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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Rappels sur le second degré}}\end{center}

\tableofcontents

\bigskip

\noindent On appelle polynôme du second degré une expression du type $ax^2+bx+c$où $a$, $b$ et $c$ sont réels, avec $a\neq 0$.

\subsection{\textcolor{blue}{Forme canonique}}
Pour résoudre une équation polynomiale du second degré ou trouver le signe de $ax^2+bx+c$, on commence par transformer le polynôme du second degré pour le mettre sous sa forme dite \og{} \textbf{\textcolor{red}{forme canonique}}\fg.\\

\noindent $ax^2+bc+c=a\left[x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]\\
=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$.\\
On pose $\boxed{\textcolor{red}{\Delta=b^2-4ac}}$ (\textbf{discriminant}).\\
Alors : $ax^2+bc+c=\boxed{\textcolor{red}{a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]}}$ (\textbf{forme canonique})

\subsection{\textcolor{blue}{Équation $\mathbf{ax^2+bx+c=0}$}}
L'équation $ax^2+bc+c=0$ s'écrit successivement $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{5a^2}\right]=0$, puis, en divisant par $a$ non nul : \[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{5a^2}=0\]
On est amené à distinguer trois cas, selon le signe de $\Delta$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Premier cas :}} $\Delta<0$\\
Comme $\Delta<0$, $-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$ (car $4a^2>0$).\\
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\geqslant 0$ comme carré d'un nombre réel.\\
Par somme, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta<0}{4a^2}>0$ (comme somme de deux nombres positifs) pour tout $x$.\\
L'équation  $ax^2+bc+c=0$ n'a donc \textbf{\textcolor{blue}{aucune}} solution.

\bigskip

\item \textbf{\textcolor{red}{Deuxième cas :}} $\Delta=0$.\\
Alors l'équation $ax^2+bc+c=0$ s'écrit $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{5a^2}=0$ puis $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ puisque $\Delta=0$.\\
On obtient $x+\dfrac{b}{2a}=0$ donc $x=-\dfrac{b}{2a}$.\\
L'équation a \textbf{\textcolor{blue}{une seule}} solution : $x=-\dfrac{b}{2a}$.

\bigskip

\item \textcolor{red}{\textbf{Troisième cas :}} $\Delta=0$.\\
Alors l'équation $ax^2+bc+c=0$ s'écrit $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{5a^2}=0$\\
d'où $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2=0$.\\
On factorise avec la troisième identité remarquable (différence de deux carrés) :\\
On obtient $\left[x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\left[x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0$\\
donc $\left[x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\left[x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0$.\\
On produit de facteurs  est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\

\begin{enumerate}[a)]
\item $x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}=0$ donc $x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

\item $x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}=0$ donc $x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
\end{enumerate}
L'équation a donc \textbf{\textcolor{blue}{deux}} solutions : 
$\boxed{\textcolor{red}{x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\text{ et }x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}}$
\end{enumerate}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Résumé :}} \\
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\Delta<0$ : pas de solution

\item $\Delta=0$ : une solution : $x=-\dfrac{b}{2a}$

\item $\Delta>0$ : deux solutions :\\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
\end{enumerate}

\end{minipage}}
\end{center}
\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit l'équation $2x^2-3x+12=0$ ; $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 12=9-96=-87<0$.\\
$\Delta<0$ donc l'équation n'a pas de solution : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\item Soit l'équation $2x^2+12x+18=0$.\\
$\Delta=12^2-4\times 2\times 18=144-144=0$.\\
L'équation a une solution : $x=-\dfrac{b}{2a}$ avec $a=2$ et $b=12$, donc $x=-\dfrac{12}{4}=-3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{3\}}}$.

\item $3x^2+5x+1=0$ ; $\Delta=b^2-4ac$ avec $a=3$, $b=5$ et $c=1$ donc $\Delta=13>0$.\\
L'équation a deux solutions : \\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{13}}{6}$.\\
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{13}}{6}$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-5-\sqrt{13}}{6}~;~\dfrac{-5+\sqrt{13}}{6}\right\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Signe de $\mathbf{ax^2+bx+c}$}}
On repart de la forme canonique : $ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{4a^2}\right]$.\\
On retrouve  trois cas, selon le signe de $\Delta$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textcolor{red}{$\mathbf{\Delta<0}$}.\\
Alors $\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{4a^2}\right]>0$ donc $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$, coefficient de $x^2$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }ax^2+bx+c&&\textcolor{blue}{\text{Signe de }a}&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\bigskip

\item \textcolor{red}{$\mathbf{\Delta=0}$}.\\
$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$.\\
$x+\dfrac{b}{2a}$ s'annule pour $x=-\dfrac{b}{2a}$ donc $ax^2+bx+c$ est nul pour $x=-\dfrac{b}{2a}$ et du signe de $a$ pour les autres valeurs de $a$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{2a}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }ax^2+bx+c&&\textcolor{blue}{\text{Signe de }a}&\z&\textcolor{blue}{\text{Signe de }a}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\bigskip

\item \textcolor{red}{$\mathbf{\Delta>0}$}.\\
En reprendra tels calculs du II, on obtient $ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.\\
On suppose que $x_1<x_2$ (le résultat final est le même si $x_2<x_1$)
On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&x_1&&x_2&&\pI\\
\hline
x-x_1&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
x-x_2&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }ax^2+bx+c&&\textcolor{blue}{\text{Signe de }a}&\z&\textcolor{blue}{\text{Signe de }-a}&\z&\textcolor{blue}{\text{Signe de }a}&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}


\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  \textcolor{blue}{Signe de $2x^2-3x+3$}.\\
$\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 3=9-24=-15<0$.\\
Comme $\Delta<0$, l'expression est du signe de $a=2$ pour tout $x$, donc positif pour tout $x$.

\bigskip

\item \textcolor{blue}{Signe de $-3x^2+3x+1$}.\\
$\Delta=3^2-4\times (-3)\times 1=9+12=21$.\\
Les deux racines sont :\\
$x_1=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{2\times (-3)}=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{-6}=\dfrac{3+\sqrt{21}}{6}$.\\
$x_2=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{2\times (-3)}=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{-6}=\dfrac{3-\sqrt{21}}{6}$.\\
On en déduit le tableau de signe suivant :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{3-\sqrt{21}}{6}&&\dfrac{3+\sqrt{21}}{6}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }-3x^2+3x+1&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} la courbe représentative de la fonction $x\mapsto -3x^2+3x+1$ est une parabole tournée vers le bas, puisque le coefficient de $x^2$ est négatif (cours de seconde).\\
Voilà la courbe :\\
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-5)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-5)(4,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-5)(4,4)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-1.0}{2.0}{-3*x^2+3*x+1}
\end{pspicture*}
\end{center}
On retrouve bien les signes annoncés.

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  