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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du devoir sur feuille \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item Soit l'équation $3x^2-5x-1=0$

\noindent Le discriminant est $\Delta=37>0$. L'équation a deux solutions :

\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5-\sqrt{37}}{6}~;~\dfrac{5+\sqrt{37}}{6}\right\}}}$
\end{center}
\medskip

\item Soit l'équation $x^4+4x^2-21=0$.

\noindent On pose $X=x^2$ donc $x^4+4x^2-21=0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}X=x^2\\X^2+4X-21=0\end{array}\right.$

\noindent Le discriminant de cette équation d'inconnue $X$ est $\Delta=100>0$. 

\noindent Elle a deux solutions réelles : $X_1=\dfrac{-4-10}{2}=-7$ et $X_2=\dfrac{-4+10}{2}=3$.

\noindent Or $X=x^2$, donc on résout les équations $x^2=X_1$ et $x^2=X_2$.

\noindent $x^2=X_1=-7$ n'as pas de solution ; $x^2=X_2=3$ a deux solutions, $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.

\noindent L'ensemble des solutions est donc \[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\sqrt{3}~;~\sqrt{3}\right\}}}.\]
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit l'inéquation $\dfrac{3x+5}{x+2}\geqslant \dfrac{2x+1}{x-1}$.

\noindent 1 et -2 sont des valeurs \textbf{interdites} (valeurs qui annulent les dénominateurs). L'ensemble de définition est donc $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2~;~1\}$.

\noindent On suppose que $x\in\mathscr{D}$.

\noindent Alors : $\dfrac{3x+5}{x+2}\geqslant \dfrac{2x+1}{x-1}\Leftrightarrow \dfrac{3x+5}{x+2}- \dfrac{2x+1}{x-1}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{(3x+5)(x-1)-(2x+1)(x+2)}{(x+2)(x-1)}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{\left(3x^2-3x+5x-5\right)-\left(2x^2-x+2x+2\right)}{(x+2)(x-1)}\\
\Leftrightarrow \dfrac{x^2-3x-7}{(x+2)(x-1)}$.

\noindent Le numérateur est un trinôme du second degré ; pour trouver son signe, on cherche ses racines.

\noindent $\Delta=37>0$ ; il y a deux racines $x_1=\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}$ et \\
$x_2=\dfrac{3+\sqrt{37}}{2}$.

\noindent Le dénominateur s'annule pour $x_3=-2$ ou $x_4=1$.

\noindent On renseigne alors un tableau de signes, sans oublier les double-barres sous les valeurs interdites :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}&&1&&\dfrac{3+\sqrt{37}}{2}&&\pI\\
\hline
x^2-3x-7&&+&\bb&+&\z&-&\bb&-&\z&+&\\
\hline
(x+2)(x-1)&&+&\bb&-&\z&+&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\dfrac{x^2-3x-7}{(x+2)(x-1)}&&+&\bb&-&\z&+&\bb&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On cherche dans le tableau les valeurs de $x$ pour lesquelles le quotient est positif. L'ensemble des solutions est : \[\boxed{\textcolor{red}{\boldmath{\mathscr{S}=]-\infty~;~2[\cup \left[\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}~;~1\right[\cup \left[\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}~;~+\infty\right[}}}\]

\subsection{}
%http://www.rosamaths.fr/labowp/wp-content/uploads/2014/07/Fonctions-rationnelles.pdf
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$ par \[f(x)=\dfrac{-2x^2+6x-7}{2x-1}.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la dérivée de la fonction $f$ et vérifier que pour tout $x\in\mathscr{D}_f$ : \[f'(x)=\dfrac{-4x^2+4x+8}{(2x-1)^2}.\]
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=-2x^2+6x-7$ et \\
$v(x)=2x-1$.

\noindent $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=-4x+6$ et $v'(x)=2$.

Alors :

\noindent $f'(x)=\dfrac{(-4x+6)(x-1)-2\left(-2x^2+6x-7\right)}{(2x-1)^2}\\
=\dfrac{(-4 x^{2}+4 x+8)}{(2x-1)^2}=\boxed{\textcolor{red}{-4\dfrac{\left(x^2-x-2\right)}{(2x-1)^2}}}$. (en factorisant par -4)

\noindent $x^2-x-2$ a une racine évidente, -1, donc se factorise par $(x+1)$ :

\noindent  $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$.

\noindent On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\frac{-4 (x-2) (x+1)}{\left(2 x-1\right)^{2}}}}$.

\item %Étudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variation de $f$.
On renseigne un tableau de signes ; le numérateur est un trinôme du second degré dont on connaît les racines (il est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines).

\noindent Le dénominateur est le carré d'un réel, donc toujours positif ; $f"(x)$ est donc du signe du numérateur.

\begin{center}
\tiny{\begin{variations}
x&\mI&&-1&&\dfrac{1}{2}&&2&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&5&\c&\bb&\c&\h{-1}&\d&\\
\hline
\end{variations}}
\end{center}
\end{enumerate}


\item %Établir l’équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$, représentative de de $f$, au point d’abscisse 0.
L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est $\boxed{\textcolor{red}{y=f'(a)(x-a)+f(a)}}$.

