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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices les probabilités (2)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race Française Frisonne Pis Noir peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne $\mu=\numprint{6000}$ et d’écart-type $\sigma=400$.

La fonction $f$ désigne la fonction de densité de cette loi normale.

\begin{enumerate}
\item Afin de gérer au mieux son quota laitier, en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaines probabilités.
.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu’une vache quelconque de cette race produise moins de \numprint{5800} litres de lait par an.

\item Calculer la probabilité qu’une vache quelconque de cette race produise entre \numprint{5900} et \numprint{6100} litres de lait par an.

\item Calculer la probabilité qu’une vache quelconque de cette race produise plus de \numprint{6250} litres de lait par an.
\end{enumerate}

\item  Dans son futur troupeau, l’éleveur souhaite connaître  les deux valeurs suivantes : aidez-le !

\begin{enumerate}
\item la production maximale prévisible des 30\:\% de vaches les moins productives du troupeau.

\item la production minimale prévisible des 20\:\% de vaches les plus productives du troupeau.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Réglage d’une machine d’embouteillage dans une
coopérative}}
Sur une chaîne d'embouteillage dans une brasserie, la quantité $X$ (en cL) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cL peut être modélisé par une variable aléatoire de loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart-type
$\sigma=2$.

La législation impose qu’il y ait moins de 0,1\:\% de bouteilles contenant moins d’un litre.

\begin{enumerate}
\item À quelle valeur de la moyenne doit on régler la machine pour respecter cette législation?

\item La contenance des bouteilles étant de 110 cL, quelle est alors la probabilité qu’une bouteille déborde lors du remplissage ?

\item Le directeur de la coopérative veut qu’il y ait moins de 1\:\% de bouteilles qui débordent, au risque de ne plus suivre la législation.
\begin{enumerate}
\item Quelle est alors la valeur de $\mu$?

\item Quelle est dans les conditions de la question a) la probabilité que la bouteille contienne moins d’un litre?

\item Déterminer $\mu$ et $\sigma$ afin qu’il y ait moins de 0,1\:\% de bouteilles de moins de 1 litre et moins de1\:\% de bouteilles qui débordent.
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2013}}
Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle $X$ la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et $Y$ la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètre.
 
On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{1} = 36$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,2$ et que $Y$ suit 
la loi normale de moyenne $\mu_{2} = 6$ et d'écart-type $\sigma_{2} = 0,05$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre $\mu_{1} - 3\sigma_{1}$ et $\mu_{1} + 3\sigma_{1}$. Quelle est une valeur approchée à  $10^{- 3}$ près de la probabilité $p_{1}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur ?

\medskip 
\item Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88~mm et 6,12~mm. Le tableau donné ci-dessous a été obtenu à  l'aide d'un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de $k$, la probabilité que $Y$ soit inférieure ou égal à  cette valeur.
 
Déterminer à  $10^{- 3}$ près la probabilité $p_{2}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s'aider du tableau ci-contre)
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|}\hline 
k		& p(Y \leqslant k)\\ \hline 
5,8 	&\numprint{3,16712}\text{E}-05\\ \hline 
5,82 	&\numprint{0,000159109}\\ \hline 
5,84 	&\numprint{0,000687138}\\ \hline 
5,86 	&\numprint{0,00255513}\\ \hline 
5,88 	&\numprint{0,008197536}\\ \hline 
5,9 	&\numprint{0,022750132}\\ \hline 
5,92 	&\numprint{0,054799292}\\ \hline 
5,94 	&\numprint{0,11506967} \\ \hline
5,96 	&\numprint{0,211855399}\\ \hline 
5,98 	&\numprint{0,344578258}\\ \hline 
6 		&\numprint{0,5}\\ \hline 
6,02 	&\numprint{0,655421742}\\ \hline 
6,04 	&\numprint{0,788144601}\\ \hline 
6,06 	&\numprint{0,88493033}\\ \hline 
6,08 	&\numprint{0,945200708}\\ \hline 
6,1 	&\numprint{0,977249868}\\ \hline 
6,12 	&\numprint{0,991802464}\\ \hline 
6,14 	&\numprint{0,99744487}\\ \hline 
6,16 	&\numprint{0,999312862}\\ \hline 
6,18 	&\numprint{0,999840891}\\ \hline  
6,2 	&\numprint{0,999968329}\\ \hline
\end{array}$

\end{center}
\item On prélève une pièce au hasard. On appelle $L$ l'évènement \og la pièce est conforme pour la longueur \fg{} et $D$ l'évènement \og la pièce est conforme pour le diamètre \fg. On suppose que les évènements $L$ et $D$ sont indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item Une pièce est accepté si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre.
		 
Déterminer la probabilité pour qu'une pièce prélevé au hasard ne soit pas accepté (le résultat sera arrondi à  $10^{-2}$). 
		\item Justifier que la probabilité qu'elle soit conforme pour le diamètre sachant qu'elle n'est pas conforme pour la longueur, est égale à  $p_{2}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après Centres étrangers juin 2003}}
Une entreprise d'autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes
 de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc.\\
Un autocar part de son entrepôt. On note $D$ la variable aléatoire
 qui mesure la distance en kilomètres que l'autocar va parcourir jusqu'à ce
 qu'il survienne un incident. On admet que $D$ suit
une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$, appelée aussi
 loi de duré de vie sans vieillissement.\\
On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par : 

\[p(D \leqslant A) = \displaystyle\int_0^A  
\dfrac{1}{82}\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x.\]

\noindent Dans tout l'exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième.

\begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la distance parcourue sans
 incident soit : 

\begin{enumerate} \item comprise entre 50 et 100 km ;

 \item supérieure à 300 km.
 
\end{enumerate}
 
 \item Sachant que l'autocar a déjà parcouru 350 kilomètres
 sans incident, quelle est la probabilité qu'il n'en subisse pas non plus
 au cours des 25 prochains kilomètres ?

 \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $D$ et donner une interprétation de ce résultat.
 
\item L'entreprise possède N$_0$ autocars. Les distances
 parcourues par chacun des autocars entre l'entrepôt et le lieu où survient  un incident sont des variables aléatoires deux à deux
indépendantes et de mê\^eme loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$.

$d$ étant un réel positif, on note $X_d$ la variable aléatoire égale
 au nombre d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$
 kilomètres.

\begin{enumerate} \item 	Montrer que $X_d$ suit une loi binomiale de paramètres N$_0$ et 
e$^{-\lambda d}$.

\item Donner le nombre moyen d'autocars n'ayant subi aucun incident
 après avoir parcouru $d$ kilomètres.
 
\end{enumerate}

\item La desserte de villages par un circuit de 76 km est effectuée pendant 210 jours par des autocars de cette entreprise de telle sorte que les dessertes journalières sont indépendantes et la survenue d'un incident a chaque jour une probabilité $q=1-\mathrm{e}^{\frac{76}{82}}$.

On appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'incidents dans l'année pour ce circuit.
\begin{enumerate}
\item Calculer $E(Y)$ et $\sigma^2(Y=V(Y))$.

\item les conditions d'approximation de la loi binomiale par la loi normale $\mathscr{N}(\mu~;~\sigma^2)$ sont-elles remplies ?

\item Détermioner la probabilité d'avoir moins de 120 incidents dans l'année pour la desserte ces villages.
\end{enumerate}

 
\end{enumerate} 


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  