~;~4] par $g(x)= x^3 - 3x - 4$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $g'(x)$ et faire le tableau de variation de $g$.

\item Montrer, à l'aide du tableau de variation de $g$, que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ unique sur l'intervalle [ -5~;~4], puis déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à 0,1 près à l'aide de la calculatrice.

\item En déduire le signe de $g(x)$ sur [-5~;~4].
\end{enumerate}

\subsubsection*{\textcolor{blue}{PARTIE B}}

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) =\dfrac{xg ( x )}{  \left(x^2-1\right)^2}$.

\item Etudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de $f$.

\item Vérifier que $f(x) = x+ 2+ \dfrac{x+ 2}{x^2-1}$.

\item Etudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ représentative de $f$ par rapport à la droite $\mathscr{D}$ d''équation $y= x+2$. (en étudiant le signe de $f(x)-(x+2)$).

\item En déduire que $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left[f(x)-(x+2)\right]=0$ ; on dit que la droite d'équation $y=x+2$ est asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$.

\item Tracer dans un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ (unités :1 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées) les droites d'équation $x= -1$ , $x=1$ , $y= x+2$ et la courbe $\mathscr{C}$.

\end{enumerate}


\subsection{}
Parmi tous les rectangles de périmètre égal à 40, le but est de trouver ceux dont l'aire est maximale.\\

\begin{enumerate}
\item On appelle $x$ une des dimensions du rectangle ; montrer que  l'autre dimension vaut $20-x$.

\item En déduire l'aire $\mathscr{A}(x)$ du rectangle en fonction de $x$.

\item En étudiant les variations de la fonction $\mathscr{A}$, répondre à la question.

\end{enumerate}

\subsection{}
Cet exercice propose de comprendre sur un exemple, pourquoi certains objets usuels ont tous la même forme.

Pour réduire les coûts de fabrication, une entreprise doit fabriquer des casseroles cylindriques de volume $v$ donné en utilisant le moins de métal possible. (on ne tient pas compte du manche)

On. note $h$ la hauteur d'une casserole, $x$ le rayon du disque du fond et $S$ l'aire totale (aire latérale + aire du fond).

\begin{enumerate}
\item Montrer que $S=\pi x^2+\dfrac{2v}{x}$.

\item Étudier les variations de la fonction \[f:x\mapsto \pi x^2+\dfrac{2v}{x}\text{ sur }]0~;~+\infty[.\]

\item En déduire, pour un volume $v$ fixé, la valeur de $x$ pour laquelle le coût de fabrication d' une casserole est le plus bas.
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  