\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{section}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Continuité d'une fonction :}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\bigskip


\section{\textcolor{red}{Langage de la continuité}}

\subsection{\textcolor{blue}{Définition de la continuité :}}
\begin{minipage}{16cm}\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{Définition}}}
Soit $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ est un réel de $I$.\\
$f$ est continue en $a$ signifie que $f$ admet une limite en $a$ égale à $f(a)$.\\
$f$ est continue sur l'intervalle $I$ signifie que $f$ est continue en chaque point $a$ de $I$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\noindent \textcolor{red}{Exemple :} Soit $f$ la fonction définie sur $I=]1;+\infty[$ par : $f(x) =\frac{1}{x-1}$.\\
La fonction $f$ est continue en $2$ car : $f(2) = 1$ et $\lim_{x\rightarrow 2}f(x) = 1$.\\
Plus généralement, cette fonction est continue sur $I$.

\subsubsection {\textcolor{blue}{Illustration graphique :}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcsmbh]{}
De manière intuitive, on reconnaît graphiquement qu'une fonction est continue lorsque sa courbe peut Ítre tracée sans lever le crayon. (attention, cela ne constitue pas une preuve !)
\end{bclogo}

\textcolor{red}{Exemple :} la fonction carré est continue :\\
En effet, pour tout $a\in\mathbb{R}$, $\lim_{x\rightarrow a}x^2=a^2$ ;  on peut donc tracer la parabole sans lever le crayon.\\\\
\textbf{\textcolor{red}{Existe-t-il des fonctions non continues ?}} Oui, il suffit de tracer une courbe avec une rupture dans le tracé ; la fonction associée n'est alors pas continue.

\subsubsection{\textcolor{blue}{ Exemple d'une fonction explicite non continue : la fonction \og Partie entière \fg}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{Définition}}}
Soit $x$ un réel. Il existe alors un entier relatif $n$ unique tel que : $n\leq x < n + 1$. On définit alors la fonction partie entière, notée $E$, par : $E(x) = n$.
\end{bclogo}


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}} $E(2, 3) = 2$ ;$ E(3) = 3 $; $E(-4, 12) =-5$ (\textbf{\textcolor{blue}{attention aux nombres négatifs}}).\\

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}}Cette fonction est constante sur chaque intervalle de la forme $[n; n + 1[$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Représentation graphique :}}\\

\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,5)
\psaxes[xunit=1cm , yunit=1cm , linewidth=0.2mm]{->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\newcounter{j}\setcounter{j}{0}
\multido{\i=-3+1}{9}%
{\setcounter{j}{\i+1}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{-}(\i,\i)(\value{j},\i)}%
\psarc(-1.7,-3){0.3}{150}{210}
\psarc(-0.7,-2){0.3}{150}{210}
\psarc(0.3,-1){0.3}{150}{210}
\psarc(1.3,0){0.3}{150}{210}
\psarc(2.3,1){0.3}{150}{210}
\psarc(3.3,2){0.3}{150}{210}
\psarc(4.3,3){0.3}{150}{210}
\psarc(5.3,4){0.3}{150}{210}
\psarc(6.3,5){0.3}{150}{210}
\end{pspicture}
\end{center}
Sur $[n~;~n+1[$, $E(x)=x$.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow n\\x>n}}E(x)=n$ puisque $E(x)=n$ sur $[n~;~n+1[$\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow n\\x<n}}E(x)=n-1$ puisque $E(x)=n-1$ sur $[n-1~;~n[$\\
$E(n)=n$.\\
On n'a donc pas $\lim_{x\rightarrow n}E(x)=E(n)$ : $E$ n'est pas continue en $n$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcsmbh]{\textbf{\textcolor{red}{Exemple de fonction discontinue partout (hors-programme !)}}}
La fonction $f$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}f(x)=0\text{ si }x\in\mathbb{Q}\\ f((x)=1\text{ si }x\notin \mathbb{Q}\end{array}\right.$ est discontinue en tout réel $a$ de $\mathbb{R}$.\\
Cela vient de la structure des réels. Pour chaque nombre rationnel (pouvant d'écrire comme quotient d'entiers), on peut toujours trouver un irrationnel aussi proche que l'on veut de ce rationnel et on peut approcher aussi près que l'on veut un irrationnel par un rationnel
\end{bclogo}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Différents types de discontinuité}}
Y a-t-il différents types de discontinuité ? Oui !\\
Une fonction $f$ est continue en $a$ si, et seulement si, elle a une limite à  gauche et une limite à  droite en $a$ et que ces deux limites sont égales à  $f(a)$.\\
Elle peut donc Ítre discontinue en $a$ pour plusieurs raisons.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  \textbf{\textcolor{red}{Première raison possible :}} $f$ admet une limite à  gauche et à droite en $a$, mais ces deux limites ne sont pas égales.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} Soit $f$ définie par : $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos (x)\text{ sur }[0~;~1]\\\cos(x-1)\text{ sur }[1~;~2]\end{array}\right.$.
\begin{center}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(3,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(3,2)
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{cos(x)}
\psplot[plotpoints=200]{1.0}{2.0}{cos(x-1)}
\psdots(1,0.54)
\psarc(1.1,1){0.3}{150}{210}
\end{pspicture*}
\end{center}


