\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Fonctions logarithmes népérien et décimal}}}
\date{}
\author{}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Définition}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Définitions}}
\textbf{\textcolor{red}{Rappel :}}\\
Tout nombre  $x$ de $\mathbb{R}$ a une unique image par la fonction $\exp$ (comme pour toute fonction).\\
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel $y$ de $]0 ;+\infty[$, il existe un unique réel $x$ tel que $e^x=y$. (voir interprétation  graphique).

\bigskip

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&x&&\pI\\
\hline
\m{\mathrm{e}^{x}}&\mI&\cb&\m{y}&\ch&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

Chaque réel de $\mathbb{R}$ a une image unique dans $]0~;~+\infty[$ et réciproquement, chaque réel de $]0~;~+\infty[$ a un antécédent unique par cette fonction exponentielle.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On dit que la fonction $\exp$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
Si $e^x=y$, on dit que $x$ est le logarithme népérien de $y$.\\
La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $]0 ;+\infty[$ qui, à tout réel $x>0$, associe le nombre noté $\ln (x)$ ou $\ln x$ dont l'exponentielle vaut $x$.
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textcolor{red}{Conséquences :}
\begin{enumerate}[a)]
\item Pour tout réel $x>0$, $e^{\ln x}=x$.

\item Pour tout réel $x>0$ et tout réel $y$, $e^y=x\Leftrightarrow y=\ln x$.

\item Pour tout réel $x$, $\ln(e^x)=x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
a) et b) se déduisent directement de la définition.\\
Pour c) : Pour tout réel $x$, on pose $y=\ln(e^x)$ ; alors d'après a), $y=e^x$ donc $x=y$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Autres conséquences :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln 1=0$. En effet, $e^0=1$ et d'après (1), cela équivaut à $\ln 1=0$.

\item $\ln e=1$. En effet, $e^1=e$ et on applique (1).

\item Pour tout réel $\lambda$, l'équation $\ln x=\lambda$ a pour unique solution $x=e^\lambda$ (d'après (1)).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
$M'(x ;y)\in \mathcal{C}'\Leftrightarrow y=\ln x\Leftrightarrow x=e^y\Leftrightarrow M(y ;x)\in \mathcal{C}$. $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$, donc les deux courbes également. \\

\begin{pspicture}(-6,-8)(8,17)
\psset{xunit=0.8}\psset{yunit=0.8}
\psline[linewidth=1pt](-6,0)(10,0)
\psline[linewidth=1pt](0,-10)(0,20)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](1,0){1}
\uput[l](0,1){1}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-6,-10)(10,20)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=100]{-6}{3}{2.71828 x exp}
\psplot[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{-1}{10}{ x }
\uput[u](10,10){$y=x$}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=100]{0.01}{10}{ x ln}
\psline{<->}(-0.5,0.5)(0.5,1.5)
\pspolygon[fillcolor=red!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.994528049465325,4.394528049465325)(5.294528049465326,4.694528049465325)(4.994528049465325,4.994528049465325)(4.694528049465325,4.694528049465325)
\psline[linewidth=3pt,linecolor=green](2,7.389)(7.389,2)
\uput[u](10,2.3){$y=\ln x$}
\uput[l](1,2.718){$y=\mathrm{e}^{x}$}
\end{pspicture}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Sens de variation}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0 ;+\infty[$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :
$a$ et $b$ sont deux réels tels que $0<a<b$. Cela équivaut à : $e^{\ln a}<e^{\ln b}\Leftrightarrow \ln a < \ln b$ puisque la fonction exponentielle est croissante.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conséquences :}}\\
Soient $a$ et $b$ deux réels de $]0 ;+\infty[$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln a=\ln b\Leftrightarrow a=b.$

\item $\ln a<\ln b\Leftrightarrow a<b.$

\item $\ln a<0\Leftrightarrow a<1.$

\item $\ln a>0\Leftrightarrow a>1.$
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercices d'application :}}
\begin{enumerate}[a)]
\item Résoudre : $\ln x=-5$\\
$\ln x=-5\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=e^{-5}}}$

\item Résoudre l'équation $\ln (3x+2)=7$\\
On commence par résoudre l'inéquation $3x+2>0$ soit $x>-\frac{2}{3}$.\\
On obtient alors : $\boxed{\textcolor{red}{x=\frac{e^7-2}{3}}}$. Il reste à vérifier si la solution appartient à l'intervalle de définition.

