\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exrcices de révision (bac)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2016}}
L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas
un pentagone régulier.

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel que $\overrightarrow{OA_0} = \overrightarrow{u}$.

On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-dessous :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur;
\item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$
appartiennent au cercle trigonométrique ;
\item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a 

$\left(\overrightarrow{OA_k}~;~\overrightarrow{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1)
\pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$} 
\end{pspicture}


\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$.\index{complexes}

Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$.

Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement.
		\item Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 +  2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.
		\item Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser
sans justification :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline
1&cos (4*pi/5)\\
&\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ \hline
&\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
\end{tabularx}

\og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg
\end{center}

En   déduire, grâce à ces résultats, que \\
$BA_2 = BK$.
 	\end{enumerate}
\item  Dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

\begin{center}
\psset{unit=3.5cm}
\begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2016}}
Soit $f$ la fonction définie sur ]0~;~14] par 

\[f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right).\]

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,6.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,6.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{14}{2 x 2 div ln sub}
\uput[u](13,0.2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=0.4pt](1.7,0)(1.7,2.163)(0,2.163)
\uput[d](1.7,0){$P$}\uput[ur](1.7,2.163){$M$}\uput[l](0,2.163){$Q$}
\uput[dl](0,0){$O$}
\end{pspicture}
\end{center}

À tout point $M$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ on associe le point $P$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses, et le point $Q$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

\medskip
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ est-elle constante quelle que soit la position du point $M$ sur $\mathcal{C}_f$ ?
\item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ peut-elle être maximale ?

Si oui, préciser les coordonnées du point $M$ correspondant.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Justifier les réponses.

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2016}}
On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante $T_0 = 25$\,\degres C et on la place dans un four à
température constante $T_F = 100$\,\degres C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85\,\degres C.

\smallskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A : Modélisation discrète}}

\medskip

Pour $n$ entier naturel, on note $T_n$ la température en degré Celsius de la boîte au bout de $n$
minutes. On a donc $T_0 = 25$.

Pour $n$ non nul, la valeur $T_n$ est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline
Initialisation : 	&$T$ prend la valeur 25\\ \hline
Traitement :		& Demander la valeur de $n$\\
					&Pour $i$ allant de 1 à $n$ faire\\
					&\hspace{0,5cm}$T$ prend la valeur $0,85 \times  T + 15$\\
					&Fin Pour\\ \hline
Sortie : 			&Afficher $T$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes.

Arrondir à l'unité.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a \[T_n = 100 - 75 \times 0,85^n.\]
\item Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B : Modélisation continue}}

\medskip

Dans cette partie, $t$ désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant $t$ (exprimé en minutes), la température de la boîte est
donnée par $f(t)$ (exprimée en degré Celsius) avec :

\[f(t) = 100 - 75\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}.\]\index{fonction avec exponentielle}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Justifier que si $t \geqslant 10$ alors $f(t) \geqslant 85$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\theta$ un réel supérieur ou égal à 10.
		
On note $\mathcal{A}(\theta)$ le domaine délimité par les droites d'équation $t =  10,\: t = \theta,\:$
		 
$y = 85$ et la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$.
		
On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps $\theta$, si l'aire, exprimée en unité d'aire du domaine $\mathcal{A}(\theta)$ est supérieure à $80$.\index{intégrale}

\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110)
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(32,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(0,0)(32,110)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{100 2.71828 5 ln 10 div x mul  neg exp 75 mul sub}
\uput*[u](29,0){temps (en minutes)}
\uput*[r](0,105){température (en degré Celsius)}
\uput[u](2,46){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85)
\uput*[d](27.5,85){$y = 85$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Justifier, à l'aide du graphique donné en annexe, que l'on a $\mathcal{A}(25) > 80$.
		\item Justifier que, pour $\theta \geqslant 10$, on a \\
		$\mathcal{A}(\theta) = 15(\theta - 10) - 75 \displaystyle\int_{10}^{\theta} \text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t$.
		\item La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2016}}
On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base
commune le carré ABCD de centre I. Une représentation en perspective de ce solide est
donnée ci-dessous. Toutes les arêtes sont de longueur $1$.

