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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Pondichéry avril 2014}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}}
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif. 

On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$.

Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.

\medskip

\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(X \geqslant 3)$. 
		\item Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant  h)$. 
		\item Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ? 
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à\:} \boldmath $10^{-3}$\unboldmath
  
L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1\,\%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. 

Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 \hfill 4 points}}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. 

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. 

Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. 

Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1}
 
Toute suite positive croissante tend vers $+ \infty$. 
\item  $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par 

\[g(x) = 2x \ln (2x + 1).\]
 
\textbf{Proposition 2}
 
Sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\text{e} -  1}{2}$.
 
\textbf{Proposition 3}
 
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est :  $1 + \ln 4$. 
\item  L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.
 
$\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont les plans d'équations respectives : $2x + 3y - z - 11 = 0$ et 

$x + y + 5z - 11 = 0$.
 
\textbf{Proposition 4}
 
Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ se coupent perpendiculairement. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi la spécialité }

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : 

\[z_{0} = 1\quad  \text{et}\quad  z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\]

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		\item En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|X|}\hline 
Variables& $n$ entier naturel\\  
&$R$ réel\\ 
&$P$ réel strictement positif\\ \hline 
Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline  
Traitement &$R$ prend la valeur 1\\ 
&$n$ prend la valeur 0\\ 
&Tant que $R > P$\\ 
&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
&\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\ 
&Fin tant que\\ \hline 
Sortie &Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ? 
		\item Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$. 
		\item On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{\'i}\frac{n\pi}{6}}$.
		 
Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées. 
		\item Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
		 
Les traits de construction seront apparents.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.3)(1.1,0.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-0.6,-0.3)(1.1,0.8)
\psdots(1;0)(0.866;30)(0.75;60)(0.6495;90)(0.5625;120)(0.487139;150)
\psline(1;0)(0.866;30)(0;0)(0.75;60)(0.866;30)
\psline(0.75;60)(0.6495;90)(0;0)(0.5625;120)(0.6495;90)
\psline(0.5625;120)(0.487139;150)(0;0)
\uput[ur](1;0){$A_{0}$} \uput[ur](0.866;30){$A_{1}$} \uput[ur](0.75;60){$A_{2}$} 
\uput[ur](0.6495;90){$A_{3}$} \uput[ul](0.5625;120){$A_{4}$} \uput[ul](0.487139;150){$A_{5}$} \uput[dl](0,0){O}
\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(0,0)(1,0) 
\end{pspicture}
\end{center}


\subsection*{\textcolor{blue}{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}
  
$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f'$.
 
Le point A de coordonnées (0~;~2) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
 
Le point B de coordonnées (0~;~1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

\begin{center}
\textbf{\small Situation 1}


\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2.9)(5,11)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-2.9)(5,10)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]%(0,0)(-3,-3)(5,10)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.5,8)(-2,4.4)(-1.5,2.5)(-1,1.7)(-0.75,1.6)(-0.5,1.65)(0,2)(1,3.3)(2,5.15)(3,7)(4,9) 
\uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1.5,-2.2)(-1,-0.8)(0,1)(1,1.6)(2,1.85)(3,1.95)(4,2)(4.5,1.98)
\uput[d](3,2){\red $\mathcal{C}_{2}$}
%\rput(1,10.5){Situation 1 }
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{center}
\textbf{\small Situation 2 ($\mathcal{C}_{2}$ est une droite)}

 
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2.9)(5,11)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-2.9)(5,10)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]%(0,0)(-3,-3)(5,10)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.5,8)(-2,4.4)(-1.5,2.5)(-1,1.7)(-0.75,1.6)(-0.5,1.65)(0,2)(1,3.3)(2,5.15)(3,7)(4,9) 
\uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{4.5}{x 1 add}
\uput[dr](4,5){\red $\mathcal{C}_{2}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\small Situation 3}\\


\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(4.5,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-0.9)(4.5,10)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-0.9)(4.5,10)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-3,-3)(5,10)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add} \uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{5}{x 2 mul   2.71828 x neg exp add}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-2.5,7)(-2,3.4)(-1.5,1.5)(-1,0.7)(-0.75,0.6)(-0.5,0.65)(0,1)(1,2.3)(2,4.15)(3,6)(4,8) 
\uput[dr](3,6){\red $\mathcal{C}_{2}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\item Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en A. 

\item On sait que pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé. 
		\item Prouver que $a = 2$.
	\end{enumerate}	 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. 
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x) - (x + 2)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\mathbb{R}$. 
		\item En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		 
La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(5,6)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\pspolygon(-2,0)(2,4)(2,5.135)(-2,4.389)
\rput(1,10.5){figure 2}
\psline(-2,0)(2,0)(2,4)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\psline(2,4)(-2,0)}
\end{pspicture*}&\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1)(3.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-2.5,-1)(3.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\uput[ur](-1.8,3.3){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[dr](1.3,3.5){$\Delta$}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline(-2,0)(2,0)(2,4)
\uput[d](-2,0){D}\uput[d](2,0){E}\uput[ul](-2,4.389)G \uput[ur](2,5.135){F}
\pspolygon(-2,0)(2,4)(2,5.135)(-2,4.389)
\rput(1,10.5){figure 3}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\psline(2,4)(-2,0)}
\end{pspicture*}
\end{tabular}
\end{center}
 
Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :
 
- D est le point de coordonnées $(-2~;~0)$,
 
- E est le point de coordonnées (2~;~0),
 
- F est le point d'abscisse 2 de la courbe $\mathcal{C}_{1}$,
 
- G est le point d'abscisse $- 2$ de la courbe $\mathcal{C}_{2}$.
 
La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d'équation $x = - 2$ et la droite d'équation $x = 2$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	 
\item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat). 

\end{enumerate} 


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  