\item \textbf{\textcolor{red}{Deuxième raison possible : }}\\
\parbox{10cm}{$f$ admet une limite commune à  gauche et à  droite en $a$, mais $f$ n'est pas définie en $a$ ou admet une autre valeur que la limite
commune.
 C'est le cas par exemple de la fonction sinus amorti, très importante en physique, définie par : 
\[f~:~x\mapsto \frac{\sin x}{x}\ \text{ pour tout } x\neq 0\]}\hfill
\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-13,-0.5)(13,1.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-13,-0.5)(13,1.5)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-12.566370614359172}{1.1002483646382899E-14}{sin(x)/x}
\psplot[plotpoints=200]{1.0000000011002484E-5}{12.566370614359172}{sin(x)/x}
\end{pspicture*}
\end{center}}\\
Bien que cette fonction ne soit pas définie en 0, cela \og ne se voit pas\fg~ graphiquement.\\
En effet, pour $x\neq 0$, on peut écrire $\dfrac{\sin(x)}{x}=\dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}$, qui tend vers $\sin'(0)$ quand $x$ tend vers 0, c'est-à-dire vers $\cos(0)=1$.\\
Par conséquent : $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$.\\
On peut alors \textbf{\textcolor{blue}{prolonger $f$ par continuité}} en définissant une fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x)\text{ pour }x\neq 0\\1\text{ pour }x=0\end{array}\right.\]
On obtient ainsi une fonction $g$ \textbf{définie et continue} sur $\mathbb{R}$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Troisième raison possible}}, et les choses deviennent compliquées~: $f$ n'a pas de limite à  droite ou à  gauche en $a$. Il faut bien
avouer que dans la pratique, presque toutes les fonctions ont une limite à  gauche et à  droite. Mais il faut avoir vu ces
contre-exemples une fois dans sa vie, pour bien comprendre la théorie et pour Ítre s˚r de donner des définitions cohérentes, comme celui de la fonction $f$ définie par
\[f(x)=\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\text{ pour tout }x\neq 0\text{ et }f(0)=0\]
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-1.5)(4,1.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-3.141592653589793}{2.7506209115957247E-15}{cos(1/x)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{1.0000000002750622E-5}{3.141592653589793}{cos(1/x)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{red}{Dérivabilité et continuité :}}
%
%\begin{minipage}{12cm}\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{Théorème}}}
%Soit $f$ une fonction dérivable en un nombre $a$ d'un intervalle $I$.\\
%Alors $f$  est continue en $a$.\\
%\end{bclogo}
%\end{minipage}
%
%\textcolor{blue}{Démonstration :} \\
%$f$ est dérivable en $a$. $f(a+h)=f(a)+f'(a)h=h\varphi(h)$ o˘ $\lim_{h\rightarrow 0}\varphi(h)=0$. \\
%Alors,  $\lim_{h\rightarrow 0}f(a+h)=\lim_{h\rightarrow 0}[f(a)+f'(a)h=h\varphi(h)]=f(a)$ donc $f$ est continue en $a$.\\
%
%\begin{minipage}{16cm}\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcdanger]{\textbf{\textcolor{red}{Remarque}}}
%La réciproque est fausse (une fonction peut Ítre continue sans Ítre dérivable.) \\
%\textbf{\textcolor{red}{Exemple : }}La fonction valeur absolue est continue en 0 mais non dérivable en ce point.
%\end{bclogo}
%\end{minipage}

\section{\textcolor{red}{Continuité des fonctions usuelles :}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{}\textcolor{red}{Théorème}}
Les fonctions polynômes, la fonction sinus, la fonction cosinus sont continues sur $\mathbb{R}$. La fonction racine carrée est continue sur $[0;+\infty[$.\\
La somme, le produit, le quotient et la composée de deux fonctions continues est une fonction continue sur leur ensemble de définition.
\end{bclogo}
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} Cela vient des propriétés sur les calculs de limites (voir chapitre sur les limites)\\