\item Résoudre l'inéquation $\ln(2+x)\geqslant 100$
Ensemble de définition : $x+2>0\Leftrightarrow x>-2$.\\
Pour $x>-2$, $\ln(2+x)\geqslant 100\Leftrightarrow \mathrm{e}^{\ln(2+x)}\geqslant \mathrm{e}^{100}\Leftrightarrow 2+x\geqslant \mathrm{e}^{100}$ (car $\exp$ est croissante).\\
On en déduit : $x\geqslant \mathrm{e}^{100}-2>-2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\mathrm{e}^{100}-2\right\}}}$

\item Résoudre l'équation $\ln (x^2-9)=\ln x$\\
On doit avoir : $x^2-9>0\mbox{ et }x>0\mbox{ et }x^2-9=x$ \\
$x^2-9>0\Leftrightarrow x^2>9\Leftrightarrow x<-3$ ou $x>3$.\\
Finalement, l'ensemble de définition est $\mathscr{D}=]3~;~=\infty[$.\\
Pour $x\in\mathscr{D}$, $\ln (x^2-9)=x\ln \Leftrightarrow x^2-9-x=0\Leftrightarrow x^2-x-9=0$.\\
$\Delta=37>0$ ; on trouve $x_{1}=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}\notin\mathscr{D}$ ; $x_{2}=\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}>3$ donc $x_{2}\in\mathscr{D}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}\right\}}}$
\end{enumerate}

\newpage



\subsection{\textbf{\textcolor{red}{Propriétés algébriques}}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Relation fonctionnelle}}

\begin{minipage}{10cm}\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Pour tous réels $a$ et $b$ de $]0 ;+\infty[$ : $\ln ab=\ln a+\ln b$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
$a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs. \\
On pose $A=\ln ab$ et $B=\ln a+\ln b$. \\
Alors : $e^A=ab$ ; $e^B=e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\times e^{\ln b}=ab=A$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Logarithme d'un quotient}}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour $a>0$, $\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
$a\times \frac{1}{a}=1$ d'où $\ln\left(a\times \frac{1}{a}\right)=0\Leftrightarrow \ln a+\ln \left(\frac{1}{a}\right)=0$ d'où : $\ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a$.

\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous réels $a$ et $b$ de $]0 ;+\infty[$, $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
$\ln \frac{a}{b}=\ln \left(a \times \frac{1}{b}\right)=\ln a+\ln \frac{1}{b}=\ln a-\ln b$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Logarithme d'un produit de nombre positifs}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous réels strictement positifs $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$, $\ln (a_1a_2...a_n)=\ln a_1+\ln a_2+...\ln a_n$.\\
Autre écriture (symbolique) : $\ln\left(\prod_{i=1}^n\right)=\sum_{i=1}^n\ln a_{i}$
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} par récurrence sur $n$ (facile, laissée au lecteur).\\

\subsubsection{\textcolor{blue}{Logarithme d'une puissance}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tout réel $a>0$ et tout entier relatif $n$, $\ln\left(a^n\right)=n\ln a$.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} 
Il faut distinguer les cas $n>0$, $n=0$ et $n<0$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $n>0$ : on applique la propriété précédente, avec $n$ termes égaux à $a$.

\item $n=0$ : immédiat

\item $n<0$ : $\ln\left(a^n\right)=\ln\left(\frac{1}{a^{-n}}\right)=-\ln\left(a^{-n}\right)=-(-n)\ln a=n\ln a$.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Logarithme d'une racine carrée}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tout réel $a>0$ : $\ln\sqrt{a}=\frac{1}{2}\ln a$.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} $a>0$ ; $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ donc $\ln\left(\sqrt{a}\right)^2=\ln a$, c'est-à-dire $2\ln\sqrt{a}=\ln a$ d'où l'égalité annoncée.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarques :}} on a $\ln 2\approx 0,69$ et $\ln 10\approx 2,3$.\\
On en déduit : $\ln\left(10^9\right)=9\ln 10\approx 20,7$.


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercices :}} Résolution d'équations ou inéquations faisant intervenir le logarithme.\\

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation : $\ln(x+1)+\ln(2x+3)=\ln(x+5)$

\item Résoudre l'inéquation : $\ln(x^2-5)\leqslant \ln( x+3)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Etude de la fonction logarithme}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Limites en 0 et en $+\infty$}}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln x=+\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow 0^+ }\ln x=-\infty$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}\\


\newpage


\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $A$ un nombre réel quelconque. La fonction $\ln$ est croissante sur $]0 ;+\infty[$.\\
$\forall x>e^A$, $\ln x>A$. Ainsi l'intervalle $[A ;+\infty[$ contient toutes les valeurs de $\ln x$ pour $x$ assez grand. \\
Cela démontre que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln x=+\infty$.

