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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle de spécialité sur les congruences}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$12\equiv 2~[5]$ donc $12^{\numprint{1527}}\equiv 2^{\numprint{1527}}$.\\
On a : $2^4=16\equiv 1~[5]$.\\
$\numprint{1527}=4\times 381+3$ donc $2^{\numprint{1527}}=2^{4\times 381+3}=\left(2^4\right)^{381}\times 2^3$.\\
$2^4\equiv 1~[5]$ donc $\left(2^4\right)^{381}\times 2^3\equiv 1^{381}\times 2^3~[5]\equiv 8~[5]\equiv 3~[5]$.\\
$0\leqslant 3<5$ donc le reste de la division euclidienne de $12^{\numprint{1527}}$ est \fbox{\textcolor{red}{3}}.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $3^2=9\equiv 2~[7]$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^{2n}=\left(3^2\right)^n=9^n\equiv 2^n~[7]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{3^{2n}\equiv 2^n~[7]}}$.

\item On en déduit que, pour tout $n$, $3^{2n}\equiv 2^n$ est \textbf{\textcolor{red}{divisible par 7}}.
\end{enumerate}

\subsection{}
On procède par \textbf{\textcolor{blue}{disjonction des cas}}.\\
On étudie les cas $n\equiv r~[5]$, pour $0\leqslant r<5$.\\
\begin{center}
$\begin{array}{|*{6}{c|}}
\hline
r&0&1&2&3&4\\
\hline
n^2\equiv\cdots~[5]&0&1&4&4&1\\
\hline
n^2-3n+6\equiv\cdots~[5]&1&4&4&1&0\\
\hline
\end{array}$

\end{center}On en déduit que $n^2-3n+6$ est divisible par 5 pour $n\equiv 4~[5]$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}\{4+5k,~k\in\mathbb{Z}}}$.

\subsection{}
$7^2=49\equiv 1~[4]$. On en déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \\
$7^{2n}=\left(7^2\right)^n\equiv 1^n~[4]\equiv 1~[4]$\\
On en déduit que $7^{2n}-1\equiv 0~[4]$. \\
\textcolor{red}{$\mathbf{7^{2n}-1}$\textbf{ est donc divisible par 4}} pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $2^3=8\equiv 1~[7]$. On en déduit que, pour tout $k\in\mathbb{N}$, $2^{3k}=\left(2^3\right)^k\equiv 1^k~[7]\equiv 1~[7]$

\item $\numprint{22009}=7\times \numprint{3144}+1$ donc le reste de la division euclidienne de $\numprint{22009}$ par 7 est 3.\\
\textbf{Remarque} : en fait, il y avait une erreur dans l'énoncé ; on voulait calculer le reste de $2^{\numprint{2009}}$ dans la division euclidienne par 7.\\
$\numprint{2009}=3\times 669+2$ donc $2^{\numprint{2009}}=2^{3\times 669+2}=2^{3\times 669}\times 2^2\\
\equiv 1\times 2^2~[7]\equiv 4~[7]$. Le reste cherché est donc \fbox{\textcolor{red}{4}}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $10\equiv 3~[7]$ donc $10^3\equiv 3^3~[7]\equiv 27~[7]\equiv -1~[7]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{10^3\equiv -1~[7]}}$.

\item $N=a\times 10^3+b\equiv a\times (-1)+b~[7]\equiv b-a~[7]$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{N\equiv b-a~[7]}}$.
$N$ est divisible par 7 si, et seulement si, $N\equiv 0~[7]\Leftrightarrow \equiv b-a\equiv 0~[7]\equiv \boxed{\textcolor{red}{a\equiv b~[7]}}$.\\
On en déduit que $a=b$ ou $a-b=7 ou -7$.\\
La liste des nombres $N$ possibles est : \\
\fbox{\textcolor{red}{\begin{minipage}{7cm}
$\mathscr{S}=\{1001~;~1008~;~2002~;~2009~;~3003~;~4004~;~5005~;\\
6006~;~7000~;~7007~;~8001~;~8008~;~9002~;~9009\}$
\end{minipage}
}}\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Soient $n$, $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers tels que $n\geqslant  0$, $a\equiv b~[n]$ et $c\equiv  d~ [n]$.\\

D'après le prérequis :\\
$a\equiv b~[n]$ si, et seulement si, il existe un entier $k$ tel que $a- b = kn$.\\
$c\equiv d~[n]$ si, et seulement si, il existe un entier $k'$ tel que $c - d = k'n$.\\
Alors : $ac = (b + kn)(d + k'n) = bd + n(bk' + dk + kk'n)$. Or, $bk' + dk + kk'n\in \mathbb{Z}$, par conséquent
$\boxed{\textcolor{red}{ac\equiv bd~[n]}}$.
\end{enumerate}