\noindent Pour $a=0$ : $y=f'(0)x+f(0)$. Or $f(0)=7$ et $f'(0)=8$.

\noindent L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 0 est : $\boxed{\textcolor{red}{y=8x+7}}$.

\item %Déterminer les abscisses éventuelles des points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 3.
Il faut résoudre l'équation $f'(x)=3$.

\noindent $f'(x)=3\Leftrightarrow \dfrac{-4x^2+4x+8}{(2x-1)^2}=3\Leftrightarrow -4x^2+4x+8=3(2x-1)^2\Leftrightarrow -4x^2+4x+8=12x^2-12x+3\\
\Leftrightarrow -16x^2+16x+5=0$.

$\Delta=16^2+4\times 16\times 5=16(16+20)=16\times 36=4^2\times 6^2=(4\times 6)^2=24^2>0$.

\noindent Il y a deux solutions qui sont $\dfrac{-16-24}{-32}=\dfrac{5}{4}$ et $\dfrac{-16+24}{-32}=-\dfrac{1}{4}$.

\noindent Ca courbe a deux tangentes de coefficient directeur égal à 3 aux points d'abscisses $-\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{5}{4}$

\item %Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$.
\textbf{\textcolor{blue}{Courbe}} : 

Penser à tracer les tangentes horizontales.
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-5.)(5.,8.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.,-5.)(5.,8.)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200,linewidth=2pt]{-4.0}{5.0}{(-2.0*x^(2.0)+6.0*x-7.0)/(2.0*x-1.0)}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](0.5,-5.)(0.5,8.)
\psplot{-1}{1}{(--6.5--3.*x)/1.}
\psplot{0.25}{2.25}{(-5.5--3.*x)/1.}
%\psplot{-2}{0}{(--5.-0.*x)/1.}
%\psplot{1}{3}{(-1.-0.*x)/1.}
\psline{<->}(-2,5)(0,5)
\psline{<->}(1,-1)(3,-1)
\uput[d](4,-2.1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
%http://www.rosamaths.fr/labowp/wp-content/uploads/2014/07/Fonctions-rationnelles.pdf

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par \[f(x)=\dfrac{x^3-2x^2}{(x-1)^2}.\]

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f(x)$ s'écrit sous la forme : $f(x)=x-\dfrac{x}{(x-1)^2}$ pour tout $x\in\mathscr{D}_f$.
Pour tout $x\in\mathscr{D}$, $f(x)=\dfrac{x\left(x^2-2x\right)}{(x-1)^2}\\
=\dfrac{x\left(x^2-2x+1-1\right)}{(x-1)^2}
=\dfrac{x(x-1)^2}{(x-1)^2}-\dfrac{x}{(x-1)^2}\\
=x-\dfrac{x}{(x-1)^2}$, donc, pour tout $x\in\mathscr{D}$, \[\boxed{\textcolor{red}{f(x)=x-\dfrac{x}{(x-1)^2}}}.\]

\item %Etudier la position de $\mathscr{C}_f$ par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
On étudie le signe de la différence $f(x)-x$.

\noindent D'après la question A., $f(x)-x=-\dfrac{x}{(x-1)^2}$ qui est du signe opposé à celui de $x$, donc positif pour $x$ négatif et négatif pour $x$ positif.

\noindent On en déduit que $\mathscr{C}$ est au-dessus de $\Delta$ pour $x\in]-~;~0]$ et en dessous sur $[0~;~1[$ et sur $]1~;~\infty[$.
\end{enumerate}


\item %Calculer $f'(x)$ et montrer que \[f'(x)=\dfrac{x(x-1)\left(x^2-3x+4\right)}{(x-1)^4}.\]
$f$ est dérivable sur $\mathscr{D}$ comme quotient de onctions dérivables.

\noindent $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^3-2x^2$ et $v(x)=(x-1)^2\\
=x^2-2x+1$.

\noindent Alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=3x^2-4x$ et $v'(x)=2x-2=2(x-1)$.

\noindent Pour tout $x\in\mathscr{D}$ : 

\noindent $f'(x)=\dfrac{\left(3x^2-4x\right)(x-1)^2-2(x-1)\left(x^3-2x^2\right)}{(x-1)^4}=\dfrac{(x-1)\left[\left(3x^2-4x\right)(x-1)-2\left(x^3-2x^2\right)\right]}{(x-1)^4}=\dfrac{(x-1)\left[x^3-3x^2+4x\right]}{(x-1)^4}=\dfrac{x(x-1)\left(x^2-3x+4\right)}{(x-1)^4}$

\begin{enumerate}
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ à l’aide d’un tableau de signes.
Le dénominateur est positif donc $f'(x)$ est du signe du numérateur.

