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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}

\emph{Les mathématiques devraient être regardées comme l'alphabet de toute philosophie. (Francis Bacon)
%voir http://villemin.gerard.free.fr/Langue/EnMotsRe.htm
}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $3x^2-5x-1=0$

\medskip

\item $x^4+4x^2-21=0$
\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre l'inéquation $\dfrac{3x+5}{x+2}\geqslant \dfrac{2x+1}{x-1}$.


\subsection{}
%http://www.rosamaths.fr/labowp/wp-content/uploads/2014/07/Fonctions-rationnelles.pdf
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$ par \[f(x)=\dfrac{-2x^2+6x-7}{2x-1}.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $f$ et vérifier que pour tout $x\in\mathscr{D}_f$ : \[f'(x)=\dfrac{-4x^2+4x+8}{(2x-1)^2}.\]

\item Étudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}


\item Établir l’équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$, représentative de de $f$, au point d’abscisse 0.

\item Déterminer les abscisses éventuelles des points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 3.

\item Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$.
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}
%http://www.rosamaths.fr/labowp/wp-content/uploads/2014/07/Fonctions-rationnelles.pdf

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par \[f(x)=\dfrac{x^3-2x^2}{(x-1)^2}.\]

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)$ s'écrit sous la forme : $f(x)=x-\dfrac{x}{(x-1)^2}$ pour tout $x\in\mathscr{D}_f$.

\item Etudier la position de $\mathscr{C}_f$ par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
\end{enumerate}


\item Calculer $f'(x)$ et montrer que \[f'(x)=\dfrac{x(x-1)\left(x^2-3x+4\right)}{(x-1)^4}.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'(x)$ à l’aide d’un tableau de signes.

\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ avec les axes du repère.

\item Déterminer l’ abscisse du point de la courbe où la tangente est parallèle à la droite $\Delta$.

\end{enumerate}

\item Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$ et la droite $\Delta$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[\left\{\begin{array}{l}u_0=-3\\u_{n+1}=5-4u_n\end{array}\right..\]

\bigskip

\noindent Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=(-4)^{n+1}+1$.

\subsection{}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[\left\{\begin{array}{l}u_0=\frac12\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{u_n+2}\end{array}\right..\]

\bigskip

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0<u_n<1$.

%voir http://www.educastream.com/raisonnement-recurrence-terminale-s

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  