\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Rappels sur la loi binomiale}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Schéma de Bernoulli}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire à deux issues, appelées en général succès et échec.\\
Si $p$ est la probabilité d'un succès, la probabilité d'un échec est $q=1-p$.\\

\noindent On appelle schéma de Bernoulli une répétition de $n$ fois la mÍme épreuve de Bernoulli, les épreuves successives étant indépendantes.\\
Les paramètres sont $n$ (nombre d'épreuves) et $p$, probabilité d'un succès
\end{bclogo}


\bigskip

\noindent On peut représenter la situation par un arbre pondéré.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple avec trois épreuves :}}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $p$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
}
}
\end{center}

On a par exemple : $p\left(S\cap\overline{S}\cap S\right)=p(1-p)p=p^{2}(1-p)$

\subsection{\textcolor{blue}{Coefficients binomiaux}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.\\
Soit $k$ un entier tel que $0\leqslant k\leqslant n$.\\
On appelle coefficient binomial $\binom{n}{k}$, ou combinaison de $k$ parmi $n$, le nombre de chemins conduisant à $k$ succès sur l'arbre représentant $n$ expériences successives.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\binom{n}{k}$ compte le nombre de positions possibles des $k$ succès parmi les $n$ positions possibles de $S$ et $\overline{S}$.\\


\begin{minipage}{6cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $k\in\mathbb{N}$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$.\\
Alors : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\binom{n}{0}=1$

\item $\binom{n}{n}=1$

\item $\binom{n}{1}=n$

\item $\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Justification :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\binom{n}{0}=1$ car il n'y a qu'un seul chemin réalisant 0 succès.

\item $\binom{n}{n}=1$ car il n'y a qu'un seul chemin réalisant n succès.

\item $\binom{n}{1}=n$ car il y a $n$  chemins réalisant 1 succès, correspondant aux $n$ emplacements possibles de ce succès.

\item $\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$ car compter le nombre dfe chemins menant à $n-k$ succès revient à compter le nombre de chemins menant à $k$ échecs.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} :On peut calculer les coefficients binomiaux essentiellement de deux façons différentes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item à l'aide de la calculatrice.

\item à l'aide du triangle de Pascal (voir ci-dessous)

\item avec la formule directe (hors-programme) : $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\times (n-k)!}$ où $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots\times 2\times 1$ (se lit \og{} factorielle n\fg{})

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit un schéma de Bernoulli correspondant à des paramètres $n$ et $p$.\\
Pour $0\leqslant k\leqslant n$, on a : \\
$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}\\
Les chemins comportant $n+1$ succès parmi les $n+1$ épreuvesn au nombre de $\binom{n+1}{k+1}$, sont de deux sortes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item ceux commen\c cant par un échec : il y en a $\binom{n}{k+1}$ (car les $k+1$ succès sont dans les $n$ épreuves autres que la première)

\item ceux commen\c cant par un succès : il y en a $\binom{n}{k}$ car ayant commencé par un succès, il n'en reste plus que $k$ à chercher parmi les $n$ épreuves autres que la première.
\end{enumerate}

On peut alors calculer les coefficients binomiaux de proche en proche, par exemple avec le triangle de Pascal :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{||*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{blue!40}\backslashbox{n}{p}&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\cellcolor{blue!40}0&\cellcolor{red!40}1&0&0&0&0&0&0&0&0\\
\hline
\cellcolor{blue!40}1&1&\cellcolor{red!40}1&0&0&0&0&0&0&0\\
\hline
\cellcolor{blue!40}2&1&2&\cellcolor{red!40}1&0&0&0&0&0&0\\
\hline
\cellcolor{blue!40}3&1&3&3&\cellcolor{red!40}1&0&0&0&0&0\\
\hline
\cellcolor{blue!40}4&1&\cellcolor{yellow!60}4&\cellcolor{yellow!60}6&4&\cellcolor{red!40}1&0&0&0&0\\
\hline
\cellcolor{blue!40}5&1&5&\cellcolor{yellow!60}10&10&5&\cellcolor{red!40}1&0&0&0\\
\hline
\cellcolor{blue!40}6&1&6&15&20&15&6&\cellcolor{red!40}1&0&0\\
\hline
\cellcolor{blue!40}7&1&7&21&35&35&21&7&\cellcolor{red!40}1&0\\
\hline
\cellcolor{blue!40}8&1&8&28&56&70&56&28&8&\cellcolor{red!40}1\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Loi binomiale}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit une expérience aléatoire associée à un schéma de Bernoulli.\\
Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès.\\
La loi de probabilité de $X$ est appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathscr{B}(n~;~p)$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $X$ suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$. (on peut écrire $X\hookrightarrow\mathscr{B}(n~;~p)$)

Pour tout $k\leqslant n$, $p(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$.
\end{bclogo}

\bigskip

Chaque chemin, comportant  $k$ succès et donc $n-k$ échecs, a une probabilité égale à $p^{k}(1-p)^{n-k}$.

Il y a $\binom{n}{k}$ tels chemins d'où le résultat.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés (admises)}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $E(X)=np$ (expérance)

\item $V(X)=npq$ (variance) où $q=1-p$

\item $\sigma(X)=\sqrt{npq}$ (écart-type).
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\label{fin}
\end{document}  