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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Intervalles de fluctuations - Intervalles de confiance}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Distinction entre échantillonnage et estimation}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On considère une population d'individus.
 Lorsque l'on connaît ou lorsque l'on fait une hypothèse sur la proportion $p$ d'individus ayant une caractéristique donnée dans une population et que l'on effectue un nombre $n$ de tirages avec remise dans cette population, la fréquence observée appartient avec une certaine probabilité à un intervalle appelé intervalle de fluctuation de centre $p$ et de longueur qui diminue lorsque $n$ augmente. On parle alors de situation d'échantillonnage.


\item  Lorsque l'on ne connaît pas la proportion d'individus ayant une caractéristique donnée, en procédant à un nombre $n$ de tirages avec remise on peut estimer à l'aide de la fréquence $f$ obtenue la proportion p d'individus ayant cette caractéristique. \\
Cette estimation se fait à l'aide d'un intervalle de confiance dont l'amplitude diminue lorsque le nombre $n$ de tirages augmente.

\end{enumerate}
\end{bclogo}



\subsection{\textcolor{blue}{Échantillonnage}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété et définition}}
Pour tout entier naturel $n$, soit $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathscr{B}(n; p).$. Alors quand $n$  devient grand,   l'intervalle $I_n =\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $X_n$
avec une probabilité qui se rapproche de 0,95. On dit que c'est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\%.
\end{bclogo}
\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque }:}\\
En pratique, on utilise cette propriété dès que les conditions $n\geqslant 30$, $np\geqslant  5$ et $n(1-p)\geqslant 5$ sont vérifiées.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Test d'hypothèse :}}\\
On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d'un caractère est $p$. On fait l'hypothèse \og{}La proportion dans la population est $p$ \fg{}\\
On observe la fréquence $f$ d'apparition de ce caractère sur un échantillon de taille $n$ et on calcule l'intervalle de fluctuation $I$ au seuil de 95\:\%.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item   Si $f\in I$, au risque de 5\:\% d'erreur (ou au seuil de confiance de 95\:\%), on accepte l'hypothèse que la proportion dans la population est $f$.


\item  Si $f\notin I$, au risque de 5\:\% d'erreur on rejette l'hypothèse que la proportion dans la population est
$p$.

\end{enumerate}

\textbf{Exemple :}
Un fournisseur d'accès à Internet affirme que, sur sa hotline, seuls 20\:\% des clients attendent plus de 5 minutes pour obtenir un interlocuteur.\\
Une association de consommateurs interroge au hasard 200 personnes ayant eu à s'adresser à cette hotline. Parmi ces personnes, 53 ont dû attendre plus de 5 minutes. Peut-on mettre en doute l'affirmation du fournisseur d'accès ?\\

On a $p:0,2$~;~$n=200$.\\
Les conditions sont vérifiées.
L'intervalle de fluctuation est $I=\left[0,2-\dfrac{1}{\sqrt{200}}~;~0,2+\dfrac{1}{\sqrt{200}}\right]\approx [0,129~;~0,271]$.\\

\noindent L'hypothèse à tester est  \og{}20\:\% des clients attendent plus de 5 minutes\fg{}.
La fréquence observée est $f=\dfrac{53}{200}\approx 0,265$.\\
$f\in[0; 129; 0; 271]$..\\
Donc au seuil de confiance de 95\:\%, on ne peut pas mettre en doute l'affirmation du fournisseur d'accès.


\subsection{\textcolor{blue}{Estimation}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété et définition}}
Soit $p$ la proportion inconnue d'apparition d'un caractère. On appelle f la fréquence d'apparition du caractère sur un échantillon de taille $n$. Alors, l'intervalle $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient pour $n$ assez grand la proportion $p$ avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95. L'intervalle  $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ est appelé intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 0,95.

\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{Remarque :}
Un intervalle de confiance au niveau de 95\:\% a une amplitude de $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.\\
L'amplitude diminue lorsque la taille $n$ de l'échantillon augmente.\\

\textbf{Exemple :}
Lors d'un scrutin électoral, on souhaite connaître la proportion $p$ de français votant pour le candidat \og{} A\fg. \\
L'institut SOFOS mène une enquête auprès de \numprint{1000} personnes tirées au hasard et avec remise (c'est-à-dire qu'une même personne peut éventuellement être choisie plusieurs fois). Le résultat indique qu'une proportion $f= 49\:\%$ d'entre elles voteront pour le candidat \og{} A\fg{}. 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par le nombre de personnes votant pour \og{} A\fg{} dans une enquête avec  remise effectuée auprès de \numprint{1000} personnes ? 

\item Étant donné le résultat de l'enquête SOFOS. donner un intervalle de confiance à 95\:\% pour l'estimation de $p$. 


\item Peut-on affirmer d'après l'enquête que le candidat \og{}A\fg{} n'aura pas la majorité des votes, c'est- à-dire que p < 0,5 ? 

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Solution}}
\begin{enumerate}
\item ¿ chaque étape de l'enquête, il y a une probabilité $p$ de tirer une personne votant pour \og{} A \fg{}, car on procède à des tirages avec remise. De plus, les \numprint{1000} tirages sont effectués de façon indépendante. L'enquête est donc un schéma de Bernoulli dont chaque succès correspond à tirer une personne  votant pour \og{} A \fg{}, \\
Le nombre de personnes votant pour \og{}A\fg{} dans l'enquête suit donc une loi binomiale $\mathscr{B(\numprint{1000}~;~p)}$ où $p$ est inconnu. 

\item Notons $F$ la proportion de personnes votant pour \og{}A\fg{} parmi \numprint{1000}.\\
D'après le cours, si $n\geqslant 30$, $np > 5$ ,$n(1-p)>5$, un intervalle de confiance au niveau  95\\\%  pour $p$ est $\left[F-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}~;~F+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}\right]$.\\
Ici, $n=\numprint{1000}>30$, $np\geqslant 5\Leftrightarrow p\geqslant 0,005$ et $n(1-p)\geqslant 5\Leftrightarrow p\leqslant 0,995$.\\
On ne connaît pas $p$, mais au vu de l'enquête, $f=0,49$, donc on peut raisonnablement penser que $p$ les conditions sont vérifiées.\\
L'intervalle de confiance est $\left[0,49-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}~;~0,49+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}\right]=[0,458~;~0,522]$.


\item L'intervalle de confiance précédent montre qu'il est tut à fait possible que $p\geqslant 0,5$.\\
 Donc il n'est pas raisonnable d'affirmer suite à l'enquête que le candidat \og{}A\fg{} n'obtiendra pas majorité des votes. 


\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  
 
 