\textbf{\textcolor{blue}{Exercice :}}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x si x\leq  0$, $f(x) = x^2$ si $0 < x < 1$, $f(x) = m$ si $x\geq  1$.\\
\begin{enumerate}
\item $m = 2$. La fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$?
\item Pour quelle valeur de $m$ la fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Le théorème des valeurs intermédiaires :}}

\subsection{\textcolor{blue}{Théorème}}

\textbf{\textcolor{red}{Approche :}}\\
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3; 3]$. Soit $k$ un nombre compris entre $f(-3)$ et $f(3)$.\\
Existe-t-il un nombre $x$ tel que $f(x)=k$ ?\\

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Cas d'une fonction non continue.}}\\
Par exemple, reprenons le cas de la fonction définie par $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos (x)\text{ sur }[0~;~1]\\\cos(x-1)\text{ sur }[1~;~2]\end{array}\right.$.\\
Considérons l'équation $f(x)=0,7$ sur l'intervalle $\left[0.8~;~1,2\right]$.\\
Il est clair graphiquement que l'équation  n'a pas de solution.
\begin{center}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(3,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(3,2)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{0.0}{1.0}{cos(x)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{1.0}{2.0}{cos(x-1)}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=1.5pt](0,0.7)(2,0.7)
\end{pspicture*}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Cas d'une fonction continue.}}\\
Comme la courbe se trace sans lever le crayon, il semble intuitivement que l'équation $f(x)=k$ ait au moins une solution
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{}\textcolor{red}{Théorème des valeurs intermédiaires}}
$f$ est une fonction \textbf{\textcolor{red}{continue}} définie sur un intervalle $I$.\\
Soient $a$ et $b$ deux réels de $I$.\\
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe \textbf{au moins} un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = k$.
\end{bclogo}

%\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
%Supposons $a\leqslant b$ et $f(a)\leqslant k\leqslant f(b)$.\\
%Nous allons définir par récurrence deux suites $\left(a_{n}\right)$ et  $\left(b_{n}\right)$.\\
%On pose $a_{0}=a$ et $b_{0}=b$.\\
%Pour $n\geqslant 1$, on définit les suites ainsi :
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item Si $\dfrac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$ tet tel que $f\left(\dfrac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)\right)\geqslant k$, alors on pose $b_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$ et $a_{n+1}=a_{n}$.
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-7,-1)(7,1)
%\psline(-6,0)(6,0)
%\psdots(-4,0)(0,0)(4,0)
%\uput[d](-4,0){$a_{n+1}=a_{n}$}
%\uput[d](0,0){$b_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$}
%\uput[d](4,0){$b_{n}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-7,-1)(7,1)
%\psline(-6,0)(6,0)
%\psdots(-4,0)(0,0)(4,0)
%\uput[d](-4,0){$f\left(a_{n+1}\right)=f\left(a_{n}\right)$}
%\uput[d](0,0){$k$}
%\uput[d](4,0){$f\left(b_{n+1}=f\left(\dfrac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)\right)\right)$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\item Sinon, on pose $a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$ et $b_{n+1}=b_{n}$
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-7,-1)(7,1)
%\psline(-6,0)(6,0)
%\psdots(-4,0)(0,0)(4,0)
%\uput[d](-4,0){$a_{n}$}
%\uput[d](0,0){$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$}
%\uput[d](4,0){$b_{n+1}=b_{n}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-7,-1)(7,1)
%\psline(-6,0)(6,0)
%\psdots(-4,0)(0,0)(4,0)
%\uput[d](-4,0){$f\left(a_{n+1}=f\left(\dfrac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)\right)$}
%\uput[d](0,0){$k$}
%\uput[d](4,0){$f\left(b_{n+1}\right)=f\left(b_{n}\right)$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{enumerate}
%
%\noindent \textbf{Dans tous les cas}, on a : $a_{n}\leqslant a_{n+1}\leqslant b_{n+1}\leqslant b_{n}$ et $f\left(a_{n+1}\right)\leqslant k\leqslant f\left(b_{n+1}\right)$.\\
%La suite $\left(a_{n}\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{croissante}} et la suite $\left(b_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.\\
%Pour tout $n$, $b_{n+1}-b_{n}=\dfrac{1}{2}\left(b_{n}-a_{n}\right)$, donc la suite $\left(b_{n}-a_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.\\
%Pour tout $n$, on a : $b_{n}-a_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times \left(b_{0}-a_{0}\right)$.\\
%Comme $-1<\dfrac{1}{2}<1$, on a : $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.\\
%On en déduit que les suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ sont \textbf{\textcolor{red}{adjacentes}} ; elles ont mÍme limite, que l'on note $c$.\\
%Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a : $a_{n}\leqslant c\leqslant b_{n}$, donc $a\leqslant c\leqslant b$.\\
%Comme $f$ est continue sur $[a~;~b]$, $\left(f\left(a_{n}\right)\right)$ et $\left(f\left(b_{n}\right)\right)$ convergent vers $f(c)$.\\
%Or $f\left(a_{n}\right)\leqslant k\leqslant f\left(b_{n}\right)$ avec $f\left(a_{n}\right)$ et $f\left(b_{n}\right)$ qui convergent vers $f(c)$. \\
%D'après le\textbf{ \textcolor{blue}{théorème des gendarmes}}, $\boxed{\textcolor{red}{k=f(c)}}$.\\
%
%\noindent Lorsque $f(b)\leqslant k\leqslant f(a)$, on fait le mÍme type de raisonnement.}\\