L'espace est rapporté au repère orthonormé 
$\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AK}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que IE $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. En déduire les coordonnées des points I, E et F.
		\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}0\\- 2\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABE).
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE).
	\end{enumerate}
\item On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.
		\item Déterminer l'intersection des plans (EMN) et (FDC).
		\item Construire sur la figure ci-dessous la section du solide ADECBF par le plan (EMN).\index{section plane}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(12,7)
\psline[linestyle=dotted](-4,0)(12,0)
\psline[linestyle=dotted](0,-5)(0,7)
\psline[linestyle=dotted](-4,-1.6)(12,4.8)
\pspolygon(0,0)(6.7,0)(10,1.3)(5,-4)%ABCFA
\psline(6.7,0)(5,-4)%BF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.3,1.3)(10,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](5,-4)(3.3,1.3)(5,5.35)%FDE
\psline(0,0)(5,5.35)(6.7,0)%AEB
\psline(5,5.35)(10,1.3)%EC
\psdots(5,0.65)(0,6.7)%I
\uput[ul](0,0){A} \uput[ur](6.7,0){B} \uput[r](10,1.3){C} 
\uput[ul](3.3,1.3){D} \uput[u](5,5.35){E} \uput[d](5,-4){F} \uput[u](5,0.65){I} 
\uput[l](0,6.7){K}
\end{pspicture}


\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2016}}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par :
\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{1 - x}}.\]\index{fonction exponentielle}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1].
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + \text{e}}$ (on rappelle que $\text{e} = \text{e}^1$).
\item Montrer alors que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = \ln (2) +  1 - \ln (1 + \text{e})$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies sur [0~;~1] par:

\[f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\text{e}^{1 - x}}.\]

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général\index{suite}

\[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item On a tracé ci-dessous les courbes représentatives des fonctions $f_n$ pour $n$ variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe $\mathcal{C}_0$ représentative de la fonction $f_0$.
\begin{center}
\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.25,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(1.25,1.2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,griddots=5,gridwidth=1.5pt](0,0)(1.2,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 2 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 3 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 4 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 5 mul add div}
\uput[r](1,0.5){$\mathcal{C}_1$}\uput[r](1,0.35){$\mathcal{C}_2$}
\uput[r](1,0.28){$\mathcal{C}_3$}\uput[r](1,0.22){$\mathcal{C}_4$}
\uput[r](1,0.13){$\mathcal{C}_5$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et préciser la valeur de $u_0$.
\item Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ? 

Démontrer cette conjecture.
\item La suite $\left(u_n\right)$ admet-elle une limite ?

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2016}}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On considère le point A d'affixe 4, le point B d'affixe 4i et les points C et D tels que ABCD
est un carré de centre O.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d'affixe $z_n = (1 + \text{i})^n$.\index{complexes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le nombre $1 + \text{i}$ sous forme exponentielle.
\item Montrer qu'il existe un entier naturel $n_0$, que l'on précisera, tel que, pour tout entier

$n \geqslant n_0$, le point $M_n$ est à l'extérieur du carré ABCD.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2016}}
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par 

\[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\]\index{suite}

On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par
\[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5.\]

\begin{enumerate}
\item Voici un extrait de feuille de tableur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C\\ \hline
1	&$n$&$u$&$v$\\ \hline
2	&0	&2	&7\\ \hline
3	&1	&4	&14\\ \hline
4	&2	&9	&28\\ \hline
5	&3	&24	&56\\ \hline
6	&4	&63	&\\ \hline
7	&	&	&\\ \hline
8	&	&	&\\ \hline
9	&	&	&\\ \hline
10	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour
afficher les termes des suites $u$ et $v$ ?
\item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2016}}
Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises.

Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.

\begin{center}
\textbf{\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\subsubsection*{Partie A : production de fraises}

Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; 55\,\% des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et 45\,\% dans la serre B.
Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à 0,88 ; dans la serre B, elle est égale à 0,84.

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}

\medskip

\textbf{Proposition 1:}

La probabilité qu'une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à 0,862.

\smallskip

\textbf{Proposition 2 :}

On constate qu'une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit.

La probabilité qu'elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.

\subsubsection*{Partie B : conditionnement des fraises}

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d'une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=250$ et d'écart-type $\sigma$.

La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-après:

\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm, yunit=50cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {195}   \def\xmax {305}
\def\ymin {-0.008} \def\ymax {0.04}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)

\def\m{250}% moyenne 
\def\s{12}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{\xmin} \def\sup{237}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}

\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\psline(\xmin,0)(\xmax,0)

%\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
%
\multido{\i=200+10}{11}
{
\uput[d](\i,0){\small \i}
\psline(\i,0.001)(\i,-0.001)
}

\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On donne $P(X \leqslant 237)=0,14$. Calculer la probabilité de l'évènement \og la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes \fg.

\item On note $Y$ la variable aléatoire définie par: $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y$?

\item Démontrer que $P\left ( Y \leqslant - \dfrac{13}{\sigma}\right ) = 0,14$.

\item En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier.

\end{enumerate}

\item Dans cette question, on admet que $\sigma$ vaut 12. On désigne par $n$ et $m$ deux nombres entiers.

\begin{enumerate}
\item Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l'intervalle $] 250-n~;~250+n [$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95\,\%.

\item On considère dans cette question qu'une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l'intervalle $] 230~;~m[$. Déterminer la plus petite valeur de $m$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95\,\%.
\end{enumerate}

\end{enumerate}




\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  