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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS spécialité : contrôle \no 1}}\end{center}

\subsection{}% Hyperbole n° 28 page 25
Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4.


\subsection{}
Soient $a$, $b$, $n$ trois nombres entiers naturels.\\

\begin{enumerate}
\item Montrer que si le produit $ab$ est un diviseur de n, alors $a$ et $b$ sont des diviseurs de $n$.

\item Énoncer la réciproque; est-elle vraie?

\end{enumerate}
\subsection{}
Montrer que, quel que soit l'entier $n\geq 3$, le nombre $n^2+2n-3$ n'est jamais premier.


\subsection{}%Hyperbole n° 34
Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $n-4$ divise $3n+24$.

\subsection{}
Déterminer tous les entiers relatifs $x$ et $y$ tels que $x^2-y^2=7$.

\subsection{}
  Quels sont les entiers n tels que $n+11$ soit un multiple de $n-1$ ? %Geneviève


\subsection{}%Hyperbole n° 57
On divise un entier naturel $n$ par 137 et 143. les quotients sont égaux et les restes respectifs sont 131 et 5.\\
Quel est cet entier naturel ?

\subsection{}
$n$ désigne un entier naturel tel que $n\geq 2$.\\
On effectue la division euclidienne de $3^n-1$ par $3^{n-1}$. \\
Quel est le quotient ? Exprimer alors le reste en fonction de $n$.

\subsection{}%Déclic n° 46
Les divisions euclidiennes de l'entier naturel $a$ par l'entier naturel $b$ et celle de $(a+15)$ par $(b+5)$ ont même quotient $q$ et même reste $r$.\\
Déterminer $q$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(x-5)(y-5)=25$.

\item En déduire les solutions dans $\mathbb{Z}$ de l'équation $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{5}$.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  