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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exemple de codage par exponentiation}}\end{center}

\noindent On affecte à chaque entier compris entre 0 et 30 une lettre de l'alphabet ou un autre symbole (on affecte A à 0, B à 1, ..., Z à 25, $\alpha$ à 26, $\beta$ à 27, $\gamma$ à 28, $\delta$ à 29 et $\varepsilon$ à 30), puis on fait subir à chacun de ces entiers $x$ la transformation $f$ suivante :\\
$x\mapsto y$, où $y$ est le reste dans la division euclidienne par 31 de $x^{7}$.\\
On note $\mathscr{E} =\{0~;~1~;~2~;~\cdots~;~30\}$.\\
La clé de ce codage est 31.
\begin{enumerate}[a)]
\item Coder le mot GERMAINE.

\item Montrer que 7 et 30 sont premiers entre eux et écrire l'égalité de Bézout correspondante. 

\item En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que, si $f(x) =f(x')$, alors $x = x'$.\\
En déduire que deux éléments différents de $\mathscr{E}$ ont deux images différentes par $f$ 

\item Soient $x$ et $y$ éléments de $\mathscr{E}$ tels que $y\equiv x^{7}~[31]$.\\
Montrer que $y^{13}\equiv x~[31]$.\\
La clé de décodage est donc 13.

\item Décoder alors le mot YCE$\gamma$QN. 

\end{enumerate}

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%\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exemple de codage par exponentiation}}\end{center}
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%\noindent On affecte à chaque entier compris entre 0 et 30 une lettre de l'alphabet ou un autre symbole (on affecte A à 0, B à 1, ..., Z à 25, $\alpha$ à 26, $\beta$ à 27, $\gamma$ à 28, $\delta$ à 29 et $\varepsilon$ à 30), puis on fait subir à chacun de ces entiers $x$ la transformation $f$ suivante :\\
%$x\mapsto y$, où $y$ est le reste dans la division euclidienne par 31 de $x^{7}$.\\
%On note $\mathscr{E} =\{0~;~1~;~2~;~\cdots~;~30\}$.\\
%La clé de ce codage est 31.
%\begin{enumerate}[a)]
%\item Coder le mot GERMAINE.
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%\item Montrer que 7 et 30 sont premiers entre eux et écrire l'égalité de Bézout correspondante. 
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%\item En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que, si $f(x) =f(x')$, alors $x = x'$.\\
%En déduire que deux éléments différents de $\mathscr{E}$ ont deux images différentes par $f$ 
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%\item Soient $x$ et $y$ éléments de $\mathscr{E}$ tels que $y\equiv x^{7}~[31]$.\\
%Montrer que $y^{13}\equiv x~[31]$.\\
%La clé de décodage est donc 13.
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%\item Décoder alors le mot YCE$\gamma$QN. 
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%\end{enumerate}
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%\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exemple de codage par exponentiation}}\end{center}
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%\noindent On affecte à chaque entier compris entre 0 et 30 une lettre de l'alphabet ou un autre symbole (on affecte A à 0, B à 1, ..., Z à 25, $\alpha$ à 26, $\beta$ à 27, $\gamma$ à 28, $\delta$ à 29 et $\varepsilon$ à 30), puis on fait subir à chacun de ces entiers $x$ la transformation $f$ suivante :\\
%$x\mapsto y$, où $y$ est le reste dans la division euclidienne par 31 de $x^{7}$.\\
%On note $\mathscr{E} =\{0~;~1~;~2~;~\cdots~;~30\}$.\\
%La clé de ce codage est 31.
%\begin{enumerate}[a)]
%\item Coder le mot GERMAINE.
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%\item Montrer que 7 et 30 sont premiers entre eux et écrire l'égalité de Bézout correspondante. 
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%\item En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que, si $f(x) =f(x')$, alors $x = x'$.\\
%En déduire que deux éléments différents de $\mathscr{E}$ ont deux images différentes par $f$ 
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%\item Soient $x$ et $y$ éléments de $\mathscr{E}$ tels que $y\equiv x^{7}~[31]$.\\
%Montrer que $y^{13}\equiv x~[31]$.\\
%La clé de décodage est donc 13.
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%\item Décoder alors le mot YCE$\gamma$QN. 
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%\end{enumerate}

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\end{document}  