\item Pour $x>0$, on pose $X=\frac{1}{x}$. Alors : $\ln x=\ln\left(\frac{1}{X}\right)=-\ln X$\\
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln x=\lim_{X\rightarrow+\infty}(-\ln X)=-\infty$ en appliquant le théorème sur la limite d'une fonction composée.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction $\ln$ est continue et dérivable sur $]0 ;+\infty[ $.\\
De plus, pour tout réel $x>0$, $\ln'(x)=\frac{1}{x}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} \\
On admet la continuité.\\

\textbf{\textcolor{red}{Dérivabilité :}} \\
Soit $a$ un nombre positif et soit $h$ un nombre tel que $a+h>0$.\\
On pose : $b=\ln a$ et $k=\ln(a+h)$, donc $a=e^b$ et $a+h=e^k$.\\
$\frac{\ln(a+h)-\ln a}{h}=\frac{\ln(a+h)-\ln a}{(a+h)-a}=\frac{k-b}{e^k-e^b}$. \\
La fonction  $\ln$ est continue, donc $\lim_{h\rightarrow 0}\ln(a+h)=\ln a$, donc : $\lim_{h\rightarrow 0}k=b$.\\
La fonction exponentielle est dérivable en $b$, de dérivée $e^b$ ; autrement dit : $\lim_{k\rightarrow b}\frac{e^k-e^b}{k-b}=e^b$, donc \\
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(a+h)-\ln a}{h}=\frac{1}{e^b}=\frac{1}{a}$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Tableau de variation et représentation graphique}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\bb&0&&\pI\\
\filet
\ln'(x)=\dfrac{1}{x}&\bb&&+&\\
\filet
\m{\ln(x)}&\bb&\mI&\c&\h{\pI}\\
\end{variations}
\end{center}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Courbe :}} l'axe des ordonnées est une asymptote verticale. \\
La courbe admet deux tangentes remarquables, en $x=1$ et $x=e$.
La courbe est ci-dessous.\\
\begin{pspicture}(-5,-10)(6,4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-0.5,0)(10,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,-10)(0,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](1,0){1}
\uput[l](0,1){1}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](-0.5,-10)(10,3)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue, linewidth=1pt]{0.005}{10}{x ln}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.5,-0.5)(1.5,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0,0)(4,1.47)
\psdots(2.71828,1)
\uput[u](8,2){$y=\ln x$}
\psline(2.71828,-0.2)(2.71828,0.2)
\uput[d](2.71828,0){e}
\end{pspicture}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : la tangente à la courbe au point de coordonnées $(\mathrm{e}~;~1)$ passe par l'origine.\\
Cette fonction croît \og{}lentement\fg{} : $\ln\left(10^9\right)=9\ln 10\approx 20,72$.

(lentement, par rapport à n'importe quelle fonction puissance).


\subsubsection{\textcolor{blue}{Croissances comparées}}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
\begin{enumerate}[a) ]
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)=0$

\item $\lim_{x\rightarrow 0}x\ln x=0$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}

\begin{enumerate}[a) ]
\item On pose $X=\ln x$ (donc $x=\mathrm{e}^{X}$).\\
Quand $x$ tend vers $+\infty$, $X$ tend aussi vers $+\infty$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{X}{\mathrm{e}^{x}}\right)$.\\
D'après les croissances comparées, $\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)=+\infty$ donc $\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{X}{\mathrm{e}^{x}}\right)=0$ d'où $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)=0$.

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}x\ln x=\lim_{X\rightarrow -\infty}X\mathrm{e}^{X}=0$ d'après les formules de croissances comparées avec la fonction exponentielle.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}

\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x^n}\right)=0$ piour tout $n\in\mathbb{N}^*$.

