\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS spécialité : contrôle (2 heures)}}\end{center}

\subsection{}
Trouver le reste de la division euclidienne par 5 du nombre $12^{\numprint{1527}}$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^{2n}\equiv 2^n~[7]$.

\item Que peut-on en déduire pour le nombre $3^{2n}- 2^n$ ?
\end{enumerate}

\subsection{}%Indice page 17
Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $N=n^2-3n+6$ soit divisible par 5 

\subsection{}
Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $7^{2n}-1$ est divisible par 4.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : $2^{3k}\equiv 1$ [7].

\item Quel est le reste dans la division euclidienne de \numprint{22009} par 7 ?
\end{enumerate}

\item Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec $a\neq 0$. \\
On considère le nombre $N = a\times  10^3 + b$.\\
On rappelle qu'en base 10, ce nombre s'écrit sous la forme $N = \overline{a00b}$.\\
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par 7.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $10^3\equiv -1~[7]$.

\item En déduire tous les nombres entiers $N$ cherchés.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Restitution organisée de connaissances}}\\
\textbf{Prérequis :} \\
\fbox{\begin{minipage}{12cm}
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs et soit $n$ un entier naturel non nul.\\
$a\equiv b~[n]\Leftrightarrow a-b\text{ est un multiple de }n$.

\end{minipage}}

\begin{enumerate}
\item Montrer à l'aide du prérequis que $a\equiv b~[n]\Leftrightarrow a=b+kn,~k\in\mathbb{Z}$.

\item En déduire que la relation de congruence est compatible avec la multiplication, c'est-à-dire que si $a\equiv b~[n]$ et $a'\equiv b'~[n]$, alors $aa'\equiv bb'~[n]$
\end{enumerate}

\item Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel $n$, le reste de la division euclidienne de $4^n$ par 7.

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le reste dans la division euclidienne de 851 par 7.

\item En déduire alors, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division euclidienne de \\
$A = 851^{3n} + 851^{2n} + 851^n$ par 7.
\end{enumerate}

\item  On considère le nombre $B$ s'écrivant en base 4 : $B = \overline{2103211}^{4}$.\\
Déterminer, dans le système décimal, le reste de la division euclidienne de $B$ par 4.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction}}\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a $2^3 = 8$ et $8\equiv 1~[ 7]$.\\
D'après la règle de compatibilité avec les puissances, on a : $(2^3)^k\equiv1^k~[7]$ et donc $2^{3k}\equiv 1~[7]$.

\item Reste dans la division euclidienne de \numprint{22009} par 7 :\\
On a $\numprint{2009} = 3\times  669 + 2$, donc d'après la question précédente, on a :\\
$23\times 669\equiv 1~[ 7]$\\
$ 23\times 669\times 2^2\equiv 4~[7]$\\
$2^{\numprint{2009}}\equiv 4~[7]$\\
Le reste de $2^{\numprint{2009}}$ par la division par 7 est 4. 
\end{enumerate}

\item Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec $a\neq 0$.\\
On considère le nombre $N = a × 10^3 + b$.

\begin{enumerate}
\item $\numprint{1001}=7\times 143$, donc $\numprint{1001}\equiv 0~[7]$ et donc $\numprint{1000}\equiv -1~[7]$

\item On doit donc avoir :\\
$b-a\equiv 0~[7]$ ; de plus, comme $a$ et $b$ sont des chiffres ($a$ non nul), on $a-9\leqslant b - a\leqslant  8$.\\
Nous avons donc les équations suivantes : \\
$b - a = -7$ ; $b - a = 0$~;~$b - a = 7$	ce qui donne comme possibilités :

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  