\bigskip


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} c'est un \textbf{\textcolor{red}{théorème d'existence}} ; il ne donne pas la valeur d'un solution. D'ailleurs, la plupart du temps, on se sert de ce théorème pour montrer l'existence d'une solution qu'on ne sait pas trouver de fa\c con explicite.

\bigskip


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textbf{\textcolor{red}{Interprétation graphique :}}}
Si $(\mathcal{C})$ est la courbe représentative de $f$ continue sur $[a ;b]$, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, la droite d'équation $y = k$ coupe au moins une fois la courbe $(\mathcal{C})$ en un point d'abscisse $c$ comprise entre $a$ et $b$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Interprétation en terme d'équation :}}\\
$f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ comprenant $a$ et $b$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet \textbf{au moins} une solution $c$ comprise entre $a$ et $b$.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Exercice :}}
Soit $(E)$ l'équation : $\cos(2x) = 2\sin x -2$.\\
Démontrer que $(E)$ admet au moins une solution dans l'intervalle $\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right]$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Solution :}} L'équation s'écrit : $f(x) = -2$ avec $f(x) = \cos(2x) - 2\sin(x)$.
$f$ est continue.  -2 est compris entre $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ et $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Autres exercices :}}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. $a$ et $b$ sont des réels de $I$ tels que $f(a)f(b)<0$. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution comprise entre $a$ et $b$.

\item Démontrer que l'équation $x^3 + 4x^2 + 4x + 2 = 0$ admet au moins une solution comprise entre -3 et -1.\\
On pose $f(x)=x^3 + 4x^2 + 4x + 2$ ; $f(-3)=-1<0$ ; $f(-1)=1>0$ ; $f$ est continue, donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-3~;~-1]$.\\
Pour savoir le nombre exact de solutions de l'équation $f(x)=0$, il faut étudier les variations de $f$.

\item Montrer qu'un polynôme de degré impair a au moins une racine réelle.

\item Un randonneur parcourt 10 km en deux heures exactement. Montrer qu'il y a un intervalle de temps de durée une heure exactement durant lequel il parcourt exactement 5 km.\\
On note $d(t)$ le temps parcouru au bout de $t$ heures $(0\leqslant t\leqslant 2)$ et on considère la fonction $u~:~t\mapsto d(t+1)-d(t)$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Solution :}}\\
$u(0)=d(1)$ et $u(1)=d(2)-d(1)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $u(1)=5$, l'intervalle $[0~;~1]$ convient.

\item Si $u(1)<5$, alors $u(0)<5$ et $u(1)>5$ ; comme $u$ est continue, l'équation $u(t)=5$ a une solution.

\item Si $u(1)>5$, alors $u(0)>5$ et $u(1)<5$ ; comme $u$ est continue, l'équation $u(t)=5$ a une solution.
\end{enumerate}

\item Montrer qu'à un instant donné, il y a deux points diamétralement opposés de l'équateur en lesquels on a exactement la mÍme température.\\

\textbf{\textcolor{red}{Solution :}}\\
Déjà on peut se mettre d'accord sur le fait que si vous vous déplacez pas à pas sur la ligne de l'équateur, la température évoluera de faÁon continue : peu de chance d'avoir un "saut " brutal de température.\\
Voilà déjà la continuité qui fait son apparition, c'est un bon début\dots\\

Considérons maintenant la fonction $T$ qui, à un point de l'équateur, associe la différence de température entre ce point et le point qui lui est diamétralement opposé. Nous voilà avec une fonction qui sera continue d'après la remarque précédente.\\
Prenons un point A de l'équateur au hasard. De deux choses l'une :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit au point B diamétralement opposé à A, la température est la mÍme qu'en A et dans ce cas notre point A est un point qui répond au problème posé.

