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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir \no 1}}\end{center}

\emph{Si l'esprit d'un homme s'égare, faites-lui étudier les mathématiques car dans les démonstrations, pour peu qu'il s'écarte, il sera obligé de recommencer. (Francis Bacon, philosophe)}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre l"équation : $2x^4-11x^2+15=0$

\subsection{}
Résoudre soigneusement dans $\mathbb{R}$ l'inéquation \[1\leqslant \dfrac{4}{(x+3)^2}\]

\subsection{}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ avec $n\geqslant 2$, on appelle factorielle $n$, notée $n!$ le produit de tous les entiers compris entre 1 et $n$. Ainsi :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $1!=1$ ; $2!=1\times 2=2$ (lire factorielle 2) ; \\
$3!=1\times 2\times 3$ ; $10!=1\times 2\times 3\times \cdots\times 9\times 10=\numprint{3628800}$

\item Par convention : $0!=1$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
Démontrer par récurrence sur $n$ que : \\
\[\text{Pour tout }n\geqslant 4,~ n!\geqslant n^2.\]


\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison $r$. On sait que $u_{102}=47$ et $u_{157}=25$.

Déterminer la raison $r$, le premier terme $u_0$ et calculer $u_{3000}$.

\subsection{}
Soit $\left(v_n\right)$ une suite géométrique de raison réelle $q$.

On sait que $v_3=12$ et $v_6=324$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $q$.

\item En déduire $v_4$, $v_7$ et $v_0$.
\end{enumerate}


\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\dfrac{1}{2}u_n + 1$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer les quatre premiers termes de la suite.

\item Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $\left(u_n\right)$.

\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(X)=\dfrac{1}{2}x+1$.

\item Démontrer la conjecture par récurrence.

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f\longmapsto x+\dfrac{1}{x-2}$. On appelle $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?

\item À l'aide de la calculatrice, conjecturer $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$, $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$, $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}f(x)$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}f(x)$.

\item Calculer $f'(x)$ ; mettre l'expression sous forme fractionnaire, la factoriser et étudier son signe.

\item En déduire les variations de $f$ ; dresser le tableau de variation de $f$.

\item \textbf{Question facultative }: \\
On appelle $g$ la fonction définie par $g(x)=x$ et $\mathscr{D}$ la courbe représentative de $g$.\\

\begin{enumerate}
\item Que vaut $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left[f(x)-g(x)\right]$ et \\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[f(x)-g(x)\right]$ ? Que peut-on en déduire ?

\item En étudiant le signe de $f(x)-g(x)$, quelle est la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\mathscr{D}$ ?

\item Tracer dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ la droite d'équation $x=2$, $\mathscr{D}$ puis $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  