\item $4^0\equiv 1 ~[7]$ ; $4^1\equiv 4 ~ [7]$ ; $4^2\equiv16\equiv 2 ~ [7]$ et $4^3 \equiv 64 \equiv 1 ~ [7]$.\\
On \textbf{conjecture} donc que : \\
pour tout entier naturel n :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  si $n\equiv 0 ~ [3]$ alors $4n\equiv 1 ~ [7]$;

\item si $n \equiv 1 ~[3]$ alors $4n \equiv 4 ~ [7]$;

\item si $n \equiv 2 ~ [3]$ alors $4n \equiv 2 ~ [7]$.
\end{enumerate}
\textbf{Montrons alors cette conjecture }:\\
 \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $n \equiv 0 ~ [3]$ alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n = 3k$. Par conséquent $4n = 4^{3k} =
\left(4^3\right)^k \\
 \equiv  1^k ~ [7]  \equiv 1 ~ [7]$.

\item Si $n \equiv 1 ~ [3]$ alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n = 3k+1$. Par conséquent $4n = 4^{3k+1} =
\left(4^3\right)^k\times 4^1  \equiv  1^k\times 4 ~ [7]  \equiv 4 ~ [7]$.

\item  Si $n \equiv 2 ~ [3]$ alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n = 3k+2$. Par conséquent $4n = 4^{3k+2} =
\left(4^3\right)^k\times 4^2  \equiv  1^k\times 4^2 ~ [7]  \equiv 2 ~ [7]$.
\end{enumerate}
De plus, 1, 4 et 2 sont des entiers des l'intervalle [0; 7[. Par conséquent, d'après l'unicité de la division
euclidienne, le reste $r$ la division euclidienne de $4^n$ par 7 est :
\fbox{\begin{minipage}{4cm}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  \textcolor{red}{1 si $n  \equiv  0 ~ [3] $};

\item \textcolor{red}{4 si $n  \equiv  1 ~ [3]$} ;

\item \textcolor{red}{ 2 si $n  \equiv  2 ~ [3]$}.
\end{enumerate}
\end{minipage}}


\item  
\begin{enumerate}
\item  $851 = 7 \times  121 + 4$ et $0\leqslant  4 < 7$. Le reste de la division euclidienne de 851 par 7 est donc \fbox{\textcolor{red}{4}}.

\item  Soit $n$ un entier naturel.\\
$A = 851^{3n}+851^{2n}+851^n \equiv  4^{3n}+4^{2n}+4^n ~[7]  \\
\equiv  1+4^{2n}+4^n ~[7]$.\\
D'après les questions précédentes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  si $n \equiv  0 ~[3]$, alors $A  \equiv  1 + 1 + 1 ~ [7]  \equiv  3 ~ [7]$;

\item  si $n \equiv   1 ~[3]$, alors $A \equiv   1 + 4^2 + 4  \equiv ~[7] \equiv   1 + 2 + 4 ~[7] \\
\equiv   0 ~[7]$ ;

\item si $n \equiv   2 ~[3]$, alors $A \equiv   1 + 2^2 + 2 ~[7]  \equiv  7 ~[7] \equiv   0 ~[7]$.
\end{enumerate}
Or, 0 et 3 sont des entiers naturels de l'intervalle [0~;~7[. Par conséquent, le reste dans la division euclidienne de $A$ par 7 est :
\fbox{\begin{minipage}{5cm}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  \textcolor{red}{0 si $n \equiv   1 ~[3]$ ou si $n  \equiv  2 ~[3]$ };

\item \textcolor{red}{3 si $n  \equiv  0 ~[3]$}.

\end{enumerate}

\end{minipage}}\end{enumerate}


\item On considère le nombre $B$ s'écrivant en base 4 : \\
$B = \overline{21032114}^4$.\\
Alors $B = 1 + 4 + 2 \times  4^2 + 3 \times  4^3 + 4^5 + 2 \times  4^6 = 1 + 4 \times K$ avec $K = 1 + 2 \times  4 + 3 \times  4^2 + 4^4 + 2 × 4^5 \in \mathbb{Z}$.\\
$B\equiv 1~[4]$
De plus, $0\leqslant  1 < 4$. Donc le reste dans la division euclidienne de $B$ par 4 est \fbox{\textcolor{red}{1}}.
\end{enumerate}

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  