\item Soit la température y est différente. Supposons la inférieure par exemple. Dans ce cas T (A) a un signe strictement positif.\\
Plaçons nous en B : T(B) = - T(A) donc T(B) est négatif strictement.\\

Appliquons notre théorème des valeurs intermédiaires : il y a obligatoirement quelque part entre A et B un point $M$ de l'équateur o˘ on aura $T (M) = 0$. Mais cela signifie que en M et au point qui lui est diamétralement opposé les températures sont identiques.\\
Maintenant si vous supposez la température en B supérieure à celle de A, le raisonnement s'adapte sans problème.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Cas des fonctions continues strictement monotones :}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{Théorème}}}
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a ;b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une solution \textcolor{red}{unique}.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}\\
L'existence d'une solution vient du théorème des valeurs intermédiaires.\\
L'unicité vient de la stricte monotonie.\\


\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} Tableaux de variations :\\
Par convention, les  flèches obliques d'un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré.

\subsection{\textcolor{blue}{Bijection}}


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{Définition}}}
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $F$ à valeurs dans $G$.\\
On dit que $f$ est bijective de $F$ sur $G$ ou que $f$ est une bijection de $f$ sur $G$ si tout élément de $F$ a une image (unique) dans $G$ et \textcolor{red}{si tout élément de $G$ a un antécédent unique dans $F$}. \\
\emph{(en anglais : a one-to-one function).}\\
On peut alors définir une fonction réciproque de $f$, notée $f^{-1}$, de $G$ sur $F$.
\end{bclogo}

\bigskip


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{Théorème}}}
Soit une fonction continue stristement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$.
\end{bclogo}

\textcolor{blue}{Exemple :} Soit $f$ la fonction $\tan$ définie sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.\\
Elle est continue, strictement croissante. $\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi}{2}}\tan(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\tan(x)=+\infty$.\\
C'est donc une bijection de $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ sur $\mathbb{R}$. On peut donc définir la fonction réciproque de $\tan$, qui est appelée fonction $\arctan$ (arctangente).\\
$\arctan : \begin{array}{l}\mathbb{R}\rightarrow \left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[\\x\mapsto\arctan (x)\end{array}$\\
$y=\arctan(x)\Leftrightarrow x=\arctan(y)$

\subsection{\textcolor{blue}{Approximation des solutions d'une équation du type $f(x)=k$}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item méthode du balayage
\item dichotomie : on coupe l'intervalle en deux à chaque étape.
\item utilisation de la fonction Solve de la calculatrice
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Suites définies par récurrence}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue, alors $f(\ell)=\ell$.
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n+1}=\ell$, c'est-à-dire $\lim_{n\rightarrow +\infty}f\left(u_{n}\right)=\ell$.

\item Comme $f$ est continue, puisque $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}f\left(u_{n}\right)=f\left(\ell\right)$.

\item La limite d'une suite est unique, donc $\ell=f\left(\ell\right)$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Appplication (suite de Héron) :}} Soit la suite $u$ définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{3}{u_n}\right)=f(u_n)$ avec \\
$f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{3}{x}\right)$.\\

On montre successivement que :
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est décroissante sur $]0 ;\sqrt{3}]$ et croissante sur $[\sqrt{3} ;+\infty[$ et $f(\sqrt{3})=\sqrt{3}$.
\item Pour tout $n$, $u_n>\sqrt{3}$ (par récurrence sur $n$)
\item La suite $(u_n)$ est décroisssante
\item $(u_n)$ est convergente (décroissante minorée)
\item La limite $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$ avec $x>0$, d'o˘ $\ell=\sqrt{3}$.
\item On remarque que la convergence vers $\sqrt{3}$ ne dépend pas du premier terme de la suite
\item Si on avait pris $u_0$ dans l'intervalle $]0 ;\sqrt{3}[$, le deuxième terme est supérieur à $\sqrt{3}$ et on est ramené au cas précédent.
\item On peut remarquer que la suite converge assez vite vers sa limite.
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document} 

\end{document} 


