\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%https://www.annales2maths.com/exercices-ts-limites-suites/
Déterminer la limite des suites $\left(u_n\right)$ suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n =\dfrac{n^2 - 1}{n + 1}$ pour tout  $n$  entier naturel.

\item $u_n = \dfrac{n^3 - 1}{3n^2 + 5n^4}$  pour tout  $n$  entier naturel non nul.

%\item $u_n=\dfrac{n^2-\sin n}{n+1}$ pour tout  $n$  entier naturel.

\item $u_n=5^n-2^n$ pour tout  $n$  entier naturel.

\item $u_n=\sum_{k=0}^{k=n}\dfrac{1}{2^k}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}$ pour tout  $n$  entier naturel.

\item $u_n=\dfrac{3n-\sqrt{9n^2+1}}{\sqrt{n^2+5}}$ pour tout  $n$  entier naturel.


\end{enumerate}


\subsection{}
Une suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :  $u_{n+1} = u_n + 3n^2 - 3n + 1$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_1=1$.

\item Calculer $u_3$, $u_4$ et $u_5$.

\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=(n-1)^3+1$.

On pourra utiliser les identités remarquables 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

\item $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/ctrle_2017_2018/ctrle_01_rappel_suites_27_09_2017.pdf
%Correction : https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/ctrle_2017_2018/ctrle_01_rappel_suites_27_09_2017_correction.pdf
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $\begin{cases}u_0 = 2\\ u_{n + 1} = \dfrac{2u_n}{ 2 + 3u_n}\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.

\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? 
\end{enumerate}


\item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n$ n’est pas nul.

\item On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n = 1 + \dfrac{2}{u_n}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.

\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis déduire $u_n$ en fonction de $n$.

\item Vers quel nombre tend la suite $\left(u_n\right)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Inversion d'un arbre de probabilités}}
Une société effectue auprès de \numprint{10000} personnes une étude de marché concernant un nouveau produit. Dans cet échantillon, 40\:\% sont des jeunes (moins de 20 ans) et 20\:\% de ceux-ci se déclarent intéressés par le produit.\\
En revanche, 10\:\% seulement des personnes de plus de 20 ans se déclarent intéressées par le produit.\\
On choisit une personne au hasard dans l'échantillon. On note $J$ l'événement \og{} La personne est jeune\fg{}  et $I$ \og{} La personne est intéressée\fg.
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=4mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$J$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{J}$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $$}}}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $p(I\cap J)$, $p(I\cap\overline{J})$, $p(\overline{I}\cap J)$ et $p(\overline{I}\cap \overline{J})$.

\item Calculer $p(I)$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item caculer la probabilité que la personne ait moins de 20 ans sachant que la personne est intéressée par le produit.

\item Compléter l'arbre ci-dessous.
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=4mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{I}$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $$}}}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussette auprès de trois fournisseurs $\mathscr{F}_1$ , $\mathscr{F}_2$ , $\mathscr{F}_3$. Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique. La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_1$ , le tiers par le fournisseur $\mathscr{F}_2$ et le reste par le fournisseur $\mathscr{F}_3$ . Une étude statistique a montré que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur $\mathscr{F}_1$ ont un défaut ;

\item 1,5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur $\mathscr{F}_2$ ont un défaut ; 

\item sur l’ensemble du stock, 3,5\:\% des paires de chaussette ont un défaut. 
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise. On considère les évènements $F_1$ , $F_2$ , $F_3$ et D suivants : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $F_1$ : La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_1$   ;


\item $F_2$ :  La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_2$   ; 

\item $F_3$ : La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_3$   ; 

\item D : La paire de chaussettes prélevée présente un défaut . 

\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les évènements précédents. Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cette expérience. 

\item Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $F_1$ et présente un défaut. 

\item Calculer la probabilité de l’évènement $F_2 \cap D$.

\item En déduire la probabilité de l’évènement $F_3\cap D$.

\item Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $F_3$ , quelle est la probabilité qu’elle présente un défaut ? 
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  