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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{T mercatique : contrôle sur les probabilités}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%CGRH Antilles--Guyane  juin 2013
 D'après l'énoncé, on a $p(\text{E})=0,6$, $p_{\text{E}}(\text{H})=0,8$ et $p_{\overline{\text{E}}}(\overline{\text{H}})=0,7$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Décrire par une phrase l'évènement $\overline{E}$ et donner sa probabilité $P\left(\overline{E}\right)$. 
		$\overline{\text{E}}$ est l'événement \og{} rester en France\fg{} et $\boxed{\textcolor{red}{p(\overline{\text{E}})=0,4}}$.
		
		\item %Déterminer la probabilité conditionnelle $P_{\overline{E}}\left(\overline{H}\right)$. 
		$\boxed{\textcolor{red}{P_{\overline{E}}\left(\overline{H}\right)=0,7}}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous. 
On obtient l'arbre de probabilité ci-dessous :
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E$}\taput{0,6}}
	  { 
		  \TR{$H$}\taput{0,8}
		  \TR{$\overline{H}$}\tbput{0,2}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E}$}\tbput{0,4}}
	  {
		  \TR{$H$}\taput{0,3}
		  \TR{$\overline{H}$}\tbput{0,7}
	  }
	
}
\end{center} 

		\item %Calculer la probabilité $P(E \cap H)$. 
		$p(\text{E}\cap \text{H})=p_{\text{E}}(\text{H})\times p(\text{E})=0,8\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,48}}$.
		
		\item %Calculer la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un client ayant choisi un hÃ´tel en France. 
		$p\left(\overline{\text{E}}\cap H\right)=0,3\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,12}}$.
		
		\item %Montrer que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un client ayant choisi un hÃ´tel est de $0,6$. 
		D'après la formule des probabilités totales,\\$p(\text{H})=p(\text{E}\cap \text{H})+p\left(\overline{\text{E}}\cap H\right)=0,48+0,12=\boxed{\textcolor{red}{0,6}}$.
		
		\item %Les deux évènements $E$ et $H$ sont-ils indépendants ?
		$p(\text{E}\cap \text{H})=0,48$ et $p(\text{E})\times p(\text{H})=0,6\times 0,6=0,36\neq p(\text{E}\cap \text{H})$.\\
		E et H ne sont donc \textbf{pas indépendants}.
	\end{enumerate} 

\item %Calculer la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un client ayant choisi un centre de vacances en France sachant que ce dernier réside en hÃ´tel.
$p_{\text{H}}\left(\overline{E}\right)=\dfrac{p\left(\overline{\text{E}}\cap \text{H}\right)}{p(\text{H})}=\dfrac{0,12}{0,6}=\boxed{\textcolor{red}{0,2}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance \\
$\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma=6$.

%Avec un logiciel, on a affiché, à $10^{-4}$ près, deux aires sous la \og{}courbe en cloche\fg{} correspondant à la loi de $X$.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=80.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-12,-0.02)(30,0.08)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=0.02,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-12,-0.02)(24,0.08)
\uput[ul](0,0){0}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt]{\psplot[plotpoints=800]{-400}{5}{EXP((-(x-10)^(2))/(6^(2)*2))/(abs(6)*sqrt(PI*2))}\lineto(5,0)\lineto(-400,0)\closepath}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt]{\psplot[plotpoints=800]{12}{400}{EXP((-(x-10)^(2))/(6^(2)*2))/(abs(6)*sqrt(PI*2))}\lineto(400,0)\lineto(12,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-12.0}{24.0}{EXP((-(x-10)^(2))/(6^(2)*2))/(abs(6)*sqrt(PI*2))}
\uput[l](-3.2923, 0.0517){$\text{Aire }\approx\numprint{0,2023}$}
\uput[r](18.9876, 0.047){$\text{Aire }\approx \numprint{0,3694}$}
\psline{->}(-3.2923,0.0517)(2.5309,0.012)
\psline{->}(18.9876,0.047)(15.2321,0.0225)
\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-12.4491,-0.0061){$f$}
%\rput[bl](-6.5837,0.0052){\zzttqq{$a = 0.2023$}}
%\rput[bl](24.2622,0.0052){\zzttqq{$b = 0.3694$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3.2923,0.0517)
%\rput[bl](-3.1235,0.0542){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.5308,0.012)
%\rput[bl](2.6996,0.0145){\blue{$B$}}
%\rput[bl](-0.3386,0.0331){$u$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](18.9876,0.047)
%\rput[bl](19.1564,0.0496){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](15.2321,0.0225)
%\rput[bl](15.4009,0.0251){\blue{$D$}}
%\rput[bl](17.1732,0.0339){$v$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  %Quelles probabilités peut-on en déduire ?
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{p(X\leqslant 5)\approx \numprint{0,2023}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{p(X\geqslant 12)\approx 0,3694}}$.


\item %On rappelle que l'aire entre la courbe  d'une loi normale et l'axe des abscisses est égale à 1.

\begin{enumerate}
\item %Calculer l'aire  de la partie non hachurée sous la courbe.
L'aire  de la partie non hachurée sous la courbe vaut :\\
$1-\left(0,2023+0,3694\right)\approx 1-0,5717\\
\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,4283}}}$.


\item %En déduire la probabilité $p(5\leqslant  X\leqslant  12)$.
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{p(5\leqslant  X\leqslant  12)\approx \numprint{0,4283}}}$
\end{enumerate}


\item %Calculer $p(X\leqslant \mu)$.
On sait que la courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$ et que l'aire totale sous la courbe vaut 1, donc $\boxed{\textcolor{red}{p(X\leqslant \mu)=0,5}}$

\item %À l'aide de la calculatrice, calculer $p(4\leqslant  X\leqslant 15)$
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{p(4\leqslant  X\leqslant 15)\approx 0,639}}$

\item %Calculer $p(\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant \mu+3\sigma)$
D'après le cours : $p(\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant \mu+3\sigma)\approx 0,997$

\end{enumerate}

\subsection{}
%Un constructeur a mis au point un nouveau véhicule utilitaire. Le directeur du projet déclare que 40\:\% des entreprise constituant le marché potentiel sont disposées à acheter ce véhicule \numprint{22000} \euro{}.
%
%La direction du constructeur fait procéder auprès d'un échantillon de 156 entreprises prélevées au hasard et avec remise parmi les entreprises du marché potentiel. 

\begin{enumerate}
\item %On fait J'hypothèse que la proportion des entreprises du marché potentiel favorables à un tel achat est $p = 0,4$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95\:\% est $I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\\
=\left[0,4-\dfrac{1}{\sqrt{156}}~;~0,4+\dfrac{1}{\sqrt{156}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,319~;~0,480]}}$


\item %Énoncer une règle de décision permettant d'accepter ou de refuser, au seuil de 5\:\%, l'affirmation du directeur du  projet. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, on peut considérer la proportion théorique comme valable au seuil de 95\:\%.

\item Si la fréquence observée n'est pas dans l'intervalle de fluctuation, on peut considérer la proportion théorique comme non valable, avec un risque d'erreur de 5\:\%.\\ 

\end{enumerate}

\item %Dans l'échantillon prélevé, seulement un tiers des entreprises sont favorables à l'achat de ce véhicule pour un prix de \numprint{22000} \euro{}. Que peut-on en penser ?
La fréquence observée est $f=\dfrac{1}{3}\approx 0,33$ ; $f\in I$.\\`
On peut \textbf{\textcolor{red}{accepter}} la valeur de $p=0,4$ au seuil de 0,95.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  
