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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Stage de révision Terminale S 15 février 2014}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2001 (4 points)}}
On considère le polynôme $P$ défini par : 
\[P(z) = z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63.\] 
\begin{enumerate} \item Calculer $P\left(\text{i}\sqrt{3}\right)$ et $P\left(-~\text{i}\sqrt{3}\right)$ puis montrer qu'il existe un polynôme $Q$ du second degré à coefficients réels, que l'on déterminera, tel que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, on ait \\
$P(z) = \left(z^2 + 3\right) Q(z)$. 
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z) = 0$. 
\item Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal 
$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, les points A, B, C, D d'affixes
 respectives $z_{\text{A}} = \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{B}} =
 -~\text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}} = 3 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}} =
 \overline{z_{\text{C}}}$, puis montrer que ces quatre points appartiennent à
 un m\^eme cercle.
\item On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que
$\dfrac{z_{\text{E}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}} = 
\text{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ puis déterminer la nature du triangle 
BEC.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Réunion juin 2007 (4 points)}}
Soit $a$ un nombre réel tel que $-1 < a  < 0$.

 On considère la suite $u$ définie par $u_{0} = a$, et pour tout entier naturel $n,$~,  $u_{n+1} = u_{n}^2 + u_{n}$.

\begin{enumerate}
\item  Étudier la monotonie de la suite $u$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x^2 +x$. 

Étudier le sens de variations de la fonction $h$.

En déduire que pour tout $x$ appartenant à
 l'intervalle $]-1~;~0[$, le nombre $h(x)$ appartient aussi à
 l'intervalle $]-1~;~0[$.
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : \\
		$-1< u_{n} < 0$.
	\end{enumerate}
\item  Étudier la convergence de la suite $u$. Déterminer, si elle existe, sa limite.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie novembre 2012}}
\noindent Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on appelle A le point d'affixe $1$ et $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $1$.
 
La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4~cm pour unité graphique.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation 

\[(E) :\quad  z^2 - 2z + 2 = 0,\]

 où $z$ est un nombre complexe. On appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de $(E)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$. 
\item On appelle $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Montrer que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère l'application $f$ du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de A associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 

\[z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer le point A et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
\item Montrer que pour tout complexe $z$ distinct de 1 on a 

\[\left(z' - 1\right)(z - 1) = \dfrac{1}{2}.\]
 
\item Montrer que pour tout point $M$ distinct de A on a :

\[\begin{array}{@{\bullet~~} l} 
\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2} ;\\ 
M' \neq \text{A} ;\\ 
\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) + \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}
\end{array}\] 
 
\item On considère le point P d'affixe $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Construire le point P. 
\item En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P$'$, image de P par $f$, et réaliser cette construction. 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soit un point $M$ appartenant à la droite D d'équation \\
$x = \frac{3}{4}$. Soit $M'$ son image par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$. 
		\item Tout point de $\mathcal{C}'$ a-t-il un antécédent par $f$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2010}}
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Donner le tableau de variations de $g$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1. 
\item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \\
$f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

La figure est donnée  ci-dessous.
 
Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$,
\item $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
\item $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.
\end{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. 

On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. 
\item Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$.
 
La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1.65cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(4,3)
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}\uput[ul](0,0){O}\uput[u](2.5,0.28){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div}
\multido{\n=-1.0+0.16667}{31}{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-2.0+0.16667}{31}
{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\multido{\n=-2+1}{6}
{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\end{pspicture}

\end{center}
\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{Métropole septembre 2010}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par  $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$.

\medskip
 
Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
 
On donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} - 1 > 0.$
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
 
Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. 
		\item  Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item  En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2,-2.5)(7,4.25)%grille

\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{4.25}{x}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x  2 add div}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  