\noindent $x^2-3x+4$ a pour discriminant $\Delta=-7<0$ donc $x^2-3x+4$ est du signe du coefficient de $x^2$, 1, donc positif.

\noindent On en déduit que $f'(x)$ est du signe de $x(x-1)$ qui s'annule en 0 et en 1 et qui est positif à l'extérieur de l'intervalle formé par ces nombres.

\newpage
\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\noindent Tableau de variation : 
\begin{center}
\tiny{
\begin{variations}
x&\mI&&0&&&1&&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\bb&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{0}&\d&\mI&\bb&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}}
\end{center}
\textbf{\textcolor{red}{Remarque} :} l'étude des limites aux bornes de l'ensemble de définition se fera dans un prochain chapitre.
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ avec les axes du repère.
Intersection avec l'axe $(Ox)$ : on résout l'équation $f(x)=0$.

\noindent $f(x)=0\Leftrightarrow x^3-2x^2=0\Leftrightarrow x^2(x-2)=0$ qui a pour solutions 0 et 2. $\mathscr{C}$ coupe l'axe des abscisses en $\boxed{\textcolor{red}{x=0}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{x=2}}$.

\noindent Intersection avec l'axe $(Oy)$ : on calcule $f(0)=0$. $\mathscr{C}$ coupe $(Oy)$ en O.

\item %Déterminer l’ abscisse du point de la courbe où la tangente est parallèle à la droite $\Delta$.
$\Delta$ a pour coefficient directeur 1, donc on résout l'équation $f'(x)=1$.

\noindent Pour $x\neq 1$, $f'(x)=1\\
\Leftrightarrow \dfrac{x(x-1)\left(x^2-3x+4\right)}{(x-1)^4}=1\\
\Leftrightarrow x(x-1)\left(x^2-3x+4\right)=(x-1)^4\\
\Leftrightarrow (x-1)\left[x\left(x^2-3x+4\right)-(x-1)^3\right] =0\\
x^3-3x^2+4x-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)=0\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=-1}}$.

\noindent $\mathscr{C}$ a une tangente parallèle à $\Delta$ en $x=-1$.

\end{enumerate}

\item %Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$ et la droite $\Delta$.
Tracés :
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-5.)(5.,5.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-5.)(5.,5.)
\psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{(x^(3.0)-2.0*x^(2.0))/(x-1.0)^(2.0)}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{x}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-5.}{5.}{(--0.25--1.*x)/1.}
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](1.,-5.)(1.,5.)
\psline[linewidth=2pt]{<->}(-1,0)(1,0)
\uput[d](3,2.25){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](-4,-4){\textcolor{red}{$\Delta$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[\left\{\begin{array}{l}u_0=-3\\u_{n+1}=5-4u_n\end{array}\right..\]

\bigskip

\noindent %Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=(-4)^{n+1}+1$.
Soit $P_n$ la proposition :\og{}$u_n=(-4)^{n+1}+1$\fg{}.

\noindent Effectuons une démonstration par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : Pour $n=0$, $(-4)^{0+1}+1=(-4)^1+1=-4+1=-3=u_0$, donc la propriété es vraie pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, donc $u_n=(-4)^{n+1}+1$.

\noindent Alors : $u_{n+1}=5-4u_n=5-4\times \left((-4)^{n+1}+1\right)+1=5+(-4)^{n+2}-4=(-4)^{n+2}+1$.

\noindent La propriété est vraie au rang $n+1$, donzelle est héréditaire.
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : D'après l'axiome de récurrence, $P_n$ est vraie our tout $n$, donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=(-4)^{n+1}+1$.

\subsection{}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[\left\{\begin{array}{l}u_0=\frac12\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{u_n+2}\end{array}\right..\]

\bigskip

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0<u_n<1$.

\noindent Montrons d'abord par récurrence que, pour tout $n$, $u_n\geqslant 0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} :$u_0=\dfrac{1}{2}$ donc c'est vrai pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité }}: on suppose $u_n>0$ pour un entier $n$. Alors $u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{u_n+2}>0$ donc c'est vrai au rang $n+1$
\end{enumerate}
On en déduit que $u_n>0$ pour tout $n$.

\bigskip
Montrons maintenant par récurrence que, pour tout $n$, $u_n<1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : $u_0=\dfrac{1}{2}<1$ donc c'est vrai pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} :  on suppose $u_n<1$ pour un entier $n$ quelconque.

\noindent $u_{n+1}-1=\dfrac{u_n+1}{u_n+2}-1=\dfrac{u_n+1-u_n-2}{u_n+2}=\dfrac{-1}{u_n+2}<0$ puisque $u_n>0$. on en déduit que $u_{n+1}-1<0$ donc $u_{n+1}<1$.

\noindent La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

On a donc montré que, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{0<u_n<1}}$.
%voir http://www.educastream.com/raisonnement-recurrence-terminale-s

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  