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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Révisions du 14 février 2014}}\end{center}

\tableofcontents

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2014}}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : \index{complexes}

\[z_{0} = 1\quad  \text{et}\quad  z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\]

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la forme exponentielle du nombre complexe \\
$\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\index{suite géométrique}
		\item En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|X|}\hline 
Variables& $n$ entier naturel\\  
&$R$ réel\\ 
&$P$ réel strictement positif\\ \hline 
Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline  
Traitement &$R$ prend la valeur 1\\ 
&$n$ prend la valeur 0\\ 
&Tant que $R > P$\\ 
&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
&\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\ 
&Fin tant que\\ \hline 
Sortie &Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ? 
		\item Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$. 
		\item On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{\'i}\frac{n\pi}{6}}$.
		 
Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées. 
		\item Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
		 
Les traits de construction seront apparents.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2014}}
On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:\index{complexes et suite}

\[z_{n+1} = (1 + \mathrm{i})z_n.\]

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$.
\item Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.\index{suite géométrique}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$.

Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$.
\begin{center}\index{algorithme}
\fbox{
\begin{tabular}{lcl}
\textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\
&&$p$ est un réel\\
&& $n$ est un entier\\
\textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\
&& Affecter à $u$ la valeur 2\\
\textbf{Entrée}&:&  Demander la valeur de $p$ \\
\textbf{Traitement}&:&\\
\\
\textbf{Sortie}&:& \\
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$.

En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2014}}
On désigne par (E) l'équation 

\[z^4 + 4z^2 + 16 = 0\]\index{equation complexe@équation complexe}

 d'inconnue complexe $z$. 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$. 

Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle. 
\item On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$. 

Calculer $a^2$ sous forme algébrique. 

En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation \[z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}.\] On écrira les solutions sous forme algébrique. 
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances} \index{R. O. C.}

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x + \text{i}y$ où $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$, le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z = x - \text{i} y$. 

Démontrer que : 

\begin{itemize}
\item Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,\: $\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\:\cdot\:\overline{z_{2}}$. 
\item Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n,\: \overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$.
\end{itemize} 
\item Démontrer que si $z$ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de (E). 

En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions. 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2014}}
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle 
$[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]
\index{fonction exponentielle} 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
On donne en \textbf{annexe}  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La droite $\Delta$ d'équation $y = x$ a aussi été tracée.

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
\index{suite}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer sur le graphique donné ci-dessous, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$. Laisser les tracés explicatifs apparents. 
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
		\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $x\text{e}^{- x} = x$. 

Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linecolor=orange](\n,0)(\n,1.1)}
\multido{\n=0.0+0.5}{3}{\psline[linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{2.5}{x 2.71828 x exp div}
\uput[l](0.8,0.8){$\Delta$}
\uput[u](1.8,0.35){$\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}

\end{center}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
 
\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\]
 
Compléter l'algorithme donné ci-dessous afin qu'il calcule $S_{100}$. 


\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
Déclaration des variables :\\ 
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
			$S$ et $u$ sont des nombres réels\\
			$k$ est un nombre entier
		\end{tabular}\\
Initialisation :\\ 
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
			$u$ prend la valeur \ldots \ldots\\
			$S$ prend la valeur \ldots \ldots\\
		\end{tabular}\\
Traitement :\\
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
Pour $k$ variant de 1 à \ldots.\\
			\hspace{1cm}\begin{tabular}{l} 
				$u$ prend la valeur $u \times  \text{e}^{- u}$\\
				$S$ prend la valeur \ldots.\\
				\end{tabular}\\
Fin Pour\\ 
Afficher \ldots \ldots\\ 
\end{tabular}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2010}}
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Donner le tableau de variations de $g$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1. 
\item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \\
$f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

La figure est donnée  ci-dessous.
 
Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$,
\item $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
\item $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.
\end{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. 

On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. 
\item Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$.
 
La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(4,3)
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}\uput[ul](0,0){O}\uput[u](2.5,0.28){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div}
\multido{\n=-1.0+0.16667}{31}{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-2.0+0.16667}{31}
{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\multido{\n=-2+1}{6}
{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Réunion juin 2006}}
\noindent \textbf{Partie A}\\
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $]1 ~;~ +\infty[$ par 
\[f (x) = \dfrac{x}{\ln x}\]

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item D\'eterminer les limites de la fonction $f$ en $1$ et en $+\infty$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite d\'efinie par $u_{0} = 5$ et $u_{n+1}  =f\left(u_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item  On a trac\'e la courbe repr\'esentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur la figure donn\'ee en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d'\'equation $y = x$ et les points $M_{1}$ et $M_{2}$ de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $u_{1}$ et $u_{2}$. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \geqslant  \text{e}$ (on pourra utiliser la question 1. b.).
\item D\'emontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers un r\'eel  $\ell$ de l'intervalle $[\text{e} ~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
On rappelle que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $]1 ~;~ +\infty[$.
\begin{enumerate}
\item  En \'etudiant de deux mani\`eres la limite de la suite $\left(f\left(u_{n}\right)\right)$, d\'emontrer que $f(\ell) = \ell$.
\item En d\'eduire la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,5.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1](0,0)(-0.5,-0.5)(5.5,5.2)
\psgrid[gridwidth=1pt,gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(5,5)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](5.1,3.2){$\mathcal{C}$}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1.28}{5.2}{x/ln(x)}
\end{pspicture}
\end{center}




\label{fin}
\end{document}  