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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur les suites du 21/09}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On veut représenter graphiquement sur l'axe des abscisses les termes successifs de la suite définie par $\begin{cases}u_0=-1;5\\u_ {n+1}=\sqrt{u_n+2}\end{cases}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-2~;~+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+2}$. 

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $y=x$. Ces deux courbes sont représentées ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.5,-0.5)(2.5,2.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-2.5,-1.)(2.5,2.5)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](0,0)(-2.5,-1.)(2.5,2.5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-1.9999950000000017}{2.5}{sqrt(x+2.0)}
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200]{-2.5}{2.5}{x}
\uput[u](-1,1){$\mathscr{C}$}
\uput[d](0.5,0.5){$\Delta$}
\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

Construire sur l'axe des abscisses les premiers termes de la suite.

Qu'observe-t-on ?

\subsection{}%https://www.sos-devoirs-corriges.com/images/exercices-corriges-maths/lycee-1ere-S/suites-geometriques.pdf
Déterminer si les suites suivantes sont géométriques et préciser la raison et le premier terme de chaque suite géométrique.

\begin{enumerate}
\item $u_n=2^{n-3}\times 3^{n+2}$

\item $u_n=(-3)^{2n+1}$

\item $u_n=(n-5)^2-(n+3)^2$

\item $u_n=(-1)^n\times 2^{3n-1}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Pondichéry avril 2017}}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par 

\[u_0 = 150\: \:\text{ et pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 0,8 u_n + 45.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Voici deux propositions d'algorithmes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$N$ est un entier naturel&&$N$ est un entier naturel\\
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation:}&&\textbf{Initialisation:}\\
$U$ prend la valeur 150&&$U$ prend la valeur 150\\
$N$ prend la valeur 0&&$N$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}&&\textbf{Traitement :}\\
Tant que $U \geqslant 220$&&Tant que $U < 220$\\
$U$ prend la valeur &&$U$ prend la valeur\\
$0,8 \times U + 45$&&$0,8 \times U + 45$\\
$N$ prend la valeur $N + 1$&&$N$ prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que&&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}&&\textbf{Sortie :}\\
Afficher $N$&&Afficher $N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 1}}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 2}}
\end{tabularx}
\end{center}\index{algorithme}

	\begin{enumerate}
		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d'afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 220$.
		
Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.
		\item Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme choisi à la question précédente ?
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

$v_n = u_n - 225$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.\index{suite géométrique}
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: \\
		$u_n = 225 - 75 \times 0,8^n$.
	\end{enumerate}
\item Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son
centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de $150$.
		
On fait l'hypothèse que d'une année sur l'autre :

\setlength\parindent{25mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20 \,\% des participants ne reviennent pas l'année suivante ;
\item[$\bullet~~$] 45 nouveaux participants s'inscrivent à la course.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le
nombre de participants à 250.

Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}



\end{multicols}


\newpage


\label{fin}
\end{document} 