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% pour le pied de page central
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\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de spécialité}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
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\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Montrer que $81n^5 - 45n^3+4n$ est divisible par 5 quel que soit l'entier $n$.\\
(On pourra utiliser une décomposition de cette expression en produit de facteurs).

\subsection{}
Déterminer l'ensemble des naturels $n$ pour lesquels le nombre $2^n - 5$ est divisible par 9.

\subsection{}
Corentin remarque que l'année 2002 a la particularité suivante : $2002^4 + 4$ est divisible par 10.\\
Quelles sont les autres années vérifiant cette particularité ?

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Comment faut-il choisir le naturel $n$ pour que $A=2^n-1$ soit divisible par 9 ? 

\item Cette condition étant supposée réalisée, montrer que $A$ est divisible par 7.\\
Quel est le reste de la division de A par 21 ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Montrer que, pour tout naturel $n$, l'entier $2^{ 5n + 1} + 3^{ n + 3}$ est divisible par 29.


\subsection{\textcolor{blue}{Preuve par 9 de la multiplication}}
 On veut trouver un procédé permettant de vérifier l'exactitude du résultat $m$ de la multiplication de deux entiers $a$ et $b$.\\
 On suppose évidemment qu'on n'a pas de calculatrice sous la main pour effectuer cette multiplication ou même pour la vérifier.\\
 On note $\alpha$, $\beta$ et $\mu$ les restes respectifs dans la division euclidienne par 9 de a, b et m.\\
 On note aussi $\gamma$ le reste de la multiplication de $\alpha\beta$ par 9. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, si la multiplication est juste, alors $\gamma=\mu$. Ce procédé s'appelle la preuve par 9 de la multiplication. La disposition traditionnellement adoptée est en croix.

\item Une preuve exacte assure-t-elle de l'exactitude du résultat de la multiplication? 

\item Inventer la preuve par 5 de la multiplication. 

\item Pourquoi la preuve par 9 est-elle plus sûre que beaucoup d'autres preuves?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Critère de divisibilité par 6}}
Soit $s$ le nombre obtenu en ajoutant le chiffre des unités et le quadruple de la somme des autres chiffres d'un entier naturel $N$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $N\equiv s~(6)$.

\item En déduire un critère de divisibilité par 6.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{La clé du relevé d'identité}}
 Le relevé d'identité bancaire (RIB) comporte de gauche à droite 5 chiffres pour le code de la banque, 5 chiffres pour le code du guichet, 11 chiffres pour le numéro du compte et 2 chiffres pour la clé.\\
 La clé $K$ est calculée de la manière suivante : soit $A$ le nombre constitué par les 21 chiffres de gauche; on calcule le reste $r$ de la division euclidienne de $100A$ par 97, puis on prend $K=97-r$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer la clé pour le relevé suivant : 16945004000458l553811xx.

\item Comment mener le calcul avec une calculatrice ? On pourra écrire $100A$ sous la forme $10^{12}a + 10^6b + c$.

\item  Déterminer les restes dans la division euclidienne par 97 des nombres $10^n$, avec $n$ entier compris entre 1 et 20.

\item Soit $A_1$ le nombre constitué par un RIB, la clé étant comprise. Montrer que si un des chiffres de $A_1$ et un seul est erroné, l'erreur est détectée. 

\item Montrer que si deux chiffres consécutifs distincts sont permutés, alors l'erreur est détectée.\\
(D'après Irem de Marseille)
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  