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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS3 : devoir sur feuille \no 1 }}\end{center}

`


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^{4}-2x^{2}-3=0$.

\subsection{}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\dfrac{(2x+1)(3x-4)}{(x+1)(x+3)}\leqslant 0$.

\subsection{}
Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ avec $n\geqslant 6$, \[2^{n}>6n+7.\]

\subsection{}
$P(n)$ est la propriété : \og{} $4^{n}+1$ est un multiple de 3\fg{} où $n$ désigne un entier naturel.

\begin{enumerate}
\item Montrer que cette propriété est héréditaire.

\item Peut-on en déduire qu'elle est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ ?
\end{enumerate}


\subsection{}
$t$ est la suite définie par $t_{0}=0$ et, pour tout entier naturel $n$, \[t_{n+1}=t_{n}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $t_{1}$, $t_{2}$ et $t_{3}$ sous forme de fraction irréductible.

\item Émettre une conjecture sur l'expression de $t_{n}$ sous forme de fraction;

\item Démontrer par récurrence l'expression conjecturée au 2.
\end{enumerate}

\subsection{}
\noindent Un carré d'aire 1 m$^{2}$ est divisé en neuf carrés identiques comme indiqué sur la figure ci-dessous.\\
On colorie le carré central. Les huit carrés restant sont tour à tour divisés en neuf carrés égaux. on poursuit avec la même méthode la division et le coloriage du carré.\\
Pour tout nombre entier naturel $n\geqslant 1$, on note $A_{n}$ l'aire, en m$^{2}$, de la surface totale coloriée après $n$ coloriages.\\
Ainsi a-t-on $A_{1}=\dfrac{1}{9}$.
\begin{enumerate}
\item 

Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$ : \[A_{n+1}=\dfrac{8}{9}A_{n}+\dfrac{1}{9}.\]

\item Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on pose \[B_{n}=A_{n}-1.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(B_{n}\right)$ est géométrique.

\item En déduire que, pour tout $n\geqslant 1$, l'expression de $B_{n}$ puis de $A_{n}$ en fonction de $n$.

\item Étudier la limite de la suite $\left(A_{n}\right)$.

\item Déterminer à partir de combien d'étapes on aura 85\:\% du carré initial.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
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\begin{pspicture*}(0,0)(9,9)
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%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pspolygon[fillcolor=cyan!60,fillstyle=solid,opacity=0.45](1,4)(2,4)(2,5)(1,5)
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%%%%%%%%%%%%%%%
\pspolygon[fillcolor=cyan!60,fillstyle=solid,opacity=0.45](1,7)(2,7)(2,8)(1,8)
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\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  