\item $\lim_{x\rightarrow 0}x^n\ln x=0$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}

\begin{enumerate}
\item  Avec $X=\ln x$, on a $\dfrac{\ln x}{x^n}=\dfrac{X}{\left(\mathrm{e}^{X}\right)^n}=\dfrac{X}{\mathrm{e}^{nX}}=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{nX}{\mathrm{e}^{nX}}$.\\
On pose alors $Y=nX$.\\
On a successivement :
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x^n}\right)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n}\times \dfrac{nX}{\mathrm{e}^{nX}}\right)=\dfrac{1}{n}\lim_{Y\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{Y}{\mathrm{e}^{Y}}\right)=0$ (car $\dfrac{1}{n}$ est une constante).

\item De même : $\lim_{x\rightarrow 0}x^n\ln x=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(X\mathrm{e}^{nX}\right)=\dfrac{1}{n}\times \lim_{Y\rightarrow +\infty}Y\mathrm{e}^{Y}=0$
\end{enumerate}

%\subsubsection{\textcolor{blue}{Approximation affine de $\ln(1+h)$}}
%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Approximation affine}}
%Pour $h$ proche de 0, on a : $\ln(1+h)\approx h$.\\
%\end{bclogo}
%Il suffit d'appliquer la formule d'approximation affine : $\ln(1+h)\approx \ln(1)+\ln'(1)h=h$\\
%
%\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1}}$\\
%Cette limite se trouve en utilisant l'approximation affine ou la dérivabilité de $\ln$ en 1.




\subsection{\textcolor{red}{Logarithme d'une fonction}}
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ tel que, pour tout $x$ de $I$, $u(x)>0$. $\ln u$ désigne la composée $\ln\circ u$, définie sur $I$.\\
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si $u$ est une fonction définie, strictement positive et dérivable sur I, la fonction $\ln u$ est dérivable sur $I$ et $\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
On applique le théorème de dérivation d'une fonction composée:\\
$\forall x\in I$, $(\ln\circ u)'(x)=u'(x)\times \ln'(u(x))=u'(x)\times \frac{1}{u(x)}=\frac{u'(x)}{u(x)}$.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $f(x)=\ln(x^2+x+7)$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} Si $u$ est négative et dérivable sur $I$, $f=\ln\circ (-u)$ est dérivable sur $I$ et $f'=\frac{-u'}{-u}=\frac{u'}{u}$.\\


\subsection{\textcolor{red}{Logarithme décimal (hors-programme)}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{blue}{Définition}}
La fonction logarithme décimale est la fonction notée $\log$, définie sur $]0 ;+\infty[$ par : $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} $\log 1=0$ ; $\log 10=1$\\

\begin{minipage}{11cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour $a$ et $b$ strictement positifs, $\log ab=\log a+\log b$.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : c'est évident, puisque la fonction logarithme décimale est égale à la fonction logarithme népérien, à un facteur près.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} toutes les propriétés algébriques de la fonction $\ln$ sont donc vérifiées par la fonction $\log$. \\

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} $\forall n\in\mathbb{Z}$, $\log\left(10^n\right)=n$, d'où l'utilisation de cette fonction en sciences physiques.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Applications :}} 

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de chiffres de l'écriture décimale d'un nombre.\\
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} trouver le nombre de chiffres du nombre $N=2^{\numprint{12345}}$.\\
On a : $\log(N)=\log\left(2^{\numprint{12345}}\right)=\numprint{12345}\log2$.\\
On trouve, à la calculatrice : $E(\numprint{12345}\log 2)=\numprint{3716}$.\\
Donc : $\numprint{3716}<\log N<\numprint{3717}\Rightarrow 10^{\numprint{3716}}<N<10^{\numprint{3717}}$.\\
$N$ comprend donc \textcolor{red}{\numprint{3717} chiffres}.

\item Soient deux puissances sonores $P_0$ et $P_1$ ; leur valeur relative en décibels vaut :

$X \text{dB} = 10 \log\left(\dfrac{ P_ 1}{ P_ 0}\right)$.

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples numériques }}:

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item     Si $P_ 1= 100 \times  P_0$, le rapport entre les deux puissances est de $100 = 10^2$ ; ce qui correspond à 20 dB ;

\item     Si $P_1 = 2 \times  P_0$, leur rapport est de $2 \approx 10^{0,3}$, ce qui correspond à 3 dB :

\end{enumerate}
Une puissance double correspond à 3 dB.

Exemple : le bruit généré par un lave-vaisselle varie de 45 à 60 décibels. Celui dont la puissance sonore est de 60 dB fait trente-deux fois plus de bruit que celui qui a une puissance sonore de 45 dB, puisque $\dfrac{60-45}{3}=5$ et $2^5=32$


\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document} 


