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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les fluctuations et intervalles de confiance}}\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Intervalle de fluctuation}}
\emph{Les trois questions de cet exercice sont indépendantes. }

Dans un groupe d'assurances, on s'intéresse aux sinistres susceptibles de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d'une très importante entreprise de logistique.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$. 


\subsubsection*{\textcolor{blue}{Loi binominale} }
On note E J'événement : \og{} un conducteur tiré au hasard dans l'ensemble des conducteurs de l'entreprise n'a pas de sinistre pendant l'année considérée \fg{}.

On suppose que la probabilité de l'événement E est 0,6. On tire au hasard 15 conducteurs dans l'effectif des conducteurs de I'entreprise. Cet effectif est assez important , que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 15 conducteurs. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvemt de 15 conducteurs, associe le nombre de conducteurs n'tant pas de sinistre pendant l'année considérée.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Déterminer ses paramètres.

\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10 conducteurs n'aient pas de sinistre pendant l'année considérée.

\end{enumerate}

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Loi normale}}
Dans ce qui suit. on s'intéresse au coût des sinistres survenus dans l'entreprise pendant l'année considérée ayant des dégâts matériels legers, 

On considère la variable aléatoire $C$ qui. à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe 
son coût en euros.

On suppose que $C$ suit la loi normale de moyenne \numprint{1200} et d'écart-type 200. 

Calculer la probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre \numprint{1000} euros et \numprint{1500} euros. 

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Intervalle de fluctuation d'une fréquence }}
Dans cette question, on étudie un grand nombre de versements effectués à la suite de blessures légères, conséquences de sinistres déclarés par l'entreprise,

On constate  que 21\:\% de ces versements sont supérieurs à \numprint{9000} euros.

Déterminer un intervalle de fluctuation, à au moins 95\:\%, de la fréqucnce des versements supérieurs à \numprint{9000} \euro{} dans un échantillon de 51 sinistres du type considéré choisis au hasard.\\
Même question pour un pour un échantillon de 600 sinistres. 

\subsection{\textcolor{red}{Fluctuation et prise de décision  }}
Un constructeur a mis au point un nouveau véhicule utilitaire. Le directeurdu projet déclare que 40\:\% des entreprises constituant le marché potentiel sont disposées à acheter ce véhivule \numprint{22000} \euro{}.

La direction du consrtructeur fait procéder à une enquête auprès d'un échantillon de 156 entreprises prélevées au hasard et avec remise parmi les entreprises du marché .

\begin{enumerate}
\item On fait l'hypothèse que la proportion des entreprises du marché potentiel favorables à un tel achat est $p = 0,4$.

Déterminer un intervalle de fluctuation, à au moins 95\:\%, de la fréquence des entreprises favorables à un tel achat dans un échantillon de 156 entreprises prélevé comme ci-dessus. 


\item Énoncer une règle de décision permettant d'accepter ou 
de refuser, au seuil  de 5\:\%, l'affirmation du directeur du 
du projet.

\item Appliquer la règle  de décision au cas de l'échantillon prélevé pour la direction du constructeur, qui montre que seulement
un tiers d'entre elles sont favorables à un tel achat. 

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{red}{Intervalle de confiance d'une proportion }}

Les résultats approchés sont à arrondir a $10^{-2}$, 

Une entreprise envisage l'achat d'une nouvelle photocoieuse . Elle décide de faire un prélèvement aléatoire de 100 copies pari toutes celles réalisées en une journée par cette nouvelle machine, afin d'estimer le pourcentage de copies défectueuses en une journée.

Ce prélèvement, qui peut être assimilé à un tirage avec remise,  contient 12 copies défectueuses. 

\begin{enumerate}
\item Calculer la fréquence $f$ des copies défectueuses dans l'ensemble des copies réalisées pendant cette journée.


\item Déterminer un intervalle de confiance de la proportion $p$ avec le  coefficient de confiance 95\:\%. 


\item On considère  l'affirmation suivante: \og{} la fréquence des copies défectueuses dans l'ensemble des copies réalisées ce  jour appartient obligatoirement à l'intervalle obtenu à la question  précédente \fg{}. 

Cette affirmation est-elle vraie ?Justifier la réponse.
\end{enumerate}
%1 0 2. +++ Probabilités conditionnelles, loi nor- 
%e, intervalle de confiance 
%Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de 
%_ ~on IlIdépendante. 
%Dans une grande chaîne de magasins, on s'intéresse au fonctionnement d'un certain modèle de téléviseur à écran 
%plat plébiscit~ par la clientèle. 
%A. Probabilités conditiunnelles 
%Les téléviseurs de ce modèle proviennent de deux fournis, 
%seurs notés « fournisseur l » et « fournisseur 2 ». 
%Le fournisseur 1 a fourni 60 % des téléviseurs d'un lot important et le fournisseur 2 a fourni le reste de ce lot. Dans ce lot, l % des téléviseurs provenant du fournisseur] sont défectueux et 1.5 % des téléviseurs provenant du four- 
%nisseur 2 sont défectueux. 
%On prélève au hasard un téléviseur dans ce lot. 
%On considère les événements suivants: 
%A : « le téléviseur prélevé provient du fournisseur 1 » ; B : « le téléviseur prélevé provient du fournisseur 2 » ; D: « le téléviseur prélevé est défectueux ». 
%1. Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités prA), P(B), PA (D) et P[l(D). 
%2. Réaliser un arbre de probabilités traduisant la situation 
%décrite dans l'énoncé. 
%3. a) Calculer les valeurs exactes des probabilités P(D (Î A) 
%et P(D (Î B). 
%b) Déduire de cc qui précède la probabilité que le téléviseur 
%prélevé soit défectueux. 
%B, Loi normale 
%Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir il 
%10-2. 
%Soit X la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur de ce 
%modèle prélevé au hasard dans le stock de la chaîne, associe s a durée cie fonctionnement sans panne, en années. 
%On !1dmN Que l'suit la loi de nl()y~mJJe 6 cl d'écart type 1. 
%1. Calculer P( 4 5: Ys 8). 
%1

\label{fin}